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i=1理论计算机科学电子笔记170(2007)125-138www.elsevier.com/locate/entcs纠缠和可分性Simon Perdrix1莱布尼茨实验室IMAG-INPG法国格勒诺布尔摘要作为迈向量子数据结构概念的第一步,我们引入了一个反映纠缠和可分性的类型系统。这是在经典控制的量子计算的背景下提出的,其中经典程序控制一系列量子操作,即作用于量子存储器的酉变换和测量这种量子计算的抽象模型是量子随机存取机(QRAM[5])和经典控制的量子图灵机(CQTM[9])。一些量子编程语言遵循这个模型[1,3,6,12,13]。其中,Valiron [15]定义的函数式语言是本文所开发语言这是正在进行的工作关键词:量子编程语言,量子类型,纠缠和可分性第1章基本概念:可分离性和纠缠量子比特的状态是二维希尔伯特空间中的归一化向量C2。 一组n个量子比特的状态通常由归一化向量在2n维Hilbert空间中, C2。在一组量子位的所有可能状态中,其中一些是可分离的:定义1.1一个国家|量子位集合S的量子化,|如果存在S的一个划分{A,B}(其中A和B都是非空集)和两个状态,则S是可分的|A|A部分和B部分各自的长度,|ϕA ⟩⊗ |你好|ϕ B⟩.1电子邮件:simon. imag.fr1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2006.12.015126S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125定义1.2量子态|ϕ⟩ is entanglediff|不可分割的。例如,一个贝尔国家1个(|01 ⟩−|10赫兹)和GHZ状态21个(|000+2|111⟩)are entangled. 纠缠是非局部操作的基础(quan-量子隐形传态[8]),并构成了基于测量的量子计算的基本资源[10,2]。此外,显著的加速(例如,Shor算法[14])由于纠缠而成为可能。纠缠和可分性的概念可以扩展到量子位,并且可以由一组量子位的量子位上的关系表示定义1.3对于给定的状态|在一个量子位集合S中,S的两个量子位x,y是可分的,如果存在S的量子位的一个分区{X,Y},使得x∈X和y∈Y,并且存在一个状态,|1998年,|X(Y)中的量子位的,使得|X|你好。|ϕ Y⟩.定义1.4两个量子比特x,y纠缠,但它们不可分离。定义1.5对于给定的状态|1、A组B组C组B组|是S的量子比特上的纠缠关系:(x,y)∈R Ei <$x和y是纠缠的。引理1.6对于任何|张晓刚,李晓刚(|(1)是一个等价关系。证据• 对于任何量子比特x,根据前面的定义,x与自身纠缠,因此R E(|反应性强;• R E(|(1)是平凡对称的;• (1)x,y|(1)A(1)A(2)A(|(掌声)。如果x和z是可分的,则存在以下量子位的分区{X,Z}:|美国和两个国家|你好,|Z,|ϕ⟩ = |X|你好若x = 0,则X =0,y=0,|(1)R(1)R(2)R(|(掌声)。所以,根据CO N的矛盾,RE(|)是传递性的。故R(|(1)是一个等价关系。Q2传送类型为了指出在量子编程语言中处理纠缠和可分性的重要性,我们分析了一个隐形传态程序的规范隐形传态可以表示为取三个量子比特并输出三个量子比特的函数。此函数的类型可以是:隐形传态:qbit<$qbit<$qbit√√S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125127|ϕ⟩σ|ϕ ⟩qbit×(qbit <$qbit)(qbit<$qbit)×qbitFig. 1. 远程传送的输入和输出类型其中qbit是任何一对两个量子位的类型,纠缠或可分离。在传送之后,第三个量子比特(鲍勃因此,这个量子位可以独立操作,而不需要干扰其他量子位。为了表示这种可分性,可以在类型化中使用卡氏积而不是张量积:隐形传态:qbit<$qbit<$qbit(qbit<$qbit)×qbit此外,该函数的输入必须是可分离的,因为如果输入状态是例如3-qubitGHZ状态,则远程传送没有意义1个(|000 + |111磅输入可分性的约束可以表述为:2如下所示:隐形传态:qbit ×(qbit <$qbit)(qbit<$qbit)×qbit为了展示如何通过类型化系统来传达这样的规范,我们引入了一种类型化的量子函数语言,使用具有两个乘积的线性逻辑:用于一般情况的张量积和用于表示可分性约束的卡隆乘积。A×B是A<$B的子类型,因为可分态也是一般态。因此,Caribbean产品提供关于系统状态的附加信息,同时指定一个输入是可分离的约束3术语这里介绍的语言很大程度上受到Valiron的量子函数语言的启发量子程序状态是三元组[Q,f,M],其中:• M是一个术语:贝尔贝尔√128S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125M::=funP → M|(MM)|如果(M; M; M)|M,M |U1M|U2M|P::=测量M|设x = new M in M |X |0 |1不|P不::=X|⟨ T,T ⟩其中x在V上的范围是一个可数的变量集,c在C一组常数;• f是从V到{1,.,n}表示存储器中的量子位的索引集合;• Q是在维数为2n的向量或空间C2n中的向量。为了简化约简规则的编写,pi表示变量x,使得f(x)=i。然后,量子程序状态变成一对[Q,MJ],其中M J=M[pf (x1)/x1]。 . [pf(xn)/xn]如果f的整环是{x1, .. . xn}。术语的语法允许:函数的抽象和应用;项对的一致性表达和形成;像测量和么正变换的量子操作的应用;以及量子比特的创建和初始化。模式被指定为单个变量或成对变量P1、P2或T1、T2。 菱形是一种句法形式,用来表达“不”的意思。限制一个参数必须是可分离的:例如,如果隐形传态函数被定义为sfunxy,z→M,itstypeisqbit×(qbitqbit)A,其中A是M的类型。新量子位的纠缠关系将该量子位与其自身相关联。由于关于纠缠的信息在类型规则(5)中通过变量名的关系来陈述这就是为什么语法总是给新创建的量子位命名,让x=newMinM。4减少根据Valiron在[15]中开发的方法,需要一个按值调用的归约系统来解决语言中无克隆的后果:在实际应用函数之前必须对参数进行评估。一个值是以下形式的项VV::=x|funP→M| 0 | 1 |V,V由于测量的概率性质,约简系统是概率性的:状态→p状态可以以概率p应用。S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125129• 功能应用:[Q,(funx→M)V]→1[Q,M[V/x]]如果参数是一对:[Q,(funP→M)V]→1[Q,M[V/P]]当子系统[V/P]重新生成并定义时:M[V1,V2/P1,P2]=M[V1/P1][V2/P2]M[V1,V2V/T1,T2V]=M[V1/T1][V2/T2]• 在任何情况下,在函数应用之前,首先对参数进行求值,然后对函数进行求值:[Q,N]→p[QJ,NJ][Q,MN] →p[QJ,MNJ][Q,M]→p[QJ,MJ][Q,MV]→p[QJ,MJV]• 以下情况:[Q, 如果(0;N1;N0)]→1[Q,N0][Q, 如果(1;N1;N0)]→1[Q,N0][Q,M]→p[QJ,MJ][Q, 如果(M; N1; N0)] →p[QJ, 如果(MJ;N1;N0)]• 测量由i索引的量子位:对于给定的量子比特i,Q是两个状态的叠加,其中{|我不知道,|1 i}是量子位i的标准基础:Q= α |0iQ0+ β |1i第一季度由此可见:[Q,measpi] →|α|二、[|0iQ0,pi][Q,measpi]→|β|二、[|[1i Q1,pi]• 量子位的创建和初始化设x(i∈/range(f))是一个函数,[Q,令x= M中的新0] →1[Q]| 0 i,M [p i/x]]130S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125[Q,令x= M中的新1] →1[Q,|1 i,M [p i/x]][Q,N]→p[QJ,NJ][Q,令x=M中的新N]→p[QJ,令x=M中的新NJ]• 单量子比特酉变换的情况:对于给定的量子比特i:[Q,U p] → [U(i)Q,p]1i11i其中U(i)是应用U托昆比特岛11• 对于两个量子比特酉变换的情况:给定两个量子比特i,j:[Q,U p,p]→[U(i,j)Q,p,p]2ij12ij5类型经典数据有一个基本类型(bit),量子数据有一个基本类型(qbit)。这些类型可以由线性逻辑的运算符组合:!A意味着A是可重复的;A B是参数为类型A输出类型B的结果。此外,允许两个类型的乘积,和×:由A型项和B型项组成的对的类型是AB或A×B。在可复制的数据上,这两个乘积是等价的;在量子数据上,A×B类型意味着这两个项是可分离的。A::=bit|!一|A A|A×A|BB::= qbit| BB5.1分型设k是类型上的顺序关系。这种序关系表达了线性逻辑的性质,即一个可重复的类型!A是不可复制的A型的一个亚型.此外,子类型也由两个不同的产品引起:A×B是AB的子类型,因为可分状态是一般状态的特殊情况。S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125131A AA组 B组!A组B组!A组B组!一个小家伙!BA AJB BJ一个JB ABJAAJBBJABAJBJAAJBBJA× B AJ× BJA×BAB5.2类型规则分型判断是[p;R↑;R↓; Δ]<$M:A,其中[p;R↑;R↓; Δ]是上下文,M是术语,A是类型。上下文[p;R↑;R↓; Δ]由以下组成:• 一个函数p,它将一个项中的每个句法位置与该位置下面的变量例如,考虑以下术语:U1b,U2b,U3 c,U4c,U4d. 则p(0)={a,b,c,d},p(1)={c,d},p(01)={a}。• 在V的量子变量上的等价关系R↑。对于M的自由变量,R↑表示这些变量的纠缠关系对于M的约化的超集:f或anyx,y∈FV(M),如果(x,y)∈/R↑,则x和y在M约化之前是可分的. 对于绑定变量,R↑依赖于模式(参见抽象规则)。• 量子变量上的等价关系R↓ 对于M的自由变量,R↓是这些变量的纠缠关系减去M后的超集。 F或anyx,y∈FV(M),若(x,y)∈/R↓,则nx和y在M约化后可分.• 以及由{X1:A1,.,xn:An},其中xi是变量,Ai上下文[p; R↑; R↓; Δ 1,Δ 2]是上下文[p; R↑; R↓; Δ],其中Δ = Δ 1<$Δ 2且Δ1<$Δ2=Δ 1。 [p;R↑;R↓;Δ, x:A]可以表示为[p;R↑;R↓;Δ,{x:A}]。 !Δ只包含可重复类型的变量(x:!A)。为了说明R↑和R↓各自的作用,考虑以下示例:• [p;]很有趣的xy →x,y:!(A×B)A×B)。 这里的模式<$x<$y<$p,则(x,y)不在R↑中。因为没有自由变量,也没有其他模式,所以R↑=是有效的。132S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125• [p;n;{(x,y)}n;x:qbit,y:qbit]nU2n nx,yn n:qbitnqbit,其中Rn是R. 这里,since(x,y)∈/R↑,假设变量x和y是可分离的,但在约简之后,幺正变换可以在x和y之间产生纠缠,因此(x,y)∈R↓。打字规则是:• 公理:如果R↑<$R ↓:• 产品条款:一把大斧[△→x;R↑;R↓; Δ,x:A]△x:BFV(M)是M项中自由变量的集合。IfR2:[p1;R↑;R1↓;r1,!Δ]ΣM:A[p2;R↑;R2↓;Γ2,!Δ]N:B[p;R↑;R1↓<$R2↓;r1,r2,!Δ]M,N:A×B×项其中,p(n)=p1(n)<$p2(n),p(0.c)=p1(c),p(1.c)=p2(c)。否则:[p1;R↑;R1↓;r1,!Δ]ΣM:A[p2;R↑;R2↓;Γ2,!Δ]N:B[p;R↑;(R1↓$>R2↓);r1,r2,!Δ]M,N:AB双项其中,p(n)=p1(n)<$p2(n),p(0.c)=p1(c),p(1.c)=p2(c)。注5.1根据规则×项和×项,一个对的关系下面的例子说明了这种结构:[p1;{(x,y)};{(x,y)};x:qbit]x:qbitax[p2;{(x,y)};;y:qbit]me asy:qbit×!位[p;{(x,y)};;x:qbit,y:qbit]x,me asy:qbit×(qbit×!(bt)即使x和y最初是纠缠的,由于y是可测量的,所以减少x,measy导致x和y是可分离这种可分性的信息位于树的右侧,因此为了将信息传递给配对,必须完成两个关系的交集。换句话说,测量是一种S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125133• 如果条款:[p1;R↑;R↓; r1,!Δ]ΣM:bit[p2;R↓;R↓; r2,!Δ]N1:A[p3;R↓;R↓; r2,!Δ]ΔN0:A1 1 2 1 3[p; R↑;(R↓$> R↓);Γ,Γ,!Δ] if(M; N; N):Aif2 31 2 1 0其中p(c)=p2(c)<$p3(c)。注5.2这里与乘积项的情况相反,N1和N0中只有一个会被减少。因此,必须考虑N1和N0纠缠关系的超集,因为不知道它们中的哪一个实际上是约化的:考虑(R2↓$>R3↓)π。• 适用范围:[p 1;R↑;R↓; r 1,!Δ]N:A[p 2;R↑;R↓; r 1,!Δ] P-P→M:AB1 1 2 2app[p; R↑; subs(R↓,p1,P); r1,r2,!Δ](fun P → M)N:B1 2其中r∈s(R2↓,p1, P)用位置函数p1代替R2↓的模式P的变量乘以N的变量。新的位置函数p也可以通过在p2中根据p1替换模式P的变量来获得。此外,当R1 ↓ ≠ s(R2 ↑,p1,P)时,即当R1 ≤ p≤ s(R2↑,p1, P)时,该定理才是适用的. 嗯,嗯,M中N保持了Glement和可分性。• 抽象:如果FV(M)dom(r)=dom:(P:A)Q[p; R↑; R↓; Γ,!Δ] ΔM:B[p;R↑;R↓; Γ,!Δ]PuntP→M:!(A)B)、ABS否则:(P:A)Q[p; R↑; R↓; Γ,!Δ]ΔM:B[p;R↑;R↓; Γ,!Δ] P2P→M:ABABS其中操作Q将模式的变量引入到上下文中,同时验证关系R↑与模式的结构一致。Q的定义如下:TQ[p;R↑;R↓; Γ,!Δ,x:A]ΔM:BTQ(x:A)Q[p; R↑; R↓; Γ,!Δ]ΔM:134S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125BQvar其中T递归地定义为T = 0|TQ(P:A)。S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125135如果<$x∈Var(P1),<$y∈Var(P2),(x,y)∈R↑:TQ(P1:A)Q(P2:B)Q[p;R↑;R↓; Γ,!Δ,] μM:CTQ(P_P,P_p:A_B)Q[p;R↑;R↓; Γ,!Δ]ΔM:CQent1 2If<$x∈Var(P1),<$y∈Var(P2),(x,y)∈/R↑:TQ(P1:A)Q(P2:B)Q[p;R↑;R↓; Γ,!Δ,] μM:CTQ(P1<$P2<$:A × B)Q[p; R↑; R↓; Γ,!Δ]Δ M:C• 测量单位:Qsep[p;R↑;R↓; Δ]M:qbit[p;R↑;R↓↓;Δ]表示M:qbit×!位meas当r eR↓↓=R↓\{(x,y)|x∈FV(M)或y∈FV(M)}.• 酉变换:[p;R↑;R↓; Δ]M:qbit[p;R↑;R↓; Δ]U1Unit1M:qbit[p;R↑;R↓; Δ]M:qbit<$qbit[p;R↑;R↓↓;Δ]U2M:qbitqbit其中r eR↓↓=(R↓{(x,y)|x,y∈FV(M)})• 初始化:Unit2I f x∈/do m(!Δ,Γ1,Γ2),且Δy/=x,(x,y)∈/R2↓且(y,x)∈/R2↓:[p1;R1↑;R1↓;r1,!Δ]πM:bit[p2;R2↑;R2↓;Γ2,!Δ, x:qbit]ΔN:新的[p2;R1↑;R2↓;r1,r2,!Δ]Δtx=newMinN:A只有当R1↓<$R2↑时,这条规则才适用。定义5.3一个程序[Q,M]是A型的良型的,如果存在两个等价关系R↑和R↓以及一个位置函数p,使得[p; R↑; R↓; Δ]<$M:A,其中Δ ={x:136S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125qbit|x∈FV(M)}. 在这种情况下,我们写[Q,M]:A。例5.4考虑P =fun xy→ x,y,S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125137我们证明[Q,P]是良型的,[Q,P]:!(A×B A×B):这里,Δ=λ,letR↑=λ,省略p的计算:ax[p;R↑;n;x:A]nx:Aax[p;R↑;Y;Y:B][p;R↑;n;y:B,x:A]n=x,y=A×B×项Qvar(x:A)Q[p;R↑;n;y:B]x,y:A×B(x:A)Q(y:B)Q[p;R↑;n;n] n = x,y n =A × B(xy:A×B)Q[p;R↑;;]x,y:A×BQvarQsep[p;R↑;;]fun xy→x,y:!(A×BA×B)ABS例5.5考虑P =fun x,yx → funx,yx,我们证明[Q,P]是良型的,[Q,P]:!(A<$B A<$B):这里,Δ=,letR↑={(x,y)}:ax[p;R↑;{(x,y)};x:A]x:Aax[p;R↑;{(x,y)};y:B]y:B[p;R↑;{(x,y)};y:B,x:A]x,y:ABtermQvar(x:A)Q[p;R↑;{(x,y)};y:B]<$$>x,y<$:A<$B(x:A)Q(y:B)Q[p;R↑;{(x,y)}<$;<$]<$$>x,y<$:A<$B(x,y)Q[p;R↑;{(x,y)};]x,y:ABQ变量Qent[p;R↑;{(x,y)};]funx,y→x,y:!(ABAB)绝对值例5.6考虑P=funxy,z →U2x,y,(funa,b→a)(measz),我们证明[Q,P ]是良型的,[Q,P ]:!(qbit×qbit<$qbit量子比特qbit×qbit):设Q=funa,b→a为第一个投影。这里,Δ=λ,letR↑={(y,z)}λ:138S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125T1:ax[p;R↑;{(y,z)};x:qbit]x:qbitax[p;R↑;{(y,z)};y:qbit]y:qbit[p;R↑;{(y,z)};x:qbit,y:qbit]x,y:qbitqbit项[p;R↑;{(y,z),(x,y)};x:qbit,y:qbit]<$U2<$x,y<$:qbit<$qbitunit2T2:ax[p;n;n;a:qbit,b:![bit] bit[bit]bit[p;]Q:qbit×!位qbitabsax[p;R↑;{(y,z)};z:qbit]z:qbitmeas[p;R↑;N;z:qbit]请给我一个z:qbit×!位app[p;R↑;n;z:qbit]Q(measz):qbitT1 T2[p;R↑;n;x:qbit,y:qbit,z:qbit]U2x,y,Q(measz):qbitqbit×qbit×项[p;R↑;R ↑;R↑] (qubit×qbi t <$qbitqbit<$q bit×qbit)abs6量子类型化以下引理的证明是通过结构归纳完成引理6.1若[p;R↑,R↓, Δ]<$M:A且A<$B,则[p;R↑,R↓, Δ]<$M:B级;引理6.2若[p;R↑,R↓, Δ]<$M:A且Γ<$ Δ(其中R是自然扩张的),则[p;R↑,R↓, Γ]<$M:A;Lemma6. 3If[p;R↑,R1↓,Δ]<$M:A和R1↓<$R2↓,当存在A<$B时这样that[p;R↑,R2↓,Δ]<$M:B;由于R1↓表示约化后变量的可分性,在R2↓(R1↓<$R2↓)中的一个弱相关性项仍然是不可分的,但具有弱相关性。类型,如引理6.3所示。Lemma6. 4If[p;R1↑,R↓,Δ]<$M:A和R2↑<$R1↑,当R1↑和R2↑仅在M的四个变量上不同时,n[p;R2↑,R↓,Δ]<$M:A;对于M的自由变量,R1↑表示约化前的可分性,但若有更强的关系R2↑(R2↑<$R1↑),M仍是可分性的.Conjec ture6.5(Substi tution)If[p;R↑;R1↓;r1,!Δ, x:A]ΔM:B和[p;R↑;R2↓;Γ2,!Δ]ΔV:A,ten[p;R↑;R1↓↓R2↓;r1,r2,!Δ]M[V/x]:B。替换性质没有得到证明,因此主题约简进步也是被证明但没有被证实的。S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)1251397量子数据结构量子数据可以纠缠或可分离的事实需要额外的规范,这在[13,15]中提出的数据结构的通常概念中不存在。量子数据中存在或允许的纠缠结构的抽象规范显然是必须用量子数据结构和量子数据类型的概念来传达的信息的一部分。本文以量子数据为例,远距传送所使用的结构。本文通过区分两种模式P1、P1→ P2和P1→P1→P2→以及A→B型和A×B型来达到这一目的。一个更详细的例子是在单向量子计算机[11]执行期间使用的数据:量子位的矩形阵列,其中所有量子位最初都与它们的邻居纠缠,并且该量子数据结构中的纠缠以逐步的方式被连续的1-量子位测量消耗一个有趣的特例,至少适合单向量子计算机,是对应于图状态的量子数据结构族[4,7]。这将在正在进行的这项工作的范围内进一步研究,以及相关的类型概念。确认我要感谢Philippe Jorrand和Pablo Arrighi的讨论和评论。引用[1] S. Bettelli,T.Calarco和L.Sera Fini,Toward an architecture for quantum programming,Eur.Phys. J. D,Vol.号25第2页。181-200(2003年)[2] 诉Danos,E.Kashe fi,P.PanangeloThe Measurement Calculus,电子版arXiv:quant-ph/0412135,2004年。[3] S. J. Gay和R.NagarajanCommunicating quantum processes,Proceedings of the 32nd ACMSIGPLAN-SIGACT Symposium on Principles of Programming Languages , Jens Palsbergand Martin Abadi(Eds.),POPL 2005,2005年1月12日145-157[4] M. Hein,J. J.李文,图态中的多粒子纠缠,物理学报,2004年第69期,第062311页。[5] E. Knill,量子伪码约定,LANL报告LAUR-96-2724,1996。[6] M. Lalire和Ph. Jorrand,并发和分布式量子计算的过程代数方法:操作语义,第二届国际量子编程语言研讨会论文集,2004年,第10页。109比126[7] M. Mhalla和S.Perdrix,Graph State Preparation的复杂性,arXiv:quant-ph/0412071,2004。140S. Perdrix/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 170(2007)125[8] M. A. 尼尔森和我。L. 创. 量子计算与量子信息,剑桥大学出版社,2000年。[9] S.Perdrix和Ph.Jorrand,经典控制量子计算,arXiv:quant-ph/0407008,出现在计算机科学中的数学结构[10] S.珀德里克斯State Transfer instead of Teleportation in Measurement-based QuantumComputation,International Journal of Quantum Information,3(1):219-224,2005.[11] R. Raussendorf和H. J. Briegel,一种单向量子计算机,物理评论Lett。86,5188[12] J.W. Sanders和P. Zuliani:Quantum Programming,Mathematics of Program Construction,Springer LNCS 1837,80[13] P. Selinger,Towards a Quantum Programming Language,Mathematical Structures inComputer Science,14(4):527[14] P. Shor,Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete times on a quantumcomputer,SIAM Journal of Computing 26,pp. 1484[15] B. 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