轴向功能梯度锥形梁的大振幅自由振动分析

主办方：工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593全文轴向功能梯度锥形梁Saurabh Kumara，Anirban Mitrab，*，Haraprasad Royaa印度奥里萨邦Rourkela 769008国家理工学院机械工程系b印度加尔各答700032贾达夫普尔大学机械工程系A R T IC L EIN F O文章历史：接收日期：2015年1月12日接收日期：2015年2015年4月2日接受2015年5月16日在线发布关键词：大振幅能量原理几何非线性骨架曲线A B S T R A C T对不同边界条件下的轴向功能梯度（AFG）变截面细长梁进行了大振幅自由振动分析。这个问题分两部分来处理。首先，通过使用松弛参数的迭代方案来解决与均匀横向载荷相对应的静态问题，然后在已知静态位移场的基础上，将随后的动态问题作为标准特征值问题来解决。静态问题的数学公式是基于最小总势能原理，而汉密尔顿原理已被应用于动态分析。考虑到大变形引起的几何非线性，考虑了非线性应变位移关系。在无量纲频率-振幅平面上，以骨干曲线的形式给出了动力学行为。结果与先前发表的结果成功验证。©2015 Karabuk University.制作和主办：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍变截面变截面梁为工程结构提供了合适的质量和强度分布这些结构元件通常用于各种工程应用中，例如燃气涡轮机、风力涡轮机、直升机转子叶片、船舶螺旋桨、机器人臂、空间和海洋结构等。[12].它们在土木、机械和建筑行业的各种先进分支中广泛使用，这是因为它们能够满足不同的结构要求。因此，预测和确定这些组件的动态行为一直是研究人员非常感兴趣的领域功能梯度材料（FGM）是一种新型的、先进的非均匀复合材料，它是由两种或两种以上的组分材料按一定的体积分数连续地、功能性地混合而因此，材料特性成为空间位置的函数，并且可以实现从一个表面到另一个表面的连续变化在这方面，功能梯度材料优于当代层压复合材料，因为性能变化是连续的，从而消除了应力集中[30]。然而，*通讯作者。Tel./传真：91 33 24146890。电子邮件地址：samik893@gmail.com（A. Mitra）。由Karabuk大学负责进行同行审查复合材料具有层界面处的不连续性和随后的应力集中的缺点。在现代背景下，FGM在航空航天、土木和机械工程领域中得到广泛应用[43]，特别是在存在不均匀分布的热、化学或机械负载的情况下。功能梯度梁中材料性质的变化可以是横向（厚度）或纵向/轴向（长度）或两者兼有。相关领域的详尽文献综述表明，大多数研究集中在FG梁的自由振动分析与材料属性沿梁的深度变化。在结构的自由振动研究的情况下，主要目的是确定与系统的各种振动模式相对应的固有频率。不同的研究者[6，44]为此采用了几种不同的技术和方法，利用Hamilton原理推导出控制方程，同时采用不同的高阶剪切变形理论，并利用Navier解方法获得这些方程的解。[23，41，42]也对FG梁的自由振动进行了分析;他们使用不同的技术来求解应用Hamilton原理获得的控制方程。Nguyen等人[30]介绍了一种涉及一阶剪切变形梁理论的方法，其中改进的剪切刚度矩阵来自面内应力和平衡方程。http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2015.04.0032215-0986/©2015 Karabuk University.制作和主办：Elsevier B.V.这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。目录可在ScienceDirect工程科学与技术国际期刊杂志主页：http://www.elsevier.com/locate/jestch命名法a0级bcidiE0{f}I0[K][Ks]L[M]西北，努梁根部宽度处的梁横截面积静态分析未知系数动态分析未知系数梁材料在根部载荷矢量处的弹性模量梁在根部的惯性矩刚度矩阵梁质量矩阵w和u的组成函数数分别高斯点数梁根部不uUVwwmaxaDεb，XXr10的ngpt0u1unlxpjifix轴位移场的动能应变能储存在系统势能中的外力位移场在z轴方向上的最大挠度是梁的锥度参数变分操作员轴向应变分别由于弯曲和拉伸梁材料在根部的密度时间坐标一阶固有频率非线性频率参数归一化轴向坐标正交函数系的总势能W的正交函数集南580号Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593结果表明，有限单元法在分析FG梁的动力学特性中是非常流行的。Chakraborty等人[7]也基于一阶剪切变形理论开发了一种新的梁单元，用于研究FG梁的自由振动。Hem- matnezhad等人[15]使用有限元公式研究了FG梁的非线性行为。采用Von Karman型Piovan和Sampaio [32]使用有限单元法研究了具有环形横截面的轴向移动薄壁梁的自由振动。Ke等人[21]用Galerkin方法研究了FG梁的非线性自由振动。非线性方程基于Von Karman几何非线性，控制方程采用直接数值积分法和Runge-Kutta法求解。参考文献[45]使用了里兹法和改进的三阶剪切变形理论。Li [24]采用了一种新的统一方法，其中导出了一个四阶控制偏微分方程。[33]的分析基于经典和一阶剪切变形理论，其中使用瑞利-里兹方法获得控制方程。Simsek[38]处理了经典的、第一和更高的剪切变形理论，并采用拉格朗日方程推导出运动方程。Giunta等人[11]使用了几种公理化的精化理论，并通过虚位移原理变分地施加平衡来推导控制微分方程。Murin等人[29]推导出FG梁的四阶微分方程，并使用线性梁理论建立平衡和动力学梁方程。Sim- sek和Kocaturk[39]使用拉格朗日方程和欧拉-伯努利梁理论研究集中移动载荷作用下FG梁的自由振动行为。一文献[1]采用全拉格朗日公式研究了几何非线性对FG梁静动态响应的影响。Lu和Chen[26]使用混合状态空间微分求积法和近似层合模型获得了正交各向异性FG梁自由振动的半解析解。Kapuria等人[20]提出了分层FG梁自由振动的理论模型及其实验验证。关于非线性弹性地基对FG梁自由振动特性的影响也有一些研究工作[10，19，31，47]。控制方程基于Euler-Bernoulli梁理论，采用Galerkin法和He变分迭代法求解。一些研究人员集中在FG梁的自由振动，其中材料性质的变化是沿着梁的长度。Simsek等人[40]利用拉格朗日方程推导出运动方程，并采用Newmark方法求解AFG梁的动态响应。Shahba等人[35e 37]以及Shahba和Rajasekaran [34]通过有限元法和各种数值分析方法研究了Euler-Bernoulli和Eulshenko梁的自由振动和稳定性分析。Alshorbagy等人[4]采用数值有限元和Euler-Bernoulli梁理论研究FG梁的动态特性。Huang等人[18]通过引入辅助函数，将耦合控制方程转化为单一控制方程，提出了一种研究非均匀AFG梁振动特性的新方法Huang和Li[16，17]通过将相应的控制微分方程化为Fredholm积分方程，研究了AFG变截面梁的动力和屈曲行为。Aydogdu[5]，Elishakoff et al.[9]and Wu et al.[46]用半逆方法研究了AFG锥形梁的自由振动Mazzei和Scott[27]研究了轴向压缩力加载的AFG锥形轴的稳定性和振动。Li等[25]导出了具有各种边界条件的指数梯度梁的封闭形式的特征方程。Kein [22]通过有限元法研究了锥形AFG悬臂梁的大位移响应。Hein和Feklistova [14]使用Euler e Bernoulli理论和Haar小波研究了具有各种边 界 条 件 的 非 均 匀 FG 梁 的 振 动 。 Akgoz 和 Civalek[3] 采 用 Euler-Bernoulli梁理论和修正偶应力理论，利用Rayleighe Ritz解方法对AFG锥形微梁进行了振动响应分析。作者[2]还基于修正应变梯度弹性理论研究了矩形和圆形截面线性变截面悬臂微柱的屈曲问题。文献回顾表明，大量的研究研究工作主要集中在深度方向功能梯度梁的自由振动研究领域，而对AFG梁的研究相对较少。适用于大振幅自由振动，特别是AFG锥形梁的外部横向载荷对加载固有频率的影响有限。应该指出的是，绝大多数研究论文都涉及特定类型（线性）的锥形轮廓，而重点仍然是开发新方法来确定系统的自然频率。因此，本研究采用×¼ZXXZ¼.ΣZεx¼dx211/4ZEεdvXS. Kumar等人/Engineering Science and Technology，an International Journal 18（2015）579e593581目的分析不同锥度轴向功能梯度（AFG）梁的大振幅自由振动问题。根据不同的函数，考虑了材料性质（弹性模量和密度）沿梁长方向的变化。本文还研究了系统几何参数（锥度参数）的变化对动态特性的影响.在无量纲幅频平面上，系统的大振幅自由振动特性表现为骨架曲线，其中，固有频率随最大振幅的变化构成系统的骨架曲线。的振动振幅的增加的模态形状的变化的性质也进行了研究。2. 数学公式图1中给出了一个长度为L、截面尺寸（bt（x））可变的轴向功能梯度非均匀梁及其分析坐标系。图中所示梁的弹性模量E（x）和质量密度r（x）相对于沿x轴的纵向方向变化。应当注意，计算在归一化坐标x中进行，归一化坐标x由，xx/L给出。虽然该图仅显示了具有恒定宽度的变化的厚度（t（x）），但该公式也能够处理变化的宽度。剪切变形和转动惯量的影响已被忽略，因为假定横截面尺寸相当小2.1. 静态分析如前所述，目前的分析是基于梁是细长的假设，即梁的厚度与其长度相比较小，因此剪切变形和转动惯量的影响可以忽略不计。静态分析的控制方程组是通过最小总势能原理导出的，该原理指出，（1）其中，p¼UV。p/4系统的总势能U1/4系统中存储的总应变能V/4外力的功函数或势，d/4变分算子。在梁的大位移分析中，同时考虑了弯曲和拉伸效应。因此，梁中储存的总应变能由下式给出U<$UbUm（2a）其中，比梁的长度更长。本半解析公式是基于位移的，并采用适当的能量方法来达到系统的控制方程。根据文献[8]，非线性系统的大振幅振动分析可以1Ub由于弯曲存储的应变能<$42沃奥尔E.εb<$2dv（2b）考虑等效于其自由振动分析，在静态产生相同大小的大振幅偏转的负载。因拉伸而储存的应变能假设系统在静平衡状态下作小振幅振动，而在未变形状态S22x沃奥尔（2c）平衡位置 大振幅振动的大小等于加载时系统所产生的静态大位移。因此，目前的大振幅自由振动B和εs为轴向弯曲和拉伸分别在离中性轴距离z处弯曲引起的轴向应变和分析是执行在两步测定大型中性轴线是分别给定通过：εb¼ -z d2w和振幅振动频率（加载自然频率）涉及通过以下方式求解AFG梁的静态位移：斯杜1.dw2xdx2第一部分的迭代方案。随后的动力学研究采取了作为一个标准的特征值问题的基础上已知的静态位移场。作为的动态问题是在静力位移解的基础上求解将这些应变表达式代入方程（2），梁中储存的总应变能为：L场，静态施加的大振幅振动的影响被纳入动态系统[28]。静力和动力问题都是基于变分原理1天2天2U2dx20ExIxdx（三）能量原则的形式非线性应变-位移关系1ZL“。du21.dw2004. d w=2. du#考虑了几何非线性。102dx0104dxþDXdxExAxdx对应于强度为p的外部均匀分布载荷，计算的外部载荷的功势由下式给出LV¼pxwdx（4）0Fig. 1. 材料特性和几何尺寸变化的轴向FG锥形梁。横向载荷模式（非均匀分布载荷）（例如，点载荷、三角形或帽形分布等）也可以在本方法中解释，只要它们可以通过分析或数值方法在εDX.LL¼11ð Þ514k-244Z35南582号Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593表1假设位移场的基函数（w，u）。弯曲边界条件f1（x）CC{x（1-x）}2（w和u）是基本的未知变量。这些近似位移场w和u由未知系数（ci）和正交容许函数（f和j）的线性组合表示如下：CFx2（x2-4x 16）nw西北努面内边界条件j1（x）wxXcifix和uxX我公司1我¼cijix（8）功能协调发展的将等式（3）和（4）代入等式（1）中，获得以下表达式在上面的表达式中，nw和nu分别是w和u的函数数。函数fix与弯曲引起的位移有关，而函数fix描述的是梁的中性面这些容许函数（f和j）21ZL.d2w20021Z. . du21.dw2004在定义域内是连续可微的，D20DX2ExIxdx20dx4dx（五）满足系统的边界条件同样众所周知的在应用假设场的假设级数解时，适当地选择函数是非常重要的。满意的结果. dw2002. du）Z3当容许函数来自一组þDXdxExAxdx0pxwdx5¼0正交函数这些正交集的基函数的功能选择的方式，他们满足必要使用归一化坐标（xx/L），上述表达式可以重写如下。21Z11 d2w21Z. 1. du2梁的几何边界条件根据梁的静态变形形状，对应于系统的边界条件，将横向位移（w）的一维基起始用于梁（u）的拉伸的函数来自面内d2L30Dx2Exixdx20LDx边界条件，并且在边界处假设零位移，即，在x<$0，1处的u<$0Gram-Schmidt正交化1.dw20041. dw2002.duChang）程序是用来产生适当的高阶共-104 L3Dx第2章DxdxExAxdx0px宽度Ldx ¼0（六）从所选的容许起始函数中选择纵坐标函数。Gram Schmidt正交化方案的数值实现的目的是确定一组在应用变分算子之后，上述方程变为，在区间0 ≤ x ≤ 1中的正交函数（容许），假设集合的第一个函数f1x已知（选择满足边界条件）。1Z. d2w. d2w21Z1。你好。杜乌f2xx-B1f1x（9a）L3Dx2D01Dx2ExIxdxL01DxDdxfkxx-Bkfk-1x-Ckfk-2x;其中e;1Z. dw2003.dw1Z. 你的。dwdw（7）Z，Z1K-1K-12012年3月2日0dxddx2dx0DxDdxBk¼xbxf2xbdxbbxf2xdx（9 b）11Z1. dw2002. du3Z00200L20dxddxExAxdx0p×wLd× ¼0Ck¼Zxbxfk-1xfk-2xdx，Z1b/2联系我们这里，w和u是00的横向和平面内位移梁，分别。在本分析中，这两种位移11不动x（1-x）þ1图2. 高阶一维（1-D）梁函数的图形表示：（a）CC和（b）CF。ð Þ ð ÞX½K11]¼L3pdx2Edx和ffg ¼ ff11f12gXDxDxS. Kumar等人/Engineering Science and Technology，an International Journal 18（2015）579e593583图3. AFG梁的锥形轮廓和边界条件的示意图。其中bx是权重函数。函数fkx sat的集合设置由下式给出的正交条件，NW NW12是1X XZ1联系我们d2fi dfjDx2Zbxfkxflx。0如果k<1¼（9c）1nwnwZ1.NWD -你好2个dD1如果k l0对于本工作，权函数被选择为单位。为2012年3月2日Xj¼1Xi¼10C1/1fiIdxfifjEAdx数值格式的方便性，所有的函数都是1nwnwZ1.北西努dj！2dfdf在一些适当选择的高斯点上进行数值代入适当位移场的表达式从方程（8）到方程（7）给出了用于梁的静态偏转的控制方程组。以矩阵形式给出的方程的控制集为，表31000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Ci联系我们i-nwidxdxjExA xdx;（10）其中，[K s]是对应于静态分析的刚度矩阵，{f}是横向静态外部载荷的力矢量，{c}是未知系数的矢量。给出了刚度矩阵的形式，载荷矢量如下所示。线性锥形AFG光束的无量纲横向频率（u/4mL2rA0=E0I0）（E（x）/4E 0（1x），r（x）/4r0（1 xx2））。a振动频率的研究工作K11K12坦克和{f}是：表2不同锥度模式的锥度参数值直线锥度a<$0.0a< $0.2a< $0.4a< $0.6抛物线锥度a<$0.0a< $0.2a< $0.4a<$0.6指数锥度a<$0.0a<$0.223144a<$0.510826a<$0.916291Dx½Ks]¼K21K220[Ks]的元素CCCFu1u2u1u20.0本20.394956.31442.425418.6034[三十四]20.472156.54812.425518.6041%误差0.37700.41320.00410.00370.2本18.147950.26972.505317.3820[三十四]18.216950.47922.505117.3801%误差0.37870.41500.00790.01090.4本15.767343.83952.616216.0749[三十四]15.828144.02362.615516.0705%误差0.38410.41820.02670.02730.6本13.176536.80592.784614.6579[三十四]13.229136.96362.783514.6508%误差0.39760.42660.03950.04840.8本10.176628.60353.088213.1256[三十四]10.221728.74063.087113.1142%误差0.44120.47700.03560.0869pXnwZ¼½K22]¼LdxExAxdx;584S. Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593表4线性锥形AFG光束的无量纲横向频率（u/4 m L2r A0=E0I0）（E（x）/4 E 0ex，r（x）/4 r0ex）。a振动频率的研究工作CCCF1/2K12]1/40;½K21]¼2L2Z1。！2cidxDxdxExAxdx;1nwXnuXnwNWdfidfidjj-nw1nwXnwXuZdji-nwdjj-nwDxff11 g/L110p =0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000图第四章 固支均匀梁基模主干曲线的比较。静力分析的控制方程组本质上显然是非线性的，因为刚度矩阵本身是未知系数（ci）的函数。在目前的工作中，一个假设的解决方案，表示为有限的线性组合的未确定的参数或系数与适当选择的功能，被取代到适当获得的能量泛函和稳定值的参数寻求。把假定的解代入控制方程，得到一组代数方程。由于连续统问题的解一般不能用一组有限的函数来表示，当把假定的解代入控制方程时，会产生一个误差（称为残差）。目标是最小化残差，以找出未知系数的一组收敛值。非线性控制方程组求解通过迭代直接替代法，采用适当的松弛技术。对于每个载荷步，假定未知系数（c i）的值来计算刚度矩阵。使用该假定刚度矩阵，通过矩阵求逆技术从表达式{c} [Ks]-1{f}计算未知系数的新值然后将计算值与前一次迭代中的值进行比较，如果差值大于预定的误差限值，则使用松弛参数修改的未知系数的新值重复该过程，直到差值小于误差限值。当达到收敛时，c i是已知的，因此计算梁的位移场。在静态求解步骤结束时，完全已知的刚度矩阵为表5用于振动频率（unl）归一化的基频（u1基频，u1材料1材料2材料3E（x）1/4E0，r（x）1/2 r0E（x）¼E0（1 x），r（x）¼ r0（1 xx2）E（x）1/4E0 ex，r（x）1/4 r0ex锥形模式锥度参数CCCFCCCFCCCF线性锥形0.022.28983.515520.39492.425422.42792.56500.220.00323.608418.14792.505319.96132.65300.417.56913.737815.76732.616217.34892.77520.614.90373.935613.17652.784614.50672.9606抛物线楔形0.022.28983.515520.39492.425422.42792.56500.220.36053.707618.47502.571520.31812.72070.418.28123.952116.42302.759418.06642.92070.615.96294.280314.15913.015115.58873.1924指数递减0.00000022.28983.515520.39492.425422.42792.5650X1jw1i 101/1jlnw1 inw10u1u2u1u20.1出席21.209658.37402.605719.4105[三十六]21岁289858. 63062. 6060十九岁4129%误差0.37670.43760.01150.01230.3出席18.677151.63262.708618.1005[三十六]十八岁748451. 86082. 7083十八岁1001%误差0.38020.44000.01100.00220.5目前15.964844.37122.856916.6915[三十六]十六岁027144. 56982. 8563十六岁6882%误差0.38870.44560.02100.01970.8出席11.215531.53063.293014.3706[三十六]十一岁265331岁69113. 2923十四岁36210.22314419.47233.385617.68742.350619.45752.49010.51082616.39033.190514.75032.233616.23492.37190.91629112.89082.874311.45562.035712.61892.17040Z@1一S. Kumar等人/Engineering Science and Technology，an International Journal 18（2015）579e593585图5. AFG波束的骨干曲线（E（x）<$E0（1 x），r（x）<$r0（1 x <$x2））：CC（a，b）线性锥度（c，d）抛物线锥度（e，f）指数锥度。得到对应于系统的所定义的配置。2.2.动态分析这里，U是对应于梁的所示形状的应变能，T是由下式给出的系统的总动能1ZL（. vw2. vu2）建立了动力分析的控制方程通过应用表示为的汉密尔顿原理，T1/20vt第12章：你是我的女人（1）t2dT-Udt ¼0（11）t1假定未知的动态位移w（x，t）和u（x，t）在空间和时间上是可分离的，场的空间部分用与静力分析相同的容许正交函数的有限线性组合近似2difixejut和ux;t其中，[ M]是质量矩阵，其具有以下形式，586S. Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593图6. AFG梁的主干曲线（E（x）E0ex，r（x）r0ex）：CC（a，b）线性锥度（c，d）抛物线锥度（e，f）指数锥度。nwnwXnu1/1联系我们-u½M]fdg½K]fdg¼0（14）其中，u是系统的固有频率，di表示一组新的未知系数，该系数以矩阵形式表示特征向量将等式（3）和（12）连同方程（11）中的动态位移场给出了下面形式的梁的要素：M11M12Xw/w（13）第一次见面½M]¼男性21例男性22例XNW XnwZS. Kumar等人/Engineering Science and Technology，an International Journal 18（2015）579e593587图7. AFG梁的主干曲线（E（x）<$E0（1x），r（x）<$r0（1 x<$2））：CF（a，b）线性锥度（c，d）抛物线锥度（e，f）指数锥度。½M11]¼L1第1页110fifjrxAxdx;½M12] 1/40;½M21] 1/40;1从收敛的静态解获得的参数用于在动态问题开始时计算[K]的值。方程（14）是通过Matlab程序数值求解的标准特征值问题。计算出的特征值的平方根给出了梁的静态定向构形，称为½M22]¼LnwXnunwXuZji-nwjj-nwr<$x<$A<$x<$dx;加载自然频率这些频率，当相对于相应的偏转幅度绘制时，提供了主干jlnw1 inw10这里，[K]是系统在指定配置下的刚度矩阵。矩阵的形式和元素与静态分析部分中描述的相同未知系统的曲线。在Matlab程序的同一子程序中提取与特征值相对应的特征向量，并进行后处理，得到振动系统的振型。南588号Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593图第八章A F G 梁 的 主干曲线（E（x）E 0ex，r（x）r0ex）：CF（a，b）线性锥度（c，d）抛物线锥度（e，f）指数锥度。3. 结果和讨论本文研究了大挠度对轴向功能梯度（AFG）变截面梁动力特性的影响，以及变截面梁的动态特性随锥度、几何形状和材料模型的变化。本文对AFG楔形梁在均布荷载作用下的两种外边界条件（固支-固支（CC）和固支-自由（CF））进行分析。横向位移（w）的基函数由外边界条件生成，轴向位移（u）的基函数为由膜边界条件产生。分析时假设边界处的面内位移为零。这些功能列于表1中。利用Gram-Schmidt正交化原理生成完整的高阶函数集，每个位移的函数数取为6。对应于CC和CF结束条件的三个这样的高阶1-D函数（模式2、3和4）在图2中示出。由于公式的一般性质，任何其他经典的外边界条件都可以通过这种方法处理。从三个经典的结束条件的组合，即，固支端（C）、简支端（S）和自由端（F），共6种不同的边界条件，即CC、CS、SS、CF、SFXx¼S. Kumar等人/Engineering Science and Technology，an International Journal 18（2015）579e593589图9. 不同锥度的骨架曲线比较，E（x）E0ex，r（x）r0ex（a，b）CC（c，d）CF。和FF，可以获得。 由于公式化和求解方法的灵活性，只要采用适当的措施将刚体模态（特别是SF和FF边界条件）纳入其中，就可以有效地处理所有这些边界条件。 甚至非经典边界，如弹性约束端，也可以照顾。然而，为了限制本文件的体积，只提供与CC和CF边界有关的结果同时，三种不同的锥度模式，即线性，抛物线和指数，已被选定。本分析所考虑的锥度轮廓示意图及其边界条件如图3所示。假设所考虑的梁具有均匀的宽度，而厚度根据等式（15）中提到的关系变化。线性锥度：tmm×tmm×tmm ×tmm 1-axis（15 a）抛物线锥度：tx¼t0。1轴2轴（ 15b）指数锥度：txmax=0exp-ax1= 2（15 c）这里t0是梁在根部的厚度，a是锥度参数。对于每种锥度模式，考虑了锥度参数（a）的四个不同值，并在表2中列出。a的值已被如此选择，使得另一端对于所有锥形图案保持相同，以提供对锥形图案对结果的影响的更好理解。考虑了弹性模量和密度沿轴向变化的三种不同材料模型，并给出了这两个参数随轴向变化的表达式。归一化轴坐标如下：材料1：Ex E0; rxr0（16a）材料2：ExE01x;rxr0。1xx2（16b）材料3：E16xE16E0e;r16xE16r0e（16c）在这些表达式中，E0是弹性模量，r0是梁左端的质量密度，即 在x 0处（图1）。应该指出的是，材料1是指均匀材料，因为弹性模量和密度在整个梁中都是常数。本文的分析是基于这样一种方法，即先求出横向均布荷载作用下AFG梁的静态位移场，然后根据收敛的静态解计算相应动力问题的特征值。静态问题的解决方法涉及一个迭代的数值方案，由于存在的非线性刚度矩阵使用连续松弛。将用于生成结果的高斯点的数量（ng）取为24。公差¼¼¼ ¼¼p590S. Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593图10. AFG梁的振型图（E（x）1/4E0（1×x），r（x）1/4r0（1×x1×2））：线性锥度：（a）CC（b）CF，抛物线锥度：（c）CC（d）CF和指数锥度：（e）CC（f）CF。数值迭代格式的误差限值固定为0.50%，松弛参数取为0.50。动力学问题的解决方案以下几何尺寸和材料属性用于生成结果：L1.0 m，b0.05m，t00.02 m，e0级210 GPa，r07850kg/m 3。通过与文献中已有的结果进行比较，验证了本制剂和溶液技术。无因次自由振动频率参数（u¼mL2rA0=E0I0）的情况下，与[34]（表3）和[36]（表4）发表的结果进行比较。表中表明，结果之间的%误差从目前的分析和公布的结果得到的是相当小的，并在可接受的范围内。两组数据之间的微小差异可能归因于制剂和溶液方法的差异。据作者所知，AFG锥形梁的骨干曲线或大振幅自由振动的基准结果在现有文献中是不可用的因此，本分析的结果 归一化非线性频率与对应于基模的归一化最大偏差的比较图见图1。第四章在这种情况下，目前的结果与[13]发表的结果进行了比较，S. Kumar等人/Engineering Science and Technology，an International Journal 18（2015）579e593591图11. AFG光束（E（x）E0ex，r（x）r0ex）的模式形状图，线性锥度：（a）CC（b）CF，抛物线锥度：（c）CC（d）CF和指数锥度：（e）CC（f）CF。CC边界条件下的均匀梁。目前的结果是产生两个不同的初始偏转轮廓对应于集中和均匀分布的负载。结果表明，两组结果在低负荷时匹配良好然而，发现两组结果的趋势相似。在所有的比较中观察到现有的和生成的结果之间的令人满意的协议，以建立本配方和解决方案的方法的有效性。表5列出了不同条件下的基本自然频率。从频率参数的差异可以看出，不同的材料模型、不同的锥度形式和参数以及不同的边界条件对梁的自由振动有明显的影响。它除线性和抛物线形变截面AFG悬臂梁的基频外，其它固有频率均随变截面参数的增大而减小。 频率随锥度参数的增加而降低是由于横截面积和惯性矩的减小引起的软化效应。[34]对线性锥形梁也有类似的观察这种软化效应在指数锥形梁中最严重，在抛物线锥形梁中最小还观察到，对于类似条件，材料2的固有频率值小于材料1的固有频率值，尽管材料2比材料1更硬。然而，应该注意的是，增加材料特性导致更重的梁，并且由于固有频率受到刚度和刚度两者的影响，¼¼¼Max0南592号Kumar等人 /工程科学与技术，国际期刊18（2015）579e593质量，自然频率的变化与材料性能的变化不能很容易地预测[35]。系统的主干曲线提供了关于振动的固有频率和振动的振幅之间的关系的信息。它给出了频率的幅度依赖性的度量，这只发生在非线性系统中。此外，关于非线性的类型（是否硬化/软化型刚化）的想法可以从这些曲线中获得。系统的大振幅动力学行为以无量纲频率振幅中前四个模式的骨干曲线的形式图示飞机，哪里的纵坐标和横坐标表示无量纲振幅（wmax/t0）和归一化频率（unl/1），分别。无量纲振幅是梁的最大挠度（w max）与根部厚度（t 0）之比，而无量纲频率是通过将非线性频率（unl）除以表5中列出的基本线性频率（u1）获得的。无量纲振幅的最大值（wmax/t0）在所有情况下均取为2.0。图图5e 8给出了轴向FG锥形梁在均匀分布横向载荷作用下的骨干曲线，这些梁具有不同的锥形形式、材料特性变化以及边界条件。每个图都有三组图（对应于三个单独的锥度轮廓），其中包含前四条主干曲线。此外，该图还包含四个不同锥度参数（a）值的主干曲线。图图5和图6分别示出了根据材料2和材料3具有轴向渐变的固支（CC）AFG梁的主干曲线。类似地，Fig.图7和图8分别描绘了根据材料2和材料3具有轴向渐变的悬臂（CF）AFG梁的主干曲线。对于所有的情况下，梁的刚度随着载荷的增加而增加，这是由于系统中存在的几何非线性。刚度的增加导致自由振动频率的增加，同时梁的挠度也增加，这可以从任何一个图中观察到。因此，对于锥度轮廓、系统几何形状、材料模型和边界条件的所有组合，系统都表现出硬化型非线性行为。对于CC边界条件（图图5和6）单独的图显示骨架曲线的斜率随着锥度参数的增加而增加。这表明系统的非线性随着锥度参数的增加而增加在指数锥光束中，锥参数的影响更为严重抛物线锥梁的主干曲线在无因次平面上在CF边界条件的情况下（图从图7和图8中可以明显看出，锥度参数对线性和抛物线锥形AFG梁的基本模式的振动频率没有太大影响，并且主干曲线彼此重叠。对应于材料3（E（x）E0ex，r（x）r0ex）和CC和CF边界条件的不同锥度模式的主干曲线的变化如图所示。第九章对于该特定在这种情况下，锥度参数保持固定在0.4。指数锥形梁的非线性度要比其他两种情况大线性和抛物线锥度轮廓的主干曲线之间的差异很小。前三个模态的振型图针对不同的锥度轮廓和材料特性变化而提供，以更详细地突出振动幅度对动态行为的影响（图1和图2）。10和11）。对于每种振动模式，两个模式形状图对应于线性（w/t1/40）和改变特定的模式形状。当边界条件由CC变为CF时，由于边界刚度的然而，不同的锥度模式和材料特性变化并不能识别出振型的4. 结论本文研究了具有不同锥度和材料梯度的轴向功能梯度细长非均匀梁的大振幅自由振动问题 梁在横向均布荷载作用下，考虑了两种不同的外边界条件（CC和CF）。该方法也适用于其他边界条件。其数学形式是基于能量法，自由振动问题分两部分求解首先，静态问题是解决未知的静态位移场，然后动态问题是采取基于这些已知的位移场。静力分析采用最小势能原理，动力分析采用Hamilton原理。该方法是一般性的，可以应用于任何类型的锥度模式和轴向材料性能渐变，只要它们是表达的数学函数。从本分析中获得的结果与以前发表的结果进行了验证脊骨曲线在无量纲频率-e振幅平面中给出，而振型图是为少数特殊情况提供的。引用[1] S. Agarwal，A. Chakraborty，S. Gopalakrishnan，使用精确线性静态解分析各向异性和非均匀梁的大变形，Compos。Struct.72（2006）91e 104.[2] B.阿克戈兹岛李文，基于应变梯度弹性理论的线性变截面微柱屈曲分析，结 构 工程。Eng. 机甲 48（2）（2013）195e 205。[3] B.阿克戈兹岛Civalek，基于修正偶应力理论的轴向功能梯度锥形Bernoullie Euler微梁的自由振动分析，Compos. 322. 第 322章：一个女人[