二次积分微分方程的正解研究

Z2埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，162原创文章一类二次积分微分方程的正解F.M. 贾法尔埃及达曼胡尔达曼胡尔大学理学院接收日期：2013年5月6日;修订日期：2013年7月16日;接受日期：2013年2013年9月29日在线发布摘要本文利用非紧性测度技巧研究了将包括一些例子来说明所获得的结果。数学潜规则分类：11 D09; 47 Gxx; 47 H10; 45 G10？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍非线性二次泛函微分和积分方程初值问题的研究始于Dhage[1]和Dhage与O'Regan [2]的工作那个-许多文献利用非紧测度的技巧研究了可积解的存在性（见[13，15，21]）。本文研究了一类二次积分微分方程二次积分方程的理论也被深入研究，并在描述现实世界的问题中找到了许多应用（例如，见[3许多作者研究了几类非线性二次方程不xtf1s;x0sd0与x000000x0不f2s;x0sdsa：e：;t20;1]10ð2Þ具有非奇异核的积分方程（参见例如[4二次积分方程在许多应用中经常遇到（见[11电子邮件地址：fatmagaafar2@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责本文证明了二次积分微分方程至少存在一个解xAC（0，1]（在（0，1]上绝对连续）. 其中函数fi（t，x（t）），i=1，2是L1-Carnivodory函数.我们的证明依赖于非紧性的度量。 实际上，本文的结果是El-Sayed和Hashem[13]工作的推广。2. 定义和辅助事实在本节中，我们收集了一些定义和结果，需要在我们进一步的调查。1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.014制作和主办：Elsevier关键词二次积分微分方程;非紧性测度;正绝对连续解Z一类二次积分微分方程的正解16322Z2二、二变量;ð Þ¼定理3. 设X是任意非空有界子集，设L1=L1（I），I=[0，1]表示I上的Lebesgue可积函数空间，L1（I）中的范数定义为Z1kx kL1¼jxt jdt0当集合X在测度上是紧的时，非紧性的Haus-dorff测度和DeBlasi测度是相同的.我们有（见[3，20]）假设函数f：I·Rf满足Caribe `odory条件，即，它对任何x在t中可测，对几乎所有t在x中连续。然后，对于在区间I上可测量的每个函数x（t），我们可以将函数Fx以这种方式定义的算子F称为叠加算子。该算子是非线性泛函分析中最简单也是最重要的算子之一。对于这个算子，我们有Krasnosel'skii [22]的下列定理定理1. 叠加算子F将L1映射到自身当且仅当jft;xj6ctkjxj对于所有t2I和xR，其中c（t）是L1的函数，k是非负常数.设E是含零元素h的Banach空间，X是E的非空有界子集。 设Br=B（h，r）为E中以h为中心的半径为R.接下来我们将需要测度紧性的一些准则;测度紧性的完全刻划”[22]这句话的意思是：“有一个条件L1。如果X在测度上是紧的，则b（X）= v（X）。最后，我们将回顾Darbo[7]的文件。定理4. 设Q是E的一个非空的、有界的、闭的和凸的子集，并且设H：QfiQ是一个连续变换，它是关于非紧性v的Hausdorff测度的一个压缩，即，存在一个常数a [0，1）使得对于Q的任何非空子集X，v（HX）6av（X）.则H在集合Q中至少有一个不动点3. 解的存在性首先，我们研究了二次积分方程不xtf1t;xtf2s;xsdsf2t;xt0不f1s;xsds40设积分算子Hi定义为：ZtðHi x ÞðtÞ¼fis;xsds;i¼1;2：0这是我们最大的优势（见[22]）。定理2. 设X是L1的有界子集. 假设存在区间（a，b）的子集族（Xc）06c6b-a，使得对于每个c，measXc=c[0，b]a]，且对于每个xX，x（ t1 ）6x（ t2 ），（ t1Xc ，t2RXc），则集合X在测度上是紧的.由De Blasi[3，20]定义的弱非紧性的测度由下式给出：bx>0那么方程（4）可以用算子形式写成： F1xF2xF1xF 2 x F 1 x F2 x F 2xF1xF 2其中（Fi x）（t）=fi（t，x（t）），i=1，2。考虑以下假设：(i) fi ： I·R+fR+ 满 足 Carnodory 条 件 （ 即 对 所 有x2R+ 在 t 中 可 测 ， 对 所 有 t2[0 ， 1] 在 x 中 连续），存在两个函数a1，a22L1和常数b1，b2>0，使得f t; x6 a t bj xj 8t; x2I×R：þ我我我：存在E的弱紧子集Y，使得X⊂Y þKr Þ函数b（X）具有几个有用的性质，可以在[20]中找到。Appel和De Pascale给出了L1中函数b（X）的简便公式（见[3]）此外，fi（t，x），i = 1，2是a.e. 两者都不减(ii) 令d>p16b1b2ka1k，其中d= 1-2b1ia2i-现在设r是方程bXlims！0.supx2X.supZDjxt：t--2b1b2r2-1-2b1ka2k-2b2ka1kr2ka1k.ka2k<$^0：定义集合ð3Þ其中符号measD代表集合D的勒贝格测度。接下来，我们还将使用非紧性v的Hausdorff测度的概念（见[22]），定义为：vXinfr>0：存在E的有限子集Y，使得X⊂Y þKr ÞBr¼fx2L1：kxk6rg：本文证明了二次积分方程组至少存在一个L1（4）我们有以下定理。定理5. 假设（i）和（ii）满足。如果2rb 1 b 2<1，则二次积分方程。（4）至少有一个解x2L 1是正的，并且a. e.不减I。证据 取任意一个x2L1，我们得到Z2 b2iai.1×164F.M. 贾法尔ZZZZZZZZZZZZDDa2x2X，使用与[22，23]中相同的推理，我们得到D1D1D2s！00000DDDZZDDZ¼ZZ0现在，让QR 表示Br2L的子集1 包括所有0集合QR 是非空的，有界的，凸的和闭的（参见00一个2吨的桶那么d是正的，这意味着r是一个正的常数。Zt函数，它们是a.e.不减I。这意味着1kAx tkAxtjdt0[22]第22页。780]）。而且这个集合在测度上是紧的（参见引理2 [23]，pp. 63]）。从假设（i）我们推出算子A映射Q本身由于算子（Fx）（t）=f（t，x（t））是连续的，Z1Zt00Z1 Ztr i i6a1t1B10Z1×0a2sdsdtb2a1tjxsjdsdt不jxtja2sdsdtb1b2ZtZ1 Zt00一个2吨的桶0 jxs jdsdt定理（Theorem1 节中 （2），则 算子Hi是连续的，因此乘积FiHi是连续的。因此算子A在Qr上连续。设X是Qr的非空子集.固定e>0，取一个可测量的子集Dc I，使得D6 e. 然后，对于任何11a2b0不jxs j dsdtb20kAxkL1D公司简介jAxtjdt1tjxtjZ1 Zt×0jxt j0a1sddtb1b2jxs jdsdt6ZD×不a1ta2sddtZa2tZD不b2016a2sZ1B101b2Z1S1jxsj01a1美元S不× jxsjdsdtb1Z Zt×0jxt jDjxtj不a22201×jxsj01jxtjdtdsS1a1秒01a2吨/天S×ZD jxtj不jxs jdsdt0B11jxs j01b2S1a1秒06ZD一个2秒的Za1吨重Za1sZb2Z1×ZSjxsjZb/jxsjZ阿伯特·阿伯特兹16ka1ka2sdb2ka1k01jxsjds0b1Za2a1秒11千x千1a2sds 2b1b2kxkjxsjds×ZDj jZx t dtd2b1b2jxsjZjxtjdtdsA2K01 a1sd b1k a2k01jxs jds6ka1kL1DZ一个2秒的数字，一个2kL1秒的数字Za1ssb10 0Z1×0一个2秒的Zjxtjdtdsb2Za1毫秒jxtjdtd62ka1kka2kk 2b1kxkka2kk 2b2ka1kkxk2012年12月22日b2ka1kL1ZDjxsjdsb1ka2kL1DZDjxsjdsD1 26r：根据这个估计，我们证明了算子A映射球2b1b2jx62ka1kL1Dka2kL1D 2b1kxkL1Dka2kL1D2b2ka1kLBr本身与1 1 1 1qd-d2-16b1b2ka1k·ka2k62ka1kL1Dka2kL1Drb1ka2kL1Drb2ka1kL1Dr b白俄罗斯bkxk：r：2b1b21 2L1LD根据假设（ii），我们有0d2-16b1b2ka1k·ka2kd2;这意味着<0qd2-16b1b2ka1k·ka2k d：以来lim f super fZt：t

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