非因果状态信息的多级BC容量域研究

⃝||⃝可在www.sciencedirect.com上在线获取ScienceDirectICT Express 3（2017）137www.elsevier.com/locate/icte具有非因果状态信息的3接收器状态相关多级BC的容量域Viswanathan Ramachandran印度孟买马通加维多利亚朱比利技术学院电气工程系接收日期：2016年11月9日;接收日期：2017年1月13日;接受日期：2017年3月24日在线发布2017年摘要我们考虑一个三接收器状态相关的多级广播信道（BC），其中的状态信息是已知的非因果关系在编码器以及所有的解码器。这是Nair和El Gamal的三个接收器多级BC（Nair和El Gamal，2009）的扩展我们的目标是表征率元组，同时可实现，同时确保在每个接收器的错误的概率可以忽略不计我们的特点，在该文件中的设置的c2017韩国通信信息科学研究所。出版社：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http：//creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4. 0/）。关键词：广播信道;非因果状态;多级BC;1. 介绍在本文中，我们研究了一个状态相关的多级离散无记忆广播信道（BC）与非因果边信息可在编码器以及所有的解码器。目标是将公共消息传递给所有接收者，而将私人消息仅传递给其中一个接收者。我们感兴趣的特征，同时实现的共同和私人的可靠通信消息的速率。Korner和Marton在文献[1]中引入了具有退化消息集的两个接收机广播信道模型，并刻画了其容量域，同时给出了一个强逆。这是一个很好的分层通信模型，如[2]中所观察到的这个结果的扩展到两个以上的接收器仍然是一个悬而未决的问题。多级BC的概念首先由Borade等人引入。[3]，他们指出，对于具有两个降级消息集的三个接收器BC，Korner和Marton区域的直接扩展Nair和El Gamal [4]证明，对于一类特殊的具有降级消息集的三个接收者BC，电子邮件地址：vishwa6066@gmail.com。同行评审由韩国通信信息科学研究所负责。这篇论文已经由教授处理金承林Korner和Marton的区域是次优的。这一结果还引入了一种新的间接或非唯一解码技术此外，Gelfand和Pinsker [5]发现了仅在编码器处可用的具有非因果边信息的单个用户信道的容量Hajizadeh和Hodtani [6]扩展了Nair和El Gamal的设置，并导出了仅在编码器处具有非因果侧信息的三个接收器状态相关的多级BC的可实现区域。他们的方案是Nair和ElGamal方案[ 4 ]通过使用Gelfand-Pinsker码本的自然扩展这种设置的容量区域仍然是一个悬而未决的问题。在这项工作中，我们进一步扩展了[6]中的工作，并建立了当状态信息也可用于所有解码器时我们的区域恢复到Nair和ElGamal2. 系统模型和结果在编码器和解码器处具有非因果状态信息的三个接收器状态相关的多级BC如图1所示。广播信道由p（ s） p（y1，y3x，s） p（y2y1）给出，其中接收器Y2相对于接收器Y1降级。状态进程，也就是i.i.d.根据p（ s），在编码器处非因果地可用http://dx.doi.org/10.1016/j.icte.2017.03.0082405-9595/c2017韩国通信信息科学研究所。Elsevier B. V.的出版服务。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：//creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4. 0/）。138诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）137[ ：][ ：]中的一个e|→ → ∞|123Fig. 1.三个接收器状态相关的多级BC，具有在编码器和所有解码器处可用的非因果状态信息。以及所有的解码器。有两个消息M0和M1。公共消息M0是针对所有三个接收者的，而私有消息M1仅针对接收者Y1。我们假设M0和M1在它们的范围内均匀分布12 nR0 和12 nR1 分别注意，该模型与[4]不同，因为这里考虑的BC是状态相关的。[6]将[4]中的模型扩展到仅在编码器处具有状态信息的状态相关场景，但他们无法完全表征容量区域。我们的模型，其中的状态信息是在接收器以及，是由无线信道的信道状态信息是已知的接收器（CSIR）。使用的符号如下。随机变量和它们的实现由它们相应的字母表和小写字母表示，而它们的字母表将由相应的书法字母表示。符号An代表随机向量（ A1，A2，. . . ，An），而符号如果存在一个（2nR0，2nR1，n）码序列，P（n）为P（n），则称速率对（R0，R1）是可实现的0 为 N。容量域定义为可达（R0，R1）对集合的闭包.本文的主要结果以下列定理的形式陈述：定理1. 具有在编码器以及所有解码器处可用的非因果状态信息的三个接收器状态相关的多级广播信道p（s）p（y1，y3x，s）p（y2y1）的容量区域由以下集合给出：（R0，R1）对，使得：R0≤I（U; Y2|（8）R0≤I（V; Y3|（9）R1≤I（X; Y1|美国（10）R0+ R1≤ I（V; Y3|S）+I（X; Y1|（11）对于一些pmf p（u，v|s）p（x |v，s），使得U和V的基数 有 界 为 |U| （ |X||S|+4 ） 和 |V| （ |X ||S|+4 ） （ |X||S|+1）。证据第3节给出了可重复性。相反部分见第4基数界限的证明在第5节中给出。□3. 可验证性证明Nair和El Gamal [4]导出了三个接收器多级BC的容量区域。他们的编码方案采用速率分裂和叠加编码，其中，AnXi+1 表示随机向量（Ai+1，Ai+2，. . .，A n）。让消息M1被分成M10和M11。常见的ME-《易经》云：“君子之道，焉可诬也？有始有卒者，其惟圣人乎。表示输入字母，S表示状态字母，Y1、Y2和Y3输出字母和U和V辅助随机变量在U的顶部叠加M10，最后是X字母表给定信道的（2nR0， 2nR1，n）码由编码器映射f：[1：2nR0]×[ 1：2nR1]×Sn→Xn（1）和三个解码器映射d1：Yn×Sn→[1：2nR0]×[1：2nR1]（2）d2：Yn×Sn→[1：2nR0]（3）d3：Yn×Sn→[1：2nR0].（四）定义错误的平均概率（假设消息M0和M1在[1： 2nR0]×[ 1：2nR1]上均匀分布）携带M11的码本叠加在（U， V）的顶部。解码规则在接收器2和1处是唯一解码，但接收器3使用间接解码的新颖技术。因此，该结果证明，针对具有降级消息集的广播信道的Korner-Marton设置的直接扩展Hajizadeh和Hod-tani [6]扩展了该设置，并且仅在编码器处利用非因果边信息他们的方案是文[4]中方案的自然推广，使用了我们首先引用下面的定理[6]。定理2. 对于三个接收器状态相关的多级BC p（s）p（y1，y3），可实现速率对（R0，R1|x，s）p（y2|y1）仅在编码器处具有非因果边信息（n）e，11=2n（ R0+R1）×1条件是：R0≤I（ U;Y2）−I（ U;S）（12）Pm0，m1（d1（Y n））n =（m0，m1）|（m0 ，m1）发送）P诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）137139e，j2nR0Jee，1e，2e，3（五）R0≤I（ V;Y3）−I（ U，V;S）（13）R1≤ I（X; Y1|U）− I（V; S|U）− I（X; S|（ 14）P（n）=1<$P<$（d j（Y n）<$=m0|m0发送），j=2，3（6）R0+ R1≤ I（V; Y3）+I（X; Y1|（五）- I（X; S|V）− I（U，V; S）（15）P（n）=max（P（n），P（n），P（n））。（七）对于一些pmf p（u，v|s）p（x|v，s）。M0140诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）137n==3n=→=e=I（M1; Y1 i|M0，Y，S−，S+−证据证明见[ 6 ]中的定理1。□≤I（ M0，Yi−1，Si−1，Sn;Y2 i|（i）现在，由于在我们的设置中，状态信息也可用于每个解码器，因此我们可以将状态视为aug，1i=1Ni+1在每个接收器上进行分段输出。因此，我们可以设置Yk（ Yk， S）对于k1， 2， 3.然后表达式（12）到（15）的计算结果为表达式（8）到（11）。这可以看出如下：=I（U i; Y2 i|（23）i=1其中最后一个不等式是由Y2的退化R I U Y S I U Sw.r.t.Y1，我们确定U i = （M0，Yi−1，Si−1，Sn），对于0≤（;（2）−（（请输入）i∈ [1：n]1i+ 1=I（U; Y2|（16）R0≤ I（ V; Y3， S）− I（ U， V; S）=I（ U， V;Y3，S）−I（ U， V;S）.对于接收器3，我们可以从Fano不等式开始写出以下不等式链n R0=H（M0）= H（M0|S n）≤I（M0; Y n|S n）+n <$nn=I（U，V; Y3|S）= I（V; Y3|（17）I（M0; Y3 i|Y n，Si−1，Sn，S i）R 1≤ I（X; Y 1，S |U）− I（V; S |U）− I（X; S|（五）=I（V，X; Y1，S|U）− I（V; S|U）− I（X;S|（五）i=1≤I（ M0，Yn=3，i+ 1，Si−1，Sni+1;Y3 i|（i）=I（V，X;S|U）+I（ V，X; Y1|（美、西）-I（ V;S|U）i13，i+1ni+1- I（X; S|（五）≤I（ M0，Yi−1，Yn，Si−1，Sn;Y3 i|（i）=I（X; S|U，V）+I（V，X; Y1|U，S）− I（X; S|（五）i113，i+1ni+1=I（X;Y1|美国（18）R 0+ R 1≤ I（V; Y 3，S）+I（X; Y 1，S |V）− I（X; S|（五）=I（V i; Y3 i|（24）i=1识别为Vi=（M0，Yi−1，Yn， Si−1，Sn）-I（ U，V;S）对于i∈ [1：n]1 3，i+ 1Ui+1=I（U，V; Y，S）+I（X; Y，S）|V）− I（X;S|（五）.注意，这些标识满足i→3 1-I（ U， V;S）=I（U，V; Y3|S）+I（X; Y1|V、S）I（V; Y |S）+I（X; Y） |V，S）。（十九）=（Vi，Si） Xi。对于接收器1，我们可以从Fano不等式开始写出以下不等式链n R1=H（M1）=H（M1|M0，S n）≤ I（M1; Y n|M0，S n）+n <$n3 11n这就完成了可验证性的证明4. 逆证明i1i 1n1i1I1n，Si）≤I（X i，S i; Y1 i|M0，Y i−1，Si−1，S n=，Si）我们的逆证明使用了de-i1的逆证明中的思想n1i+1[7]和具有降级消息集的BC [1]。=I（X i; Y1 i|M0，Y i−1，S i−1，S nI1，Si）我们现在建立了一个反向的设置下，是的。对于任何成功的编码方案，其中P（n）→0作为n1i+1n→∞，我们可以用Fano不等式表示诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）1371412320n00I（M 0; Y 2 i|Y i−1，Si−1，S n2i+131H（M0|Y n，S n）≤ n <$n（20）H（M0|Y n，S n）≤ n <$n（21）=I（X i; Y1 i|U i，S i）（25）i=1其中，第二个不等式是由产生马尔可夫链的信道的无记忆性得出的H（M0，M1|Y n，Sn）≤ n <$n.（22）（M0，M1，Y i−1，S i−1，S n ）→（Xi，Si）→Y1 i.现在为1 1i+ 1为了方便起见，我们将在逆证明中省略o（ n）对于接收器2，我们可以从Fano不等式开始写出以下不等式链总速率，如果方程的第一行。（27）直接由方程组的上界。（24）和（25），一个会得到nn R=H（M）=H（M |Sn）n（R1+R2）≤n{I（Vi; Y3i |S i）+I（X i; Y1 i|U i，S i）}（26）≤I（M0; Y n|S n）+n <$ni=12i+1这虽然有效，但会导致非常弱的边界，因为U→（V， S）→X形成马尔可夫链，因此是次优的。因此，对于总速率，我们写如下：从Fano不等式开始的下链≤I（ M0，Yi−1，Si−1，Sni=1;Y2 i|（i）n（R0+R1）=H（M0，M1）=H（M0|Sn）+H（M1|M0，S n）≤I（M0;Y n|Sn）+I（M1;Yn|M0，Sn）+2 n<$nni=1≈，Si）142诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）137nn3，i+1n→→||3，i+1【：】i+1，Si+1，Si）p（x |u，s）= p（x |v，s）p（v|u，s），x =1，. . . 、|X ||S|− 1，Si+1，Si）在本节中，我们推导出vI（M0;Y3 i|Y ni=1，Si−1，Sn，Si）（U， V）→（X， S）→（Y1，Y2，Y3）和U→（V， S）→X也很满意。 因此，设置的容量区域如+ I（M; Y|M，Y i−1，S i−1，S n，S）}定理1成立。1 1i 0卢恩i=11i+1ii−1n5. 上的基数界|U|和|V|-H（Y3 i|M0，Yn，Si−1，Sni+1 ，Si）容量域中的辅助随机变量U和V定理1的特征为此，我们将采用+H（Y1 i|M0，Y i−1，Si−1，S n，Si）信息理论文献中的标准技术[8]。修复1i+1-H（Y1）|M0，M1，Y i−1，Si−1，S n，Si）}p（x|（5）考虑以下因素（|X ||S|+4）连续1i+1卢恩i=1i−1n函数p（v|u，s）：1-H（Y1）|M0，M1，Yi−1，Y ni+1，Si−1，Sn，Si）}H（Y1|U=u，S）H（Y 2| U = u，S）n（=a） {H（Y3i|（i）i=113，i+ 1i+1H（Y3|U=u，S）H（Y1|V，U=u，S）H（Y 3| V，U = u，S）。- H（Y3 i|M0，Yi−1，Y n，Si−1，Sn，Si）在《易经》中，《易经》是一部《易经》13，i+1i+ 1+H（Y1 i|M0，Yi−1，Y n，Si−1，Sn，Si）定理[8]中，存在一个随机变量U ′，|U ′|（|X ||S|13，i+ 1-H（Y1）|M0，M1，Yi−1，Y ni+1，Si−1，Sn，Xi，Si）}+4）使得p（x|u，s），H（Y1|U、S）、H（Y2|U、S）、H（Y3|美国），1n（=b） {H（Y3i|（i）i=1-H（Y3 i|M0，Y i−1，Yn3，i+ 1，Si−1，Sni+1，Si）H（Y1V，U，S）和H（Y3V，U，S）保持不变。设相应的V随机变量为V′，使得U′ V′ X形成马尔可夫链。我们现在可以写如下：I（U; Y2|S）= H（Y2|S）− H（Y2|（美、西）13，i+1i+1=H（Y）|S）−H（Y|U′，S）=I（U′; Y|S）+H（Y1 i|M0，Yi−1，Y n，Si−1，Sn，Si）2 2 213，i+1i+1I（U; Y3|S）= H（Y3|S）− H（Y3|（美、西）- H（Y1 i|X i，M0，Y i−1，Y ni +1，S i−1，Sn1，S i）}+=H（Y3|S）− H（Y3|U ′，S）= I（U ′; Y3|S）13，inI（X; Y1|U，S）= H（Y1|U，S）− H（Y1|X、U、S）={H（Y3 i|S i）−H（Y3 i|V i，S i）i=1+H（Y1 i|V i，S i）− H（Y1 i|X i，V i，S i）}n={I （ V i; Y3 i|S i ） +I （ X i; Y1 i|V i ， S i ） }（ 27）i=1其中（a）从Csiszar Sum引理和Xi是（M0，M1，Sn）的确定性函数的事实得出，并且（b）从信道的无记忆性得出，这引起=H（Y1|U ′，S）− H（Y1|X，U ′，S）= I（X;Y1|U ′，S）I（V; Y1|U，S）= H（Y1|U，S）− H（Y1|V、U、S）=H（Y1|U ′，S）− H（Y1|V ′，U ′，S）= I（V ′; Y1|U ′，S）。现在对于每个U′=u′，考虑以下（|X||S| p（x+1）连续函数|v′，u′，s）：p（x |u ′，s）=p（x |v′，u ′，s）p（v′| u ′，s），v′x= 1，. . . 、|X ||S| − 1马尔可夫链（M0，M1，Y i−1，Y n，S i−1，Sn）→′ ′ ′（X， S）→ Y1 3，i+ 1i+1H（Y1|V、U=u， S）我 。现在我们引入一个分时随机变量-H（Y3|V ′，U ′= u′，S）。独立于（M0，M1，Yn， Yn， Yn，Sn，Xn）的表Q1 2 3并且均匀分布在1n上以完成证明[2]。然后表达式（23）到（27）简化为：R0≤I（U Q;Y2 Q|S Q，Q）≤I（Q，U Q; Y2 Q|S Q）={H（Y3 i|Y3，i+1，S≤{H（Y3 i|S i）− H（Y3 i|M0，Y3，i +1，S诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）137143111再由Caratheodory定理[ 8 ]的Fenchel-Eggelt加强，存在一个随机变量V ′′（u ′），|V′′|（|X||S|+1），使得p（x|u′，s），R0≤I（V Q;Y3 Q|S Q，Q）≤I（Q，V Q; Y3Q|S Q）H（Y1|V′，U′）和H（Y3|V′，U′）都被保存了下来。但注意U′→V′′→X一般不构成马尔可夫链。但R1≤I（X Q;Y1 Q|Q，U Q，S Q）R0+R1≤I（V Q;Y3 Q|S Q，Q）+I（X Q;Y1 Q|Q，VQ，S Q）它保留了以下内容：I（V ′′（U ′）; Y |U ′，S）= H（Y |U ′，S）− H（Y |U ′，V ′′（U ′），S）≤ I（Q，V Q; Y3 Q|S Q）+I（X Q; Y1 Q|Q，V Q，S Q）。3 3 3′ ′ ′ ′ ′注意，（Y，Y ，Y ）|（X= x，S =s） p（ y， y，=H（Y3|U，S）−H（Y3|U，V，S）=I（V;Y3|（美、西）y |X s1季度 2季度 3季度12= H（Y3|U，S）− H（Y3|U，V，S）= I（V; Y3|（美、西）3），其是信道条件pmf 。 因此，我们可以确定（Q，U Q）=U，（Q，V Q）= V、X和Q= X、S和Q=S，Y1Q=Y1，Y2Q=Y2和Y3Q=Y3来完成证明关于CONVERSE这种选择确保了马尔可夫条件-I（V ′′（U ′）; Y1|U ′，S）= H（Y1|U ′，S）− H（Y1|U ′，V ′′（U ′），S）=H（Y1|U ′，S）− H（Y1|U ′，V ′，S）= I（V ′; Y1|U ′，S）=H（Y）|U，S）−H（Y|U，V，S）=I（V;Y|美国）。144诉Ramachandran/ICT Express 3（2017）137=→→=现在我们设置V′′（U′，V′′（U′））。然后我们可以写如下：I（V ′′; Y 3| S）= I（U ′; Y 3| S）+I（V ′′（U ′）;Y 3| U ′，S）=I（U; Y3|S）+I（V; Y3|U，S）= I（V; Y3|S）I（X; Y 1| V ′，S）= I（X; Y 1| U ′，S）− I（V ′′（U ′）; Y1| U ′，S）=I（X; Y1|U，S）− I（V; Y1|U，S）= I（X; Y1|V，S）。因此，我们可以得出结论，存在随机变量U′和V′使得：|（|X |S||加4）（二十八）|+4)(28)|≤|U′|V ′′||（|X|S ||+ 4）（|X|S ||+ 1）。|+1).（二十九）注意，U′f（ V""），因此马尔可夫条件U“V"” X保持。因此，考虑辅助随机变量U和V就足够了，使得：|（|X |S ||+ 4）（30）|+4)(30)|（|X|S ||+ 4）（|X|S ||+ 1）。|+1).（三十一）这就完成了辅助随机变量基数的证明。6. 结论在本文中，我们考虑了一个三接收器状态相关的多级BC，其中两个接收器只解码一个公共消息，而第三接收机也解码私人消息。当状态信息在编码器和解码器处非因果地已知时，我们表征了这种设置的容量区域。一个有趣的开放问题是找到相同设置的容量区域，但状态信息仅在编码器处非因果地可用。引用[1] J. 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