一阶非线性偏微分方程组的谱逼近方法

+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，373埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章一阶非线性偏微分方程组的谱侯赛因·S胡辛埃及Qena 83523南谷大学理学院数学系接收日期：2015年10月11日;修订日期：2015年11月17日;接受日期：2015年11月29日2016年1月12日在线发布摘要考虑具有Dirichlet边界条件的一阶非线性偏微分方程组。将超球积分零边界（UIZB）方法与Rayleigh-Ritz方法相结合来逼近未知量。该方法将问题转化为一个多目标约束优化问题，使问题更易于求解。通过选择有限数量的配点可以获得精确的结果。数值算例验证了该方法的准确性和有效性。2010年数学学科分类：33C45; 65M60; 35F30; 90C29; 65K10版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在过去的几十年里，使用正交多项式（如切比雪夫或超球面多项式）展开的谱方法（例如参见[1，2]）因其高精度而闻名伪谱方法的发展是为了在科学计算中获得更精确的解多哈等人[3]构造了联系电话： 201068749122。电子邮件地址：hshafei@svu.edu.eg，shafeihasanien@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责。数值求解一类非线性薛定谔方程的方法Doha等人[4]研究了Ch e by sh ev - G a uss- Ra d au 配 点 法 与 隐 式 Ru n g e-Ku tta 格 式 的 结 合 ， 以 获 得 一 阶 双 曲 型 方 程 组 更 精确的数值解。Naher等人[五]《中国日报》推广和改进的（Gr/G）-展开法构造一类精确行波非线性发展方程的解Demiray等人[6]将（G 0/G; 1/G）-展开法与Maple相结合，得到了非线性波动方程的精确行波解。Rayleigh-Ritz方法用于将微分方程转化为满足一定准则的极小化问题。许多文章讨论了使用这种方法来解决几个问题，例如模拟弹性体的膨胀[7]，近似椭圆算子的部分谱[8]，S1110-256X（15）00082-6 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.11.001制作和主办：Elsevier关键词超球积分ze-ros方法;374H.S. Hussien+=-=.=-）kj=0j，IJK=λku，ν，，∂x ∂y ∂x 埃什基K{}=−-Gk1（λ，x）<$.（二、二）.Nj（k（j））关于我们获得矩形板振动的时间周期和某些模式的检测结果[9]。由于偏微分方程边值问题与物理应用的密切关系，使得边值问题的理论十分丰富。一些技术-2. 超球面积分法最后一个非球面多项式Gk（λ，x）∞k0，其中λ> 0的情况。5是一个参数，定义为：2（k+λ）nological过程和科学应用产生偏微分方程的边值问题。Howison和Oliver[10]分析了在无粘性、不可压缩浅水以小横浪角进入的ElDhaba等人[11]用边界积分法求解Gk+1（λ，x）=k2λxGk（λ， x）K-k +2 λ G k−1（λ，x），k =1，2，. . . （2.1）非耦合磁热弹性问题G（λ， x）=d<$1G（λ，x）椭圆柱导体，承载稳定轴向和kDX2（k+1）K+1均匀电流Khanday[12]处理了多层人体皮肤和皮下组织中的温度分布，提出了抛物型热方程解的模型。Chen[13]研究了超声速无粘定常绕流对称曲锥的Euler方程组的自由边值问题Tsai[14]将同伦分析方法与基本解方法和增广多重调和样条相结合，求解了一类非线性偏微分方程。Feng et al.[15]开发了一个新的框架，用于设计和分析收敛有限差分方法，以逼近一维二阶完全非线性偏微分方程（PDE）的经典和粘性解。侯赛尼等[16]应用具有任意多项式基的运算Tau方法来近似一类非线性瞬态热传导问题解K2（k+ 2λ）（k+ 2λ− 1）−当量（2.1）定义了从G1（λ，x）x，G0（λ，x）1开始的超球多项式，而Eq. (2.2)可用于定义超球面多项式的积分（通过简单积分）见El-Hawary等人。[19]第10段。我们将配置点定义为与区间的两个边界点相结合的超球面zeros点，即：Λ={x，j|GN（λ，xj）= 0，kj= 1，2，. . . ，N − 1，x0= −1，xN= 1}。（二、三）根据这个定义，我们有方程，并附加一些条件。Xif−1x dx .NS[λ]f. X轴（2.4）常微分方程和变系数常微分方程耦合系统。该方法将问题转化为一个易于求解的代数方程组其中，一阶超球积分矩阵S的元素由[17]定义：并讨论了格式的收敛性，解决了一些测试问题，证明了该方法的有效性和实用性。S[λ]=.ojGk（λ，xj）<$xik−1Gk（x）dx，i，j，= 0，1，. . . N、时间分数阶三维热传导方程谱方法ijαk=0（二、五）域他们研究了位移雅可比多项式，并提供了一个简单的计划，以近似的功能，多变量的这些多项式。他们开发了操作矩阵，ces为任意阶积分以及为任意阶导数。本文用数值方法求解一阶偏微分方程组事实上，我们对待这个问题Gk（x）是k次超球多项式，其中oj和αk由下式获得：1oj=o Gx2，0你好！（λ. 5）（kλ. 5）（Kλ ）λ（2 λ）α21−2k−2λ−τ<$（2k+ 2λ+ 1）<$（k+ 2λ）<$（λ），（2.6）具体如下：我们用超球积分方法零界元（UIZB）方法来逼近未知量。利用最后用罚蛙跳法的顺序最小化过程求解约束优化问题与τ=1， 如果λ k 0（2.7）0， 否则。本文的提纲安排如下。第二节研究了超球多项式和超球积分矩阵的一些性质。第三节介绍了问题的模型。在第四节中，我们构造了一种新的方法，即超球积分零边界Rayleigh-Ritz提出的问题。误差估计和收敛指标在第5节中研究。一些数值例子是亲-3. 问题模型本文考虑一阶偏微分方程非线性边值问题组的一般形式。它可以由以下等式定义：.∂u∂u∂ν∂νΣ第6中提出，以显示我们的方法的准确性最后，在第7节中，提出了一些意见和结论。k=1，2且（x， y）∈o=[−1，1] ×[−1，1]，（3.1）Dirichlet边界条件NKhalil等人。[17]开发了一种具有移位勒让德多项式的运算矩阵，以近似求解压裂。（=Lk=χk（x，y），一阶非线性偏微分方程组的谱375..2--¯= − == −=NI=-是的.-是的NiNJ阿克斯埃什基阿克斯埃什基F2=. .S[λ]S[λ][L2（u（xi，y j），n（xi，y j），n（xi，y j），v（xi，y j），u（−1，y）=f1（y），u（ x，−1）=f2（x），（3.2a）v（−1，y）=f3（y），v（ x，−1）=f4（x），（3.2b）u（1，y）=f1（y），u（ x， 1）=f2（x），（3.3a）v（1，y）= f3（y），v（x，1）= f4（x）.（3.3b）请注意，任何定义在任何区间[a， b]上的问题都可以通过变量的变化转化为上面的问题通过类似的计算，我们有Nv（ xi， yj）= Sik（ xk， yj）+ f3（ yj），k=0Nv∈（xi，yj）=Sikη<$（xi，yk）+f4（xi）.（4.6）（k=0）v（xi，yj）=v∈（xi，yj）.（4.7）4.2.应用问题（3.1）-（3.3）的x<$=a+（b−a）（ x+1），y<$= a+（b − a）（y +1）。（3.4）2001年1月1日。.乌丘∂ν∂νΣ Σ4. 该方法F1=−1−1L1u，，v，，∂x ∂y ∂x 埃什基-2×1UDXDY，（4.8）2001年1月1日。.乌丘∂ν∂νΣ Σ超球面积分零边界（UIZB-RR）方法构造如下：F2=−1−1L2u，ν，，∂x ∂y ∂x 埃什基-2×2vdxdy.（4.9）4.1. 超非球面积分零边界法利用（2.4）-（2.7），我们有：NN每个变量的第一个偏导数的概率，lem，{u，u，v，v}，必须用某个变量近似，F1=. .S[λ]S[λ][L1（u（xi，y j），n（xi，y j），n（xi，y j），v（xi，y j），i=0时j=0则问题u，ν中的未知变量可以是ap-通过简单的积分和利用（2.4）-（2.7）近似<$$>（xi，yj），η<$（xi，yj））−2χ1（xi，yj）]u（xi，yj），（4.10）为了将UIZB方法应用于问题（3.1）-（3.3），我们将NN乌丘=n和= n。（4.1）NiNJi=0j= 0阿斯特丽德对公式4.1进行积分，并利用条件（3.2a），我们分别得到：<$$>（xi，yj），η<$（xi，yj））−2χ2（xi，yj）]v（xi，yj）（4.11）这是一个多目标函数的优化问题，实际上：u（ x，y）=X（x u（x，y）=yη（x，y∈）dy∈+c2，（4.2）lem.我们可以将其重新表示为一个目标函数，如下[21]：R=F1+ F2。（4.12）因此，为了获得未知值η，η，η′和η，我们利用下式构造以下约束优化问题：因此，c1 u（1，y）f1（y），c2u（ x， 1）f2（x）。利用超球面积分近似（2.4）（4.12）、（4.4）、（4.7）、（3.3a）、（4.3）、（3.3b）和（4.6）：最小化R，u（xi，yj）=.Sik（xk，yj）+f1（yj），u（xi，yj）[1]第一章I jNk=0 Sik<$（ xk， yj）+f1（yj）<$Σk=0N=Sikη（xi，yk）+f2（xi）.（4.3）（k=0）由式（4.3）得到的两个近似解必须相等。因此，我们认为满足以下条件：N−k=0- 是的N2∫∫I=[二]《中国日报》IJSik（ xk， yj）+ f3（ yj）−1−1376H.S. Hussien=<$k=0Sikη（xi，yk）+f2（xi）Σi，j = 0，1，. . . ，N，（第4.13条）u（x，y）=u∈（x，y）.（四、四）-是的N−Sikη<$（xi，yk）+f4（xi）i，j = 0，1，. . . ，N，i j i jk=0对于未知变量ν，我们有类似的近似，即：- 是的NJ（4.14）∂νx=和。（4.5）埃什基I[3]=k=0Sik（1，yk）+f1（yj）-f1（y j）= 0，j = 0，1，. . . ，N，（4.15a）¯一阶非线性偏微分方程组的谱377我-是的⎤I[4]=S η（x，1）+f（ x）- f（x）=0，i= 0，1，. . .，N，IJI（[5]）=IJN2IJIJNNNN图P1.1问题1的N=10的近似解（左）和解析解（右）- 是的N在哪里UE你A精确解和近似解，伊伊克k=0-是的NJk=02I2我Σ（4.15b）活泼地另一方面，如果没有找到问题的解析解，我们用两个指标来估计优化过程中的误差，第一个指标是方程的最小成本函数R的值。（4.12）。第二种是保证满足条件（4.13）j= 0，1，. . . ，N，（4.16a）J=. .I[1]+ I [2]I[4]+ I [6][3]+[5]I（[6]）=-是的NSikη<$（xk，1）+f4（xi）-f<$4（xi）=0，i=0时伊季j=0我我i=0时Jj=0J（5.3）k=0i= 0，1，. . . ，N.（4.16b）这个问题可以用罚蛙跳法解决[22]。5. 误差估计必须足够小。6. 数值实验在本节中，给出了一些数值例子。问题1我们现在考虑非齐次非线性系统∂u ∂u ∂v ∂ν并不是所有的非线性偏微分方程都有可用的解析解.如果找到了问题的解析解，我们使用以下误差定义来衡量数值解和解析解之间的差异：x+v（x， y）∈o=[−1，1] ×[−1，1]，（P1.1）与边界条件u（−1，y）=ey+1，u（1，y）=ey−1，1NEu=E（ uij）=i=0时0的情况。5. u e−u a<$2<$ ，i = 0，1，. . . ，N，j=0NSik（1，yk）+f3（yj）-f<$3（yj）=0，.378H.S. Hussien-是的⎤X1X1u（ x，−1）=e−（x+1），u（ x，1）=e−（x−1），（P1.2）v（−1，y）=e−（1+y），v（1，y）=e1−y，1NEv= E（ vij）=（5.1）0的情况。5. v e−v a2，i = 0，1，. . . ，N.v（x，−1）=e+，v（x，1）=e −.（P1.3）问题（3.1）-（3.3）的精确解（x，y）= e y−x，v（x，y）= e x−y。（临1.4）N2i=0时伊季j=0（5.2）本文介绍了（4.3）中u（ x， y），（4.6）中v（ x，y）的近似解和（P1.4）中的精确解。N.一阶非线性偏微分方程组的谱379y=-1y=1y=0，近似y=0，精确v=图P1.1.此外，式（4.12）的优化指标R、式（5.3）的优化指标J以及式（5.1）和式（5.2）的误差估计Eu、Ev见表P1.1。这些金额的估值为λ 0，1。0，0。5，它对应于第一、第二类切比雪夫近似和勒让德近似。评估-在λ_（max）处进行评价，包括最佳实验评价。所提出的方法的收敛性显示在图P1.2，而在图P1.3中，（-1，y），（1，y），（ x，-1），（x， 1）。这些值-210-310-410-510-610-7100 110 10N图P1.2问题1所提出方法的收敛性。88776655443322110-1-0.8-0.6-0.4-0.20 0.20.40.60.81X870-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2X870.40.60.816543210-1-0.8-0.6-0.4-0.20 0.20.40.60.81y6543210-1-0.8-0.6-0.4-0.20 0.20.40.60.81y图P1.3问题1的解决方案。表P1.1问题1（N = 10）的优化指标和误差估计.λ0.00.51.0λ=0.523RJEuEv6.76e−143.86e−144.81e−12 6.18e−09 7.81e−091.45e−146.34e−146.78e−129.85e−138.65e−124.28e−09 5.21e−091.99e−097.68e−092.65e−098.84e−09EuEvx=-1x=1y=0，近似x=0，精确y=-1y=1y=0，近似y=0，精确x=-1x=1x=0，近似x=0，精确u日志（错uv380H.S. Hussien图P2.1N=10的近似解（左）和问题2的解析解（右）。-210-310-410-510-6100 110 10N图P2.2问题2所提出方法的收敛性。显然接近表P1.1的精确解。将区间中间的近似解，即（0，y），（ x， 0）与精确解进行比较，以确保近似解的准确性问题2我们现在考虑非线性系统拉乌阿克斯吉夫y312− 2 e−2x，EuEvEw表P2.1N = 10时问题2的优化指标和误差估计.λ0.00.51.0RJEuEvEw5.51e−13 9.85e−12 8.98e−06 8.71e−06 9.92e−063.79e−13 7.98e−12 7.68e−06 7.61e−06 7.16e−06λ = 0.487 2.45e−13 8.45e−12 6.96e−06 6.15e−066.85e−068.64e−13 9.75e−12 8.62e−06 7.94e−09 8.74e−06日志（错−一阶非线性偏微分方程组的谱381阿吉吉2143.532.521.510.543.532.521.510.50-0.5-1-1-0.8-0.6-0.4-0.20Xy=-1y=1y=0，近似y=0，精确0.20.4个单位0.6个单位0.810-0.5-1-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.8 1y43.532.521.5143.532.521.510.50-0.5-1y=-1y=1y=0，近似y=0，精确0.50-0.5-1-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.81X-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 1y32.521.5132.521.510.5x=-1x=1y=0，近似x=0，精确0.50-1-0.8-0.6-0.42019 - 06 - 24 00：00：00y0-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.6个单位0.8 1X1999年3月1日x−乌夫·乌夫− =2，图P2.3问题2的解决方案。问题（P2.1）-（P2.4）的精确解u（x，y）=e y+x，v（x，y）=e−y+x，w（x，y）=. ey+e−y+x。且x， y∈o=[−1，1] ×[−1，1]，（P2.1）与边界条件u（−1，y）=ey−1，u（ 1，y）=ey+ 1，u（ x，−1）=e−1+x，u（ x，1）=e1+x，（P2.2）v（−1，y）=e-y−1， v（ 1，y）=e-y+ 1，v（ x，−1）=e1+x，v（ x，1）=e−1+x， （P2.3）w（−1，y）=1（ey+e（−y））−1，w（ 1，y）=1（ey+e（−y））+ 1，结果在图中介绍。 P2.1，表P2.1，图 P2.2和P2.3的介绍与前面的例子相同。7. 结论本文提出了一种求解一阶非线性偏微分方程组的数值算法 ， 即 用 超 球 积 分 逼 近 和 Rayleigh-Ritz 方 法 （ UIZB-RR），并给出了一种22求出了所得非线性代数方程的解x=-1x=1y=0，近似x=0，精确y=-1y=1y=0，近似y=0，精确x=-1x=1x=0，近似x=0，精确vuWvWu阿克斯382H.S. Hussien22w（x，−1）= 1（e−1+ e1）+x，w（x，1）= 1（e1+ e−1）+x.（P2.4）系统。上述数值结果保证了所提出方法的良好精度此外，这里讨论的程序一阶非线性偏微分方程组的谱383++可用于线性和非线性偏微分方程的近似求解。确认作者感谢裁判的仔细审查和宝贵的意见。引用[1] C. M.Y.卡努托Hussaini，A.夸特罗尼，T.A. Zang，SpectralMethods：Fundamentals in Single Domains，Springer-Verlag，New York，2006。[2] D.A. Kopriva，偏微分方程的谱方法实现，科学家和工程师的算法，Springer科学商业媒体B.V.，2009年[3] E.H.多哈，A.H. Bhrawy，文学硕士Abdelkawy，R.A.范高德，Comput.261（2014）244http://dx.doi.org/10.1016/j.jcp.2014.01.003。[4] E.H.多哈，A.H. Bhrawy，R.M. Hafez，文学硕士张文，一阶非线性双曲型方程组的Chebyshev-Gauss-Radau差分格式，应 用 数 学 与 信 息 科 学 。 8 （ 2014 ） 535-544 http ： //dx.doi.org/10.12785/amis/080211的网站。[5] H. Naher，F.A.Abdullah，数学中非线性发展方程的一种新的广义和改进的（Gr/G）-展开方法数学物理，J. 埃及数学Soc. 22（2014）390 -395 http：//dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.11.008的网站。[6] S. 德米赖岛Unsal，A.张文，张文，等.非线性波动方程（Gr/G，1/G）-展开法的精确解数学 Soc. 23（2015）78http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.02。011。[7] P.C.陈晓，张晓，陈晓，等.弹性体的膨胀及其在面包工业中的应用.北京：机械工业出版社，2000，21（1）：117 - 118.模型48（2008）1055-1067，doi：10.1016/j.mcm.2007.12.011。[8] L.格鲁比希湾Veselí，On Ritz approaches for positive definiteoperators I（theory），Linear Algebra Appl. 417（2006）397-422，doi：10.1016/j.laa.2003.08.020.[9] A. Khanna，N. Kaur，结构参数对两端固支粘弹性矩形板振动响应的影响，64，2015年，pp. 127 proc.2015.2.01.[10] S.D. Howison，J.M.奥利弗，自由边界问题出现在一个模式浅水进入在小死角，欧洲。 J.Appl.Math.15（6）（2004）839http://dx.doi.org/10.1017/-851www.example.comS0956792504005650。[11] A.R. El Dhaba，A.F. Ghaleb，M.S.阿布-迪娜，一个飞机问题，用边界积分法解有限长椭圆柱在轴向恒定电流作用下的非耦合热磁弹性问题，应用数学模型。31（3）（2007）448-477，doi：10.1016/ j.apm.2005.11.020。[12] M.A. 张文，等，热传导系数与皮肤温度关系的数值模拟，北京：中国科学院学报，2001。埃及数学Soc. 22（2014）152http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.05.006-155www.example.com。[13] S.陈文，超声速绕曲锥流的欧拉方程组自由边值问题，东北数学杂志，54（2002）105-120，doi：10.2748/tmj/1113247182。[14] C.蔡，同伦基本解方法求解一类非线性偏微分方程，工程分析 。 绑 定 Elements36 （ 2012 ） 1226-1234 ， doi ：10.1016/j.enganabound.2012. 02.012.[15] X. Feng角Kao，T.刘文，一维完全非线性二阶偏微分方程的有限差分方法，J。Comput. Appl. 数学 254（2013）81 -98，doi：10.1016/ j.cam.2013.02.001。[16] S.A. Hosseini，S.Shahmorad，H.张文龙，张文龙，等.一维非线性瞬态热传导方程的Tau方法.北京：清华大学出版社，2000，24（1）：111.沙特国王大学 25（2013）283http://dx.doi.org/10.1016/j.jksus.2013.01.001。[17] H.Khalil，R.A.Khan，M.H.Al-Smadi，A.A. 弗 赖 哈特，N.李文，张文，等，变系数分数阶微分方程的一种新的运算矩阵，清华大学学报，2001。J. 数学47（2015）81[18] H. Khalil，R.A. Khan，M.H. Al-Smadi，A.A. Freihat，时间分数阶三维热传导问题的Jacobi多项式近似解，旁遮普大学数学杂志47（2015）35-56。[19] H.M. El-Hawary，M.S. Salim，H.S.胡辛，积分的最优超球近似，实习生 。J. 计算机 76 （ 2 ）（ 2000 ） 219-237 ， doi：10.1080/00207160008804976。[20] T.M.埃尔-金迪殿下El-Hawary，H.S.胡辛，一种求解falkner-skan方程的优化技术，J. Optim. 35（1995）357- 366，doi：10.1080/02331939508844155。[21] C. Perkgoz，A.阿扎龙湾片桐湾卡托，M。基于遗传算法的多阶段装配系统的多目标提前期控制问题研究。J.操作员Res.180（2007）292- 308，doi：10.1016/j.ejor.2006.04.024。[22] J.A. Snyman ， 约 束 优 化 的 LFOPC 蛙 跳 算 法 ， Comput. 40（2000）1085-1096，doi：10。1080/00207160008805021.