可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报4（2017）178用解析法和有限元法分析非圆形线圈形状的棱柱形弹簧和圆形线圈形状的非棱柱形Arkadeep Narayan Chaudhury，Debasis Datta印度工程科学与技术学院机械工程系，印度希布普尔阿提奇莱因福奥文章历史记录：2016年11月14日收到2017年1月2日收到修订版，2017年在线提供2017年保留字：非圆螺旋形棱柱弹簧非圆螺旋形棱柱弹簧CAD建模与有限元分析弹簧的设计和选择等效阻尼弹簧的线弹性屈曲A B S T R A C T本文提出了一种用解析法和数值法设计非圆形弹簧和圆形弹簧的方法。首先，简单的分析公式，获得轴向载荷下的弹簧的轴向变形已被证明。接下来，概述了在商业软件中获得弹簧的CAD模型及其随后的有限元分析（FEA）的过程。在第三部分中，不同的弹簧已经比较了一个普通的圆柱弹簧和他们的优点相比，一个普通的弹簧已经证明。接下来，一个相当准确的分析公式（最大误差为~7-其次，讨论了非棱柱形弹簧在动载荷作用下的两个方面，即在振动系统中引入的阻尼和由于弹簧形状对一维振动弹簧质量系统中等效质量的贡献。最后一部分涉及两个圆形线圈形状的弹簧的线弹性屈曲对于大多数的工作，重点一直在获得和使用不同的quanti- ties的封闭形式的解析表达式，而数值技术，如有限元分析已被用于验证相同的©2017 计 算 设 计 与 工 程 学 会 Elsevier 的 出 版 服 务 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍螺旋弹簧是最基本的柔性机械元件之一，并且主要用于几种工业应用中，如天平、制动器、车辆悬架和发动机阀，以满足诸如施加力、存储或吸收能量、为机械系统提供柔性以及保持力或压力的功能。此外，螺旋弹簧用作大多数常见类型的振动吸收器的弹性构件。在这些应用中使用的最常见的螺旋弹簧呈现为圆柱形三维弯曲梁，其特征在于其螺旋形状和沿轴线的恒定对于这些类型的弹簧，在横向和垂直方向上的空间需求是不可否认的。但是对于一些非常专门的应用，其中存在横向和（或）竖直空间约束，由于主要由于使用多个弹簧而导致的刚度的不希望的增加，普通弹簧可能不会这可以通过以下方式避免：由计算设计与工程学会负责进行同行评审。q当前工作的一部分以Chaudhury et al. （2016年）。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： arkadeep@mecheng.iisc.ernet.in （ A.N.Chaudhury ） ，ddatta@mech.iiests.ac.in（D. Datta）。使用两种特殊类型的弹簧，即具有非圆形形状的弹簧以满足横向空间的限制，以及具有圆形线圈形状但非棱柱形轮廓的弹簧以满足垂直空间的限制。在非圆形螺旋弹簧中，矩形弹簧用于轻型火器。在非棱柱形弹簧中，圆锥形弹簧通常用于需要低实体高度和增加的抗冲击性的应用中，如汽车发动机、大型冲压机、割草机、医疗设备、手机、电子和敏感仪器设备，并且与常规压缩弹簧相比，涡形弹簧提供更大的横向稳定性和更小的弯曲倾向。还有，共振和过度振动（或喘振）的可能性由于螺旋弹簧具有均匀的节距，由于线圈结构（见第6.1节）和随着每个线圈闭合而增加的固有振动周期（而不是圆柱形弹簧中的恒定振动周期）而产生的阻尼更对于实际用途的弹簧设计和选择，弹簧在轴向载荷下的挠度和最大应力是两个主要因素。应力分析是螺旋弹簧研究的主要课题之一。这一领域的研究始于Ancker和Goodier（1958 a，b）的开创性工作，他们使用边界元法（不要与现代边界元法混淆）来应用弹性理论，并得出一个近似结果，以满足控制要求。http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2017.02.0012288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178179.Σð Þp¼@FX2个EIþX2GJ þ2H2个EIþ2H2GJ6432R方程和边界条件沿线圈的表面。对于弹簧的小变形，Wahl（1944）认为弹簧的钢丝是一根受到剪切和扭转的圆棒。在Wahl方法中忽略了轴向变形和扭转变形之间的耦合，并使用校正因子来解释弹簧的曲率。Nagaya（1987）求解了弹簧中应力分布的方程，并提出了一种分析方法，但上述解仅适用于少数几种横截面（圆形、矩形等）。Kamiya和Kita（1990）也用边界元法处理了这个问题，但分析仅限于小螺旋角的弹簧。此外，Cook（1990）通过使用有限元方法分析了相同类型的弹簧，并显示了与该方法忽略弹簧螺旋角相关的工作的局限性Haktanir（1994）通过分析方法解决了同样的问题，确定了弹簧的静应力Jiang和Henshall（2000）开发了一种基于有限元法的方法，通过开发精确的边界条件和使用有限元分析来分 析 圆 形 横 截 面 螺 旋 弹 簧 Fakhreddine ， Mohamed ， Said ，Abderrazek和Mohamed（2005）提出了一种有效的两节点有限元，每个节点有六个自由度，能够模拟螺旋弹簧的整体行为。在上述方法中，所有分析都是在仅具有恒定线圈直径的圆形线圈形状的棱柱形弹簧所引用的分析和方法虽然准确，但在弹簧线圈为非圆形或线圈尺寸轴向变化的情况下可能不容易使用但是，如前所述，非圆形线圈形状的弹簧或非棱柱形弹簧在空间受限的实际情况中得到因此，我们认为，企图。棱柱形弹簧在整个长度上具有均匀的横截面。2.1.1. 矩形弹簧在这一节中，一个棱柱形弹簧与一个矩形线圈形状的边界上的小边（见图）。 （1）已尝试。弹簧，虽然有一个不寻常的形状发现在各种机械设备，如枪支和步枪的应用。弹簧外形的基本尺寸如图所示。1.一、长度为2a，两侧圆弧的圆心本节将采用此处所示的符号。可以看出，轮廓关于平面上的每个象限轴对称，原点与图形的几何中心 这种对称性的优点，如图所示。图1b中，仅涉及线圈形状的四分之一，通过导出仅四分之一的关系并将其乘以每个线圈的4来获得。弹簧的直线部分，如图1b在线圈的中心处对向角f1/4 tan-1a。垂直作用在中心的力F在线圈的一部分上引起弯矩和扭矩。圆弧部分和直线部分的力矩表达式是不同的，分别表示.在离垂直中心线x的弹簧截面上（见图1b），由直线部分上的力引起的弯矩和扭矩Mx和Tx为：Mx¼Frtanjiang1Tx¼Fr从Fig. 二、在目前的工作中，获得应力的解析方法，和挠度特性，两个主要的弹簧设计检查点，已被尝试，并通过这样开发的方法获得的结果进行了比较，与一个独立的方法，有限元分析，以验证它们。p<$qa2r22arsinh/¼sin-1r余弦ð2Þð3Þ目前的工作安排如下。第2节给出了棱柱形和非棱柱形弹簧在轴向载荷下的挠度的解析公式，并对它们进行了基准测试使用上述弯矩和扭矩值，Mh和由弯曲部分上的力引起的Th为：. Mh¼Fpsinh/反对FEA。在第三节中，简要讨论了弹簧在商业软件中的CAD表示和有限元分析。Th¼Fpcosh/ð4Þ使用商业软件进行分析。在第4节中，将第2节中讨论的各种弹簧与带有圆形线圈的普通棱柱形弹簧进行了比较，旨在指出不同弹簧的优点。 第5节，分析图2所示截面的总应变能由两个分离截面MN和NQ中的力矩引起的应变能之和给出。使用公式（1）和（4）ZaM2dxZaT2dxZpM2dhZpT2dh部门使用商业软件。最后一节（第6节）讨论了非棱柱形弹簧在动态载荷作用下的特性。圆锥壳线弹性屈曲强度的比较0000其中I和J表示具有直径d的线的截面的惯性的弯曲和扭转力矩。I¼pd4，J¼pd4。E和G和相同质量的圆柱形弹簧2. 弹簧的挠度分析在这一节中，我们尝试了用解析方法来求出不同螺距和钢丝直径不变的螺旋弹簧的变形该公式涉及固体力学基本方程、力的平衡和基本几何关系的使用从公式中获得的结果进行了比较，从相应的弹簧的CAD模型的有限元分析2.1. 非圆截面弹簧的变形分析在这一节中，已经给出了两种具有非圆形线圈形状的棱柱形弹簧的解析公式，表示弹性体的杨氏模量和刚性模量。弹簧丝材料具有Nr个主动弹簧的总应变能线圈1可以被给定从当量（五）作为根据众所周知的卡氏定理，如图2所示，由于轴向载荷F引起的弹簧的轴向偏转可以给出为d1/4@UTotal下表1中给出了相同情况下上述公式和FEA的比较。它假设钢的E为所考虑的弹簧具有Nr7： 5，用于8整圈，具有研磨端，并且在15 N的轴向载荷下。从表1中可以看出，挠度的分析公式与FEA一致。类的闭合形式表达式1压缩弹簧的有效线圈数通常小于弹簧的实际线圈数。这取决于弹簧的端部条件更多细节请参见Shigley（1972）或Bhandari（2010）的教科书。给出了获得不同弹簧最大应力的表达式，并与有限元分析结果进行了比较U¼ð5Þ180A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）17864¼¼¼2个p322 32Fig. 1. 矩形弹簧的示意图。(a)弹簧线圈形状的表示。(b)图4的四重对称性的解释。凌晨1以及局部半径矢量的方向，连接代表性第1截面上的任何点和G的线，可以从以下分析中获得：参考图3b，可以观察到以下：三角形被分成6个相同的部分CQG对向在质心G处的角度为60°。仅分析了其中一个代表性部件。由半径矢量GP扫过的角由关于O的h0和关于G的h表示。 \QGE/.N0是_在点P处的弧UPE的法线，因此与半径矢量O！P和TT 0是圆弧的切线_UPE在点P，\NPGn.设OG由lc表示，OP由rc表示。因此，从图4可以看出，P和UG之间的垂直距离PM为rcsi nh0lcrccosh0tanh。因此，我们认为，图二.分析弹簧在轴向力作用下的代表性四分之一。tan-1rcsinh0lcrccosh0ð6Þ此外，EQ<$b、GQ<$p和CQ<$a。偏转可以通过对方程进行符号微分来尝试（5）本案中。但是，这对于下一个示例是不可能的2.1.2. 三角形弹簧在本节中，已尝试分析轴向载荷下具有圆边的三角形轮廓的挠度最初，弹簧轮廓的一般几何公式已经完成，随后是相同的FEA和前面的部分一样，分析结果和数值计算结果也进行了比较。弹簧外形的基本尺寸如图所示。 3 a.图 3、a是主包络等边三角形的边，b是弹簧轮廓上直边的长度，C是\OPG<$180磅-<$180磅-小时0磅 小时] <$小时0-小时<$7磅对于弧UPE，半径矢量G！P/l表示为克！P¼G！我...Plccoshrc cosn8由于中心施加的力矩，弯曲截面UPE上一点上的力矩表示为M Fl。如图所示，点P上的弯矩和扭矩。 四是作为，. Mh¼Flsinh0不H三角形的顶点，G是三角形的质心，r是三角形弯曲部分的半径，O是三角形的中心弯曲部分，b0是G和O之间的距离，点O硬币-然而，对于直线部分QE，同样的情况很容易计算为：（Mx¼aFtannh）与内部较小三角形的顶点相交与前一节类似，观察到六重对称Tx¼apFð10Þ(see图3b）在弹簧的轮廓中，因此考虑由三角形4CQG幅度表1矩形弹簧的解析公式和有限元分析的比较。由于轴向力F，图4所示截面的总应变能可以给出为，#a（毫米）r（mm）分析获得的挠度（mm）FEA的偏转（mm）113.2613.2610.4710.39214.3012.8710.7511.40315.5312.4211.1711.75417.0211.9111.5611.96518.6611.3212.2312.45h¼2 3¼Flcosðh0Þð9ÞA.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178181h¼h@F¼HXXCCZZ图三. 三角形弹簧的示意图。(a)弹簧线圈形状的表示。(b)解释图6的6重对称性。 3 a.第可以注意到，前两个积分很容易解决，象征性地，通过将变量从h改为h0。这很容易通过以下替换来实现：Drcrclccosmoshd0l2r22lc rccossih见图4。分析代表性的六分之一弹簧所受的轴向力。O对于具有Nt有效圈数的总弹簧，应变能被给出为UTotal1/46Nt U截面，并且使用卡氏可以注意到，由于力和力矩的复杂表达式，获得解析表达式是非常困难的。因此，这些操作是以数字方式进行的。为了进行比较，以下弹簧尺寸已使用：06米，b¼0： 04 m，七分之五，r¼0： 00577m，lc0： 2309 m，参数c的值（见第4.1.2节）选择为5.0。表2表明，解析公式与有限元分析结果吻合良好。2.2. 圆形线圈形状的非棱柱弹簧的分析本节中分析的弹簧由圆形线圈组成，线圈直径在弹簧长度上变化根据Republishenko和Young（1986）给出了获得圆形线圈形状弹簧挠度的一般解析公式。在图5中，可以观察到，线圈半径为R。考虑导线的任意截面钢丝直径为d，弹簧的截面关于中心对称，在所有平面上的轴，轴向压缩力U形截面¼ Zh-30μM2ldh0h-30T2ldh0þnM2ldhþþZnT2ldhð11Þ截面上的任何弯矩，仅产生扭矩02EI02GJ02EI02GJ被解雇了由该力矩引起的扭转角由下式给出：由方程式（11），前两项表示弯曲部分的能量，后两项表示直线部分的能量d/¼FR2daGJ12H182A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178¼ð Þ●-;¼2L¼！03表2三角形弹簧的解析公式和有限元分析的比较。2.2.1. 锥形非棱柱形弹簧在这一部分中，试图用解析公式来获得缠绕在圆锥形轮廓上的非棱柱形弹簧的挠度弹簧外形的尺寸及其表示如图所示。早上6R1和R2是描述圆锥轮廓的截头体的最小和线圈在任何轴向距离上的半径，弹簧中心处的角度α可以由下式给出，RaR1-R2-R1að14Þ其中，在图5中，da是所考虑的线圈元件在线圈中心处对向的角度。同样，从图5a，通过在B和OB a处画直线，将线截面O的中心和力P的施加点连接起来。由于扭转，截面的下部相对于点O旋转_2pNco其中Nco是弹簧圈的有效数量。很容易看出，这是一个可积函数在。使用等式（14）在Eq. （13），弹簧的偏转被获得为，16FNcoR2R2R1R2力F的作用点描述了一个小的BB01/4ad/。在以下表达式中，d是在dco¼1 2GD4ð15Þ力的施加，α是线圈中心处的差动元件所对的角度。由于微分元件引起的整个弹簧的变形在方程中给出（十三）计算是针对一个锥形弹簧进行的，R1¼8： 65 mm，R2¼30 mm，钢丝直径d¼6 mm，未压缩长度80 mm，有效卷数Nco<$5： 34，由E<$4210 GPa的钢制成，m<$40： 27，压缩载荷F<$4250 N。！BB R FR daB0B00¼ ¼Rd/ ¼ð13Þ通过Eq. （15）和FEA进行了比较，见表3。 据观察，通过aGJ并且，由总加载弹簧引起的总挠度通过对方程的右侧积分而获得。（十三）、可以从上述过程中进行以下观察没有假设任何关于线圈半径沿弹簧的恒定性的假设。公式（13）可以由函数Rx代替，该函数Rx描述了无论在何处施加力，在距基部或顶部的任何轴向距离处的线圈的半径。部分MN图中m0n0。图5b中的弹簧仅在扭矩作用下，并且如已知的，具有非圆形形状的弹簧的偏转有限元分析方法的分析获得的结果与连续的网格细化。2.2.2. 具有涡卷弹簧形状的在本节中，已尝试获得缠绕在涡形轮廓上的非棱柱形弹簧的挠曲。弹簧的轮廓（见图6b）是一个封闭的抛物线曲线，由抛物线绕直线旋转形成非棱柱形。图6b中给出了弹簧轮廓的尺寸及其表示。R和r是描述抛物线到旋转轴的最大和最小距离，l是弹簧的自由长度。在任何轴向距离处的线圈的半径可以由Rxax2bxc给出，其中，成形线圈受弯曲和扭转的影响力矩，因此，该方法不适用于第2.1节中描述的弹簧，其原始形式如方程式（十三）、aR-2rb2l24 r-R; c¼R16图五. 非棱柱形弹簧的示意图。(a)螺旋弹簧形状的正视图。(b)螺旋弹簧形状的平面图。●#轴向力（N）通过分析获得的挠度（mm）通过FEA获得的挠度（mm）1109.28.922018.217.835046.044.54 7569.066.24A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）1781832个pð Þ¼ ¼¼¼¼图六、锥形和涡形弹簧的示意图（a）锥形弹簧示意图（b）涡形弹簧示意图（线圈未显示）。表3FEA和Eq.（十五）、表4有限元法与挠度解析表达式的性能比较网格尺寸输入挠度值（mm）偏转性质网目尺寸挠度（mm）偏转性质默认6.682压缩默认7.25压缩0.017.571”0.017.32”0.00097.599”0.0057.48”0.00057.805”从解析表达式7.45”值来自Eq. （十五）7.85”为了将坐标从x（见图6b）转换为弹簧丝的角度描述，进行了替换x/4pa，其中p是弹簧的节距。使用上述替换和Eq. 在公式（16）中，在Rx的表达式中，弹簧丝的角度描述被获得为，RaR-2RP2A24r-Rpa3.1. 弹簧板组件对第2节中讨论的所有弹簧进行FEA，以获得弹簧在轴向载荷、最大剪切应力和最大von-Mises应力下的挠度。弹簧的两端由两块底板组成，用于传递力。以下是汀江点是的派拉蒙重要性关于ð Þ¼2l24p2l2pR17弹簧的组装和随后的FEA弹簧的有限元分析弹簧的总挠度可通过代入方程（17）在Eq. （十三）、可以注意到，通过积分Eq. （17）是非常复杂的，因此很容易寻求被积函数的数值，而不是像方程（17）中那样的封闭形式方程。（十五）、在F1/419： 6 N轴向载荷下弹簧挠度的分析和FEA结果比较的类似练习是开展与r¼40 mm，R¼60 mm，l¼40 mm，p<$426： 667 mm=弹簧圈，有效弹簧圈数Nv<$46，钢丝直径d6毫米，随着E200 GPa和m0点27分以下是表4中的结果表明，随着网格的连续细化，FEA结果收敛到分析获得的结果。3. 弹簧的CAD建模与有限元分析Chaudhury等人（2016）详细讨论了使用商业软件（即ANSYSStatic SturcturalModule，2014; SolidWorks，2015）对弹簧建模及其有限元分析的详细说明，因此，本节中提出了有关相同内容的几个关键点。到目前为止讨论的弹簧CAD模型（第2.1.1、2.1.2、2.2.1、2.2.2节）如图7这些模型是使用商业CAD环境（SolidWorks，2015）制作的 。 随 后 ， 通 过 将 模 型 导 入 ANSYS Static Sturctural Module（2014）中，对弹簧在轴向载荷下进行FEA。通过从Solid导入装配好的CAD部件进行Ansys Static Structural模块（ANSYS Static Structural Module，2014）的工作环境。由于所有的应力都低于弹性极限，只引起弹簧的弹性变形，因此选择了该模块。通过选择8节点砖单元（在ANSYS StaticSturctural Module，2014中分类为SOLID187）和具有直边的四面体单 元 （ 在 ANSYS Static Sturctural Module ， 2014 中 分 类 为SOLID285）进行网格划分。所使用的元素是劣于Fakhreddine等人开发的那些。（2005）、Choi和Lim（1995）的GCSCC和GLSCC元素或Jiang和Henshall（2000）开发的元素，但它们的简单性、商业可用性和非常高的h-细化的可能性而不增加太多计算负载（已经进行了多达200，000个元素的模拟）证明了它们的使用。对于矩形弹簧的典型情况，9： 78毫米，a24： 45 mm（见第2.1.1节），单元和节点数量分别为50，515和191，320。分析中考虑的所有力都是轴向力，因此均匀分布的压力施加在接地端的垫板上为了更好地表示载荷，用弹簧的载荷代替点载荷。在有限元分析过程中，使用厚板来支撑弹簧。厚板用于最小化由于加载模式而导致的板凹陷的影响，观察到的弹簧变形。然而，由于重力加载选项未激活，因此板的重量不起作用。184A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178K图7.第一次会议。迄今为止所研究的弹簧的CAD模型（a）矩形弹簧的CAD模型（b）三角形弹簧的CAD模型（c）锥形弹簧的CAD模型（d）涡卷弹簧的CAD模型表5标准圆柱弹簧的应力-挠度特性。4.1. 非圆螺旋棱柱形弹簧的比较和圆柱形弹簧轴向载荷（N）挠度（mm）最大应力（von-Mises）（MPa）研究棱柱形弹簧的动机15 8.88 65.484. 各种弹簧与普通圆柱弹簧的比较在机械部件中使用的最常见的弹簧是等螺距圆柱形弹簧，但到目前为止，讨论包括两个非圆形线圈形状的弹簧和两个圆形线圈形状但非棱柱形轮廓的弹簧。在下面的章节中，我们将对目前讨论的弹簧和一个等螺距圆柱形压缩弹簧塞林-用于比较的弹簧是一个标准弹簧，非圆形线圈形状是为了满足弹性元件容纳在非圆形空间内以及使用多于一个圆柱形弹簧将增加系统刚度的设计要求因此，弹簧具有相同的基底面积，但是在线圈的不同圆度、相同的节距和相同的自由长度方面具有不同的线圈形状，这基本上意味着它们具有相同的有效匝数4.1.1. 矩形弹簧图1a中由弹簧圈包围的面积可以表示为A¼pr2×4ar。对r的表达式的进一步简化可以可以通过代入1/4r，k直径为40 mm，线径为3 mm，具有8个线圈和80 mm自由长度。弹簧的材料被认为是具有E<$200 GPa和m<$40： 25的钢，并且其具有研磨端。r¼sAð18Þ线圈面积为1256： 64 mm2。该弹簧承受15 N的轴向载荷，并获得与弹簧上产生的最大剪切应力及其轴向挠度相关的以下值（见表5由方程式（18）对于新引入的参数k的特定值，根据仅一个变量r来表示底面积A。使用等式如式（18）所示，通过改变弹簧的形状，可以获得具有相同的基部面积A但在圆度方面具有不同的线圈形状的许多弹簧。p4=kA.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178185Z2C3ffiffiffi¼ð-ÞCþ3¼300c-100rcprc19k的值，并随后获得r和a的不同值。这个概念被用来制作SolidWorks设计表特征，以获得各种弹簧。本文给出了变参数矩形弹簧的试验结果。弹簧参数与第2.1.1节相同。 图图8 a和b显示了是圆柱形弹簧的圈数，Nco是圆锥形弹簧的圈数。c是单位长度钢丝的重量圆柱形弹簧的质量为Mcy<$2pRcNcy。具有N个线圈的非棱柱形弹簧的质量可以获得为，不同参数k值的矩形角弹簧的轴向挠度和最大von-Mises应力的变化。以下M2pNcR0ðhÞdhð20Þ从图8中可以看出。使用等式（14）在Eq. （20）并且简化，锥形弹簧的质量Mco可以获得为，● 弹簧的挠度与挠度R R对于较低的k值稍微增加。弹簧的应力值明显高于圆柱形弹簧的应力值，并且最大应力值随着k值的降低而增加。这归因于弹簧的弯曲效应较高的k值表示接近圆形轮廓，因此，Mco¼2pNco12c21因此，对于具有相等质量的圆锥形和圆柱形弹簧，Mco和Eq. （21）可以比较简化得到，曲率效应不太明显。R¼NcoR1R2ð22ÞNcy24.1.2. 三角弹簧在本节中，我们将尝试通过一个案例研究来比较三角形弹簧和具有相同线圈面积的圆柱形线圈弹簧的轴向压缩。参数c（先前在第2.1节的最后部分中提到）2）定义为c<$b0r<$rc。可以观察到，c是弹簧轮廓的圆度的量度。c的值越高，弹簧的轮廓越偏离圆形形状，并且随着c的值的减小，线圈形状接近圆形。每-将标准圆柱形弹簧与具有较大半径25 mm和较小半径15 mm的圆锥形弹簧进行比较15 N轴向载荷。可以获得以下结果。4.2.2.关于涡形弹簧对于涡形弹簧，弹簧的质量可以通过使用方程计算。（17）在Eq.（20）. 使蜗壳和圆柱形弹簧的质量相等并简化所得表达式为，在c1/41处得到完美的圆，在c1/41处得到完美的三角形。从R¼Nv11R8rð23Þ图 3b很明显b0¼pb是零。将b0的值代入expres-Ncy12对c的解析解为，bp3rc c1。因此，线圈给出为，将标准圆柱形弹簧与具有R1/425 mm和r1/415 mm的涡形弹簧进行比较。3p2013年3月2日42p2通过分析，对于非棱柱体，可以得出以下结论：弹簧，简化Eq.（19），A/CN.1/ 299c2/ 2/ 598c- 0/756c2得到了可以最大应力被发现是在较高的一侧，非棱柱形型材与圆形线圈形状，独立的三角形弹簧已经与前面讨论的标准圆柱形弹簧进行了比较。通过使弹簧承受15 N轴向力获得结果。从图中可以得出以下结论。第九章：随着弹簧轮廓偏离圆形轮廓，即随着c值的增加，线圈中引起的最大应力增加。弹簧也失去刚性，因为偏离了圆形线圈形状。4.2. 圆形线圈形状的非棱柱形弹簧与圆柱形弹簧研究具有圆形线圈形状的非棱柱形弹簧的动机是为了满足弹性元件容纳在围绕轴向方向具有非均匀空间的空间内的设计要求这些弹簧和具有相同底面积的普通圆柱形弹簧之间的比较在这种情况下，使弹簧具有相同的质量、相同的节距，并且已经获得了在比较中的弹簧的线圈数的比率与非棱柱形弹簧的主要尺寸之间的关系。4.2.1. 锥形弹簧使用第2.2.1节和图6a中的常规符号。R是圆柱形弹簧的线圈半径。Ncy是相关情况下的轮廓（锥形或蜗壳）。对于非棱柱形轮廓的半径的特定选择，等效弹簧具有相同的圈数，因此对于圆锥形配置具有相同的长度，然而，涡形轮廓具有少得多的圈数5，因此自由长度减小。关于偏转没有什么结论性的说法，但是注意到，对于相同的重量，在相同的力下，锥形弹簧的偏转比涡形弹簧的偏转大大约2.18倍。这意味着在相同的载荷和弹簧质量下，为了限制变形，涡卷弹簧是一种更好的选择。随着Eqs.（22）和（23）通过考虑总挠度或最大应力或重量作为目标函数，可以尝试优化弹簧形状的问题为了适当选择最小和最大线圈半径，与圆柱形弹簧相比，因此，可以看到改变非棱柱形弹簧的自由长度超过圆柱形弹簧的可能性。总之，从第4.1节和第4.2节中给出的结果可以看出，质量等效非圆形弹簧的最大von-Mises应力为195-200 MPa，而圆形螺旋弹簧的最大von-Mises应力65.5 MPa.还可以看出，质量等效弹簧的偏转是不同的，非圆形弹簧（跨越变化的线圈圆度）平均偏转更多，而它们的圆形弹簧（跨越变化的线圈圆度）平均偏转更多。●C●●●●●●●A¼1000-1000186A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178Max ¼-¼Max弹簧钢丝直径d见图8。不同参数“k”的矩形弹簧的轴向变形和最大应力的变化(a)不同参数k的矩形弹簧轴向挠度的变化。（b）不同参数“k”的矩形弹簧的最大von-Mises应力（来自FEA）的变化对应物的刚性更大，涡形弹簧的刚性最大，锥形弹簧的刚性最小。因此，除了少数具有特殊横向空间要求的情况外，对于给定的设计方案，选择圆形线圈弹簧几乎总是合理的。5. 弹簧的应力分析到目前为止，应力已经通过弹簧的有限元分析在需要时获得但是对于弹簧的设计和选择，CAD建模和随后的弹簧有限元分析以找出所考虑的每个弹簧的挠度和应力是一个复杂的过程。弹簧中的剪切变形问题最好用弹性理论来解决。这个问题是由Alfreshenko和Goodier（1951）提出的，它涉及到用势函数表示的复杂应力表达式，在一些特殊情况下，这种方法可以得到简单的封闭形式表达式。然而，Wahl（1944）提出了另一种方法，这种方法要简单得多，并且对于弹簧指数为2CP3和螺旋角较小的实际弹簧，其误差为2 -3%。该方法可以概括为，该公式认为弹簧的截面仅在扭转和直接剪切应力下加载。● 仅考虑扭转效应，最大剪应力为和繁琐的方法，所以，一个表达式，作为s获得16米 4C1，其中C是弹簧指数，pd34C-4在设计和选择时可能会派上用场。在第2节中已经得到了求挠度的解析公式，但还有待于得到一个解析公式弹簧，M是钢丝截面上的扭矩。直剪效应可由弹性理论求得继Alfreshenko和Goodier（1951）之后，缓解压力可以看出，一般设计和选择程序由于直接剪切而产生的应力为，1μ2mPd2. 在这里，41m 4I对于弹簧，只需要应力的最大值，最重要的是最大剪应力和von-Mises应力，这是韧性材料破坏的两个决定性标准（Shigley，1972）。此外，它们发生的时间点也很重要。在下面的章节中，我们尝试用解析公式来求出弹簧的最大剪应力及其在弹簧上的位置。获得应力的精确公式m是泊松电线的模量● 将ss和sd相加，并将m/4设为0：3（弹簧钢的普遍接受值），Wahl（1944）的著名公式如下：2 弹簧指数（C）=弹簧圈直径。C可以局部地定义为Ca2Ra，其中Ra可以从Eq. （14）或Eq. （17）.●●A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178187Þ¼ð Þ¼¼¼¼见图9。不同参数' c '的矩形弹簧的轴向挠度和最大Von-Mises应力的变化(a)不同参数矩形弹簧的轴向挠度变化。（b）不同参数“k”的矩形弹簧的最大von-Mises应力（来自FEA）的变化S.P. 4Ca -10：61524表6Maxpd24Ca-4Ca圆柱弹簧和圆锥弹簧的比较。很容易看出，具有圆形线圈形状的弹簧中的应力可以使用方程（1）解析地获得。（24页）。圆柱弹簧值圆锥弹簧值线圈数量8线圈数量挠度（mm）3.00挠度（mm）4.1（分析）5.1. 非棱柱形圆形螺旋弹簧的应力分析最大von-Mises应力（MPa）表795.41最大von-Mises应力（兆帕）120与表达式Ra在手从方程。根据公式（14）和（17），可以获得非棱柱形弹簧的最大螺旋应力的位置和大小。还可以注意到，对于这些弹簧，在推导Eq.（24）当线圈打开时不被违反。3、Eq。（24）和圆柱弹簧和涡形弹簧的比较。圆柱弹簧值螺旋弹簧值线圈数8线圈数挠度（mm）3.00挠度（mm）1.3（分析）因此，所获得的结论适用于锥形和涡形弹簧。对于最大螺旋半径R¼25 mm的锥形弹簧，最大von-Mises应力（兆帕）95.41最大von-Mises应力（兆帕）120在15 N轴向载荷下，测试线圈半径r15 mm，自由长度l100 mm和线直径5 mm，获得以下结果（见表8）。最大应力的位置为3.直径较大的线圈偏转更多，因此，在过大的轴向力下，它们可以靠近其相邻线圈并减少线圈的有效数量，从而引入非线性力偏转行为并将各种其他力施加在相邻线圈上。正确地预测为在最大线圈的边缘由方程。（24）并通过FEA进行验证。对于具有最大线圈半径R1/4 25 mm、最小线圈半径r15 mm、自由长度l80 mm和线直径5 mm的螺旋形弹簧，在50 N的轴向载荷下，获得以下结果（参见表9发现最大应力的位置在距基底80 mm处，即，第一个边缘188A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178表8比较Eq。（24）和锥形弹簧的有限元分析。从Eq. （二十四）通过FEAFEA误差%17.49兆帕约18 MPa少2.8%表9比较Eq。（24）涡卷弹簧的有限元分析。从Eq. （二十四）通过FEAFEA误差%88.69 MPa约89 MPa少0.384%（最大）线圈。这也是从FEA中观察到的。从表8和表9还观察到，Eq.公式（24）得出小于3%的恒定误差，这与Wahl（1944）的主张非常一致。5.2. 非圆螺旋棱柱形弹簧的应力分析从图中可以看出。图1a和图3a表明，由于轴向作用力F，Q和U处的截面分别为自由形式的弯矩。这是因为对于所述截面，局部半径矢量和将截面连接到几何中心的线是重合的。这也意味着由于轴向力F而施加的合力矩的方向没有沿径向矢量方向的分量。它完全沿着局部切线方向作用，因此只施加扭矩显然，集中于这些截面的应力分析似乎没有用，但有限元分析表明，最大剪应力也发生在这些点上，这也是从普通直觉中理解的。然而，与考虑圆形线圈的Wahl（24）在整个线圈中是有效的，对于当前情况Eq.公式（24）仅在局部某一点有效，因此，对于所考虑的截面，将看到周围截面同时承受扭矩和弯矩的应力升高效应此外，这可能是从以下事实推断的：材料中的应力状态被描述为连续体，因此与相关截面相邻的截面处的应力（图1和图2中的点Q和点U）。 1a和3a）也会对相关截面处的应力产生影响。使用Eq.（24）在这种情况下，超过实际或FEA将取决于所研究的截面的曲率。从图10中可以清楚地看到，随着弹簧线圈形状的圆度的减小，使用方程10预测最大应力的误差减小。（24）增加，而当线圈形状更圆时，它相当准确。观察到三角形弹簧的最差情况误差比FEA小7：43%，c¼6和7：矩形弹簧的FEA值减少77%，k1/ 4图10个。最大剪应力的解析公式和有限元分析的比较（a）用于矩形弹簧。（b）用于三角形弹簧。A.N. Chaudhury，D.Datta/ Journal of Computational Design and Engineering 4（2017）178189DHR¼-pN@s¼ ð ÞGJ12@sDSDH@s@h@s2dh3206. 变截面弹簧的动力和屈曲分析.GJ@2y3GJ@R@y！@h在这一部分中，设计和选择的两个重要问题Fb¼R3@h2-R4@h@h公司简介非棱柱形弹簧的特性。第一个问题涉及弹簧在动态应用并比较了涡形弹簧的性能，当量（27）可以进一步简化，考虑组成的各个项的物理意义。 据观察，@h。d s-1圆柱形弹簧和圆柱形弹簧的质量相同，示出了第二个问题是解析地得到两个质量等效弹簧的线性屈曲性能.因为他是个骗子。 所以，shRhdh，从牛顿-莱布尼茨单一变量的公式，ds<$Rh。再一次，在Eq。（27），术语3 GJ@R @y 将有更小的价值-R@h@h6.1. 非棱柱形弹簧的形状阻尼效应弹簧-质量系统在自由振动状态下，即使没有物理约束，也会停止周期运动阻尼器的实际存在。在这种情况下，能量的损失可以归因于弹簧的阻尼，这是由于适用于最大和最小线圈半径和弹簧自由长度成比例值的弹簧因此，与等式中的前一项相比，它可以被忽略。（27），可以得到以下更简单的表达式：.GJ@2y！R2@h4材料。在本节中，尝试了一种确定非棱柱形弹簧等效阻尼系数的数学方法。要得到弹簧的动态特性，首先要从弹簧运动的微分方程出发。 为了得到方程，图。 11描述弹簧的几何形状。在静态条件下，从弹簧的一侧取一条长度为ds、轴
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