基于Renyi熵的组明智点集注册算法

1Group-WisePoint-SetReg是基于Renyi s S eco n d O r d e r E n t r o p y y的结构路易斯·G Sanchez Giraldo迈阿密大学，佛罗里达州，美国lgsanchez@cs.miami.edu放大图片作者：Erion Hasanbelliu，MuraliRao，Jose C. Principe University of Florida，FL，USAehasanbelliu@gmail.com，mrao@ufl.edu，网址：www.example.com，principe@cnel.ufl.edu摘要在本文中，我们描述了一套强大的算法，组明智的注册使用刚性和非刚性变换的多个未标记的点集没有偏向于一个给定的集合。这些方法通过将点集表示为概率密度函数来减轻建立点集之间的对应关系的需要，其中配准被视为多分布对准。Holder我们还表明，该方法可以通过归一化熵的比例因子得到改进这为计算配准多个点集所需的空间变换函数提供了简单、快速和精确的算法该算法进行了比较，对两个众所周知的方法为组明智的点集配准。结果表明，在精度和计算复杂度的改善。1. 介绍点集配准是计算机视觉、模式识别、医学成像、机器人等领域的一个常见问题。图像配准、人脸识别、目标跟踪、图像拼接或3D目标融合等任务都需要配准特征/点集。从图像中提取表示对象轮廓或其他区别特征的特征，相似性度量用于比较点集，其中选择取决于对象特征和问题。研究界已经开发了许多技术来解决点集配准。迭代最近点（ICP）算法[1]是最流行的方法，它利用最近邻关系分配二进制对应，然后确定最小二乘变换。与点集相关的信息。该方法是非常简单的，但它表现出局部收敛，由于不可微的成本函数。此外，它在存在异常值的情况下受到影响，并且不适合于非刚性变换。反断点匹配（RPM）[4]通过采用全局到局部搜索和对应关系的软分配来改进ICP。该方法通过确定性退火和软指派联合确定两个点集之间的对应关系和变换关系然而，该方法是不稳定的存在离群值，由于软分配的方法，该方法的复杂性是高的。为了消除点对应的要求，采取全局方法，其中点集表示为概率密度函数（PDF）。Tsin和Kanade [21]是第一个提出这种方法的人，他们将两个点集建模为核密度函数，并使用两个密度估计值之间的核相关性来评估它们的相似性和变换更新。Glaunes等人[8]通过将两个点集表示为狄拉克δ函数的加权和来匹配它们，其中高斯函数用于“软化”狄拉克δ函数，而非纯变换用于最小化两个分布之间的距离。Jian和Vemuri [12]，[13]通过将密度表示为高斯混合模型（GMM）来扩展这种方法。他们推导出一个封闭形式的表达式来计算两个高斯混合物之间的L2距离，update方法来对齐两个点集。所有这些方法仅限于注册一对点集。在某些应用中，例如医学图像配准，需要同时配准一组点集。这些方法都不能直接扩展到多个点集的分组对齐。此外，这些方法都是有偏的（单向更新），其中一个点集作为目标，另一个点集被转换为与它对齐。在需要分组配准的应用中，可能没有实际的模板来匹配（例如，医学图像）。因此，需要确定中间的共同取向/位置以对准点集。估计一个意义-66936694·21MF1MG我J−22从一组未标记的形状中获得完整的平均形状是可变形形状建模中的关键挑战。Chui等人。[6]提出了一种联合聚类和匹配算法，该算法从由未标记点集表示的多个形状中找到平均形状他们的过程遵循类似的方法，他们以前的工作在[5]，其中前，需要首先确定显式对应。此外-散度直接比较PDF的相似性，并表示为两个PDF的内积，这基本上是一个归一化的Renyi的准熵。假设我们有两个d维点集Xf={x（f），. . . ，x（f）}和dXg={x（g），. . . ，x（g）}。设x（f）∈Xf是由f和x（g）∈Xg画出的然而，该方法对离群值不鲁棒，因此稳定性并不总是得到保证。Wang等人。[22]提出了一种分组配准方法，其中点集表示为密度从G。 点集XfXg是通过代入PDFs和g的Parzen密度估计函数和g来计算的。命名ly，f的Parzen密度估计由[14]给出功能协调发展的基于与上述PDF配准方法相同的原理，其算法同时配准点集并确定均值集，而无需求解对应关系或选择任何特定点。f（x;Xf）=MFMfi=1.Σx x（f）κσ、（3）设置为参考。他们的做法最大限度地减少了詹森-累积分布函数（CDF）之间的香农发散。他们从PDF转移，因为CDF是其中κ（）是有效的核（窗口）函数，σ是我和我的朋友在一起。 以类似的方式获得了g的stimat eg。高斯函数更不受噪声影响，并且由于CDF是积分度量，因此也被很好地定义然而，CDF估计在计算上是非常昂贵的，并且不存在封闭的-1Gσ（x，xi）=<$2πσexp.Σx−xi2σ2、（四）为他们的更新提供解决方案。Chen等人 [3]开发了另一种基于H av r d a-Ch ar vatdve rg e nce的CD F组配准方法。与[22]类似，他们使用累积残差熵来表示CDF。他们的方法，CDF-HC，推广了CDF-JS，但它更容易实现，计算效率更高。本文介绍了一套基于Rényi的qua-ratic-ratic-ratio y的群- w-ratio的方法。我们的方法的主要改进是，它们提供了一个封闭形式的解决方案的更新，这使得他们更简单，更快地计算比两个基于CDF的方法，没有损失的准确性。我们比较我们被认为是其属性的核心选择：对称性、正明确性和通过内核带宽控制的指数衰减。通过使用高斯核，Cauchy-Schwarz发散的插入式估计器具有卷积算子的封闭形式，使得估计简单。（2）中的一个重要项称为交叉信息势[15，11]，它对应于f和g之间的内积。交叉信息势的经验估计具有以下形式：∫CIP （ Xf ， Xg ）为f（ x ） g（ x ） dx（5）方法对CDF-JS和CDF-HC对各种数据集。1MfMg=G.Σx（f），x（g）.2. 背景MfMg i=1j =12σij在[9]和[10]中，介绍了两个PDF之间的相似性使用信息理论度量，Cauchy-Schwarz（CS）散度[15]，从Cauchy-Schwarz不等式[18]导出：∫。∫∫f（x）g（x）dx≤f2（x）dxg2（x）dx，（1）其中，在PDF 的情况下，等式成立，当且仅当f（x）=Cg（x）且C=1。Cauchy-Schwarz发散定义为：. ∫Σ2f（x）g（x）dxD CS（f g）= − log。（二）f（x）dx g（x）dx我1−6695这个术语在确定两个点集之间的相似性时至关重要。当数据点被解释为粒子时，信息势测量由一组粒子在另一组粒子指定的位置上创建的场的相互作用。Cauchy-Schwarz信息势场对第二个点集的样本施加信息力，迫使它们朝向将提供两个PDF之间最相似CS发散仅限于成对比较。考虑到组明智的比较，我们提出了上述想法的两个扩展，允许同时比较两个以上的密度函数。第一种方法是将Ho？l der的设计作为Cauchy-Schwarz散度的直接第二个推广是基于Jensen6696→2pM2（问）ip，k（k）1KMK我∫iq，k−O···K--3. 基于Ho？lder？r散度的广义相对论对于N个函数{ f k }，Ho？lder的不等式的一般化版本由下Jensen 不等 式然 而， 与 [22]不同 ，其 中使 用 Jensen-Shannon（JS）散度提出了分组配准方法，我们的方法是基于从Rényi的二阶熵导出的形式点的直接比较.YNk=1ΣNfk（x）dxYN ∫≤k=1fkN（x）dx.（六）4.1. Rényi的第Renyi根据（6），Hoülder的设计方法.ΣNYNfk（x）dx[19]其中对数运算位于表达式运算区之外。Renyik=1函数f定义为：DH（ {fk}）=−logYN ∫k=1fkN（x）dx、（7）1∫Hα（X）=−1 −αlogfα（x）dx.（十）其可以被写为两个差值，公司简介在极限α_1下，（10）近似于Shannon的线性方程组[17]. 对于α=2，H2，它有封闭形式的解，也是一个非线性方程，DH（ {fk}）=−NlogΣNk=1∫fk（x）dx（八）可以使用Parzen窗口获得。设Xp是从f中抽取的大小为M的独立同分布样本。这个表达+log fkN（x）dx。k=1H（X）=−log1ΣMΣMG<$2σ（xj−xi），（11）设我们有N个点集Xk，k∈1，. . .、N. 每个i=1j=1Xk={x（k），. . . ，x（k）}，其中x（k）∈Rd. 如果你愿意，（5）、Ho？l der？d ive r g e n ce的一个经验性估计封闭形式的解决方案，可以得到使用Parzen密度近似与高斯核，在 （ 11 ） 中 的 对 数 内 的 量 被 称 为 信 息 势（informationpotential），如下所述，它允许用公式表示用于分组式寄存器的性能良好的代价函数M1MDH（{fk}）=−Nlog···Gp，q过滤i1=1N+ logiN=1p=1q=p+1MkNY−1YN···Gk，k，（九）4.2. 基于信息势的k=1i1，k=1iN，k=1p=1q=p+1设X ={X 1，. . . ，XN}是N个形状的集合，其中γ=<$Nσ，Gp，q=Gγ（p）Ip-xiq），以及对齐。每个Xk是Mk个点的数组，表示形状。 这里，形状被认为是一组独立同分布的Gk，k=Gγ（x（k））X）的情况。虽然有一个封闭的-为Ho？lder？d？e？g？e乍一看，它也揭示了它的复杂性。将需 要 对 H o？lder的设计（9）进行直接实施（M1）MNN2d）opera tion swhichi chbecome probably-inhibitively largeas the number of shapes and data points in-crea s e. 我是一个很好的朋友。公式（9）中的项可以重复运算量为O（maxi{Mi}）2N2d. 在我的天啊。我们提供了一个更好的目标函数，22的时间复杂度为O（max{M}）Ndc o m plexity.从一个共同的随机变量中抽取的样本，经历了未知的转变Tk。 我们的目标是找到一组变换Sk= T −1，将Sa p esX的集合映射到一个C olle nXk=T − 1。Xk=T−1（Xk）被视为从相同的下采样的i.i.d样本，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友。如果假设形状是从其采样的，则范围是可变的是未知的，有必要强加一套规律性给出了变换映射Sk的条件和每个X_i的估计矩阵分布。我我∫（x∫这是一个stimata或r的Re'nyi的电子商务这是一个-X66974. 基于Rényi二阶熵的广义熵为了达到一个封闭形式，但也计算效率高的解决方案，我们提出了一个目标函数的基础上，信息势IP（f）=f2（x）dx是凸函数，因为它对应于密度函数1的平方L2范数. 从信息的凸性1本文将其限制在具有有界L2范数的概率密度函数空间。6698我|KK××潜在的，下面的不等式成立：通过线性变换AT，然后加上.求向量t ∈ Rd。对于点x∈Rd，仿射变换ΣNIPk=1克尔克·福克ΣN≤k=1KazakhstanIP（fKazakhstan），（12）mationS AFF用A和t表示如下：Saf f（x|A，t）=ATx+t。（十五）其中fk是第k个点集的Parzen密度估计和MKk=（十三）k=1Mk通过考虑齐次坐标，可以获得（15）的更紧凑形式，其中原始矢量点被扩展到（d+ 1）维，最后一个维度为这表明，每个点集X的信息点的加权和与每个点集X的形式点有关，并且当且仅当所有点集相同时，等式成立。从这一点上看，mension为1，Saf f（x|A，t）=Σ ΣΣxAT t1Σ.（十六）因此，我们提出不等式（12）中两项之间的差作为代价函数。所提出的成本函数，即对该点的X射线衍射的解释，可以可以写成：从这里开始，假设点x（k）已经被扩展以隐式地处理平移，如（16）所示。ΣNJ=k=1kIP（X.[Nk=1ΣX~k.（十四）5.2.非刚性变换非刚性变换对局部变形进行建模，这是对多形状对齐可以通过最小化上述差异来实现。如下面将示出的，将采样Xk变换为Xk，因此，我们在下面给出了一种形式。作用势等价于单位X射线的信息势，从而使所述期望值成为一个直线。形状在这项工作中，我们采用径向基函数（RBF）扩展计算的非刚性变换。在RBF展开中，变换被定义为M个基函数φi（x）的线性组合，5. 点集配准正如我们上面提到的，一个N个点集Xk的集合，S编号（x|W，φ）=ΣMi=1wiφi（x）=ΣMi=1wiφ（x − xi）。（十七）假设是从一个坐标范围可变的X_k中抽取的样本的变换版本，可以通过找到一组变换S_k来将其对准到一个坐标形状，使得Sk（Xk）的估计分布使目标函数（14）最小化。然而，这是一个不适定的问题，因为X是未知的。为了选择一个部分-的解决方案，我们施加约束的一组估计的转换以及目标分布。对于每个Xk，所需的变换可以分为两部分：1)仿射变换; 2）非刚性变换。仿射变换对形状具有全局影响，主要由线性变换（如旋转、缩放、剪切和平移）组成。非刚性变换考虑了不能由仿射变换表示的局部变形。此外，我们假设该函数是光滑的，在这个意义上，两个SIM-ILAR输入对应于两个类似的输出。这个假设-每个基元φi是点x之间的欧几里得距离，在此函数被评估，和相应的中心点xi。用于非刚性变换的最常见的RBF是薄板样条（TPS）[2]和高斯径向基函数。这两个函数的主要优点是它们的逼近误差渐近地趋近于零。然而，RBF展开的非参数性质，其中所有数据点也是控制点，如果处理不当，可能会对计算复杂性产生重大影响。虽然这本身就是一个重要的问题，但它超出了本文的范围，将不再进一步讨论。变换Sk是仿射分量和非刚性分量的线性组合，如下所示：Sk （x|Ak ，tk ，Wk ，φk ）=Saf f （x|Ak ，tk ）+Snr（x|Wk，φk）在处理变换的非刚性部分时，通过在问题中引入正则化项来增强解的光滑性。Σ=AT|tkΣΣx1Σ+WTφk（x）。（十八）5.1.仿射变换设Xk表示大小为Mkd的矩阵，其中每个行向量是Rd中的一个点。得到一个仿射变换映射φk由以Xk为中心的基函数集定义，它产生大小为Mkd的Wk。为了简化符号，我们将仿射映射表示为：6699x−xJMK不J{}K{S}kKA. 应当理解，x是增广向量，t包含在A中。方程（18）然后被写为：Sk（x|Ak，Wk，φk）=ATx+WTφk（x）。（十九）对于每个形状Xk，形成的形状X k可以以矩阵形式紧凑地书写，Xk=[Xk|1]Ak+ΦkW，（20）其中Φk是m a。所有部件的tri x是fφ的平均值，5.4. 求解变换矩阵A和W成本函数可以用交叉信息势（5）表示。首先，我们有，对于每一个形成具有Mk个点的X射线的T射线，IP（Xk）=CIP（Xk，Xk）.（二十五）经变换的样本集合{kXk}的信息势由下式给出：即，（Φk）=φ（k）（k）.然而，自从。Σ伊日伊[N1]N增广矩阵[ X k]的列|[1]也可以是-长到Φk的列的跨度，部分仿射变换可以隐式地包含在第二英国皇家学会的任期 （20）。可以将IPk=1X~k =.Σ2ΣNMKk=1k，k=1MkM<$CIP（X<$k，X<$k）.（二十六）通过将Φk投影到Xk的柱的跨度的核来计算仿射和非刚性分量。投影可以基于[Xk] 的QR 函 数 或 插 值 函 数 来 获 得|1]中。设QkRk=[Xk|1]，其中Qk=QXk|克尔克. ADEO-交叉信息势可以用Gram矩阵表示。对于给定的核，特别是对于固定宽度的高斯核，令矩阵G（Xk，Xk）是Xk中任意点的一个等价空间（20）的简化版本可以通过将Φk替换为和X轴。因此，我们将G（Xk，Xk）定义为Gknd.Σ¯⊥电子邮件.Σ联系我们其条目由Φ k=QkQkΦkQkQk.（二十一）G（k）=G.Σx（k），x（k）.（二十七）解的样本外扩展由下式给出Sk（x）=ATx+WTΦ<$k Φk <$φk（x），（22）ij2σij那么，交叉信息势可以写为：K K其中Φkt表示的Moore-Penrose伪逆Φk。从这一点上，为了简化符号，Φk将在-CIP（Xk，Xk）=1T Gk1M，（28）代表在（21）中获得的解耦版本，并且Xk为考虑移位参数在仿射变换中。5.3. 正则化其中，1M表示长度为M的向量，1/M。成本函数的偏导数可以是eas。基于交叉信息势的偏导数来计算，其如下所示：在溶液中加入稳定剂是一个重要的-IP（Xk，Xk）TX G X−Xdg（MG1）X，形状配准的一部分，因为它强制平滑-Akkk 伊什博克ℓk Mk转换函数上。 既然我们在处理IP（Xk，Xk）T公司简介 X−Φdg（MG1）X，有一个有限的点集，可以有一个无限的数量-Wkkk 伊什博克ℓk Mk匹配对应点的变换的比特率但是对于形状的不可见部分具有非常不同的行为。通过正则化项选择最平滑的解提供了唯一易处理的解。正则化理论起源于Tikhonov [20]的工作，其中现有的优化问题用正则化项进行了扩充。在我们的例子中，我们有：min imizeJ（{Sk}）+λ（{Sk}），（23）其中，λ（{Sk}）是约束函数集{Sk}的光滑性的正则化项，λ是在对齐之间进行权衡的自由参数。 （Sk）目标和解决方案的平滑性。对于非刚性变换，正则化项由伪范数，6700不（二十九）其中dg（v）表示具有v在主对角线上。5.5.归一化信息势类似于微分熵，信息势不是尺度不变的，因此使用如上所述的成本函数通过简单地将所有点集折叠成一个点，可以达到全局最小值为了确保这种崩溃不会发生，我们引入了一个标准化形式的成本函数，限制的解决方案空间。在这里，我们依赖于这样一个事实，即随机变量的熵取决于它的标准偏差。（{Sk}）=tr.TΣWk Φk Wk .（二十四）viation. 为了防止不必要的、规模缩小的解决方案，我们在（14）分割信息6701通过总方差的平方根计算潜在值，其对应于协方差矩阵的迹。成本函数对应于以下归一化信息势的差更接近点集7，图2（g），并且其最终配准小于其余点集。HolderIP（X）. SΣIPXX无约束IP解决方案。但是，两者都在y轴上按比例缩小。这是由于以前J=k。 k−。、（30）讨论图2（l）显示了归一化的结果。k=1tr（Ck）tr（C）IP与（30）中的约束项。这说明了当我们最小化成本时约束的重要性。其中，C形是由X形形成的每个图形的共变量，而C形是由所有图形形成的图形的统一体的共变量。6. 实验结果为了说明所提出的方法的逐组配准能力，1显示了同一对象的多个形状旋转、平移和缩放为不同大小的示例。图1（A）示出了对象的初始位置。其余子图显示了对齐过程的步骤。请注意，在注册过程中不会发生跳转。这不是我们比较的基于CDF的两种方法的情况。结果对齐是所有单个形状的旋转和缩放的平均值。它与任何原始形状都不一致，但它反映了不同点集的方向和大小的折衷。6.1. 用于地图集构建的分组配准以下示例显示了在从[3]借用的数据集上使用仿射和非刚性变换的该数据集包含从七个受试者的胼胝体（CC）的外轮廓提取的点。在这个实验中，我们证明了我们的算法无偏的2D图谱建设的能力。除了信息势和归一化的信息势差，我们还提供了基于H o？lder设计的结果。 菲格2给出了这两种算法以及CDF-HC [3]的相对效率结果在我们的实验中，我们使用最小化例程修改了用于CDF-HC的优化例程，该最小化例程使用基于多项式插值和Wolfe-Powel条件的共轭梯度和近似线搜索[16]。前七个图像2（a）-2（g）示出了通过三种方法中的一种生成的图谱的每个点集的变形。前七幅图像中使用的配色方案如下：初始点集用蓝色“+”表示，变形点集用对应于CDF-HC、Holder、IP和归一化IP算法的绿色、黑色、红色和品红色的圆圈表示。图2（h）显示了配准前的叠加点集。图像2（i）-2（l）显示了每种方法注册后的叠加点集请注意，CDF-HC遵循结果表明，我们的方法不仅提供了更接近平均形状的最终配准，而且还提供了更好的最终点集拟合。为了比较这些方法对噪声的配准能力，我们在其中一个点集中添加了一些离群点，即点集7。图3（a）显示了配准前的点集加上在暗星中显示的离群样本。子图3（b）、3（c）和3（e）分别显示了CDF-HC、持有者和标准化信息潜力的最终注册。除了配准后的七个点集之外，每个子图还包含来自配准的点集7，没有离群值样本，以显示由于离群值而可能在最终配准中发生的偏差。最后的配准结果表明，该方法比CDF-HC方法对离群点的鲁棒性更好。当与没有离群值的配准的点集7相比时，我们的方法具有非常小的偏差，而CDF-HC显示出点集向离群值的更明显的收敛。我们需要指出的是，即使我们的方法执行得很好，在使用TPS的情况下，我们有两个自由参数;即，估计信息势所需的核大小σ，以及控制函数的“平滑性”的正则化参数λ。此外，当采用高斯径向基函数时，还必须定义一个确定控制点局部影响的核带宽β。确定这些参数和建立最佳退火速率取决于问题。 在我们上面使用胼胝体数据的示例中，我们使用TPS作为基函数，λ=0。1为信息势和归一化信息势算法，0。Holder的算法是01。对于所有三种算法，我们初始化σ= 0。1，退火速度为98%。为了观察不同正则化参数值的效果，图。图5示出了初始化σ= 0时λ的四个不同值。2，退火率为98%。图5描绘了当λ改变一个数量级时的对齐行为。可以看出，较低的λ值如何允许点自由移动并提供几乎完美的重叠。然而，将从噪声子采样形状到原始形状的学习变换应用于原始形状暴露了过拟合现象，67021.510.50-0.5−1-1.5−1-0.500.511.5(a) 初始位置10.80.60.40.20-0.2-0.4−0.6-0.8-1-0 .5 0 0.5 1(b) 步骤510.80.60.40.20-0.2-0.4−0.6-0.8-1-0.5 0 0.5 1(c) 步骤2010.80.60.40.20-0.2-0.4−0.6-0.8-1-0.5 0 0.5 1(d) 步骤5010.80.60.40.20-0.2-0.4−0.6-0.8-1-0.5 0 0.5 1(e) 步骤8010.80.60.40.20-0.2-0.4−0.6-0.8-1-0 .5 0 0.5 1(f) 最终对准图1.使用信息潜在成本函数对齐的多个形状的示例0.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.15-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(a) 点集1-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(b) 点集2-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(c) 点集3-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(d) 点集4-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(e) 点集5-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(f) 点集6-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(g) 点集70.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.15-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(h) 注册前-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(i) CDF-HC-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(j) 持有人的-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(k) IP差异-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(l) 归一化IP差异图2. 真实CC数据集上的无偏分组非刚性配准示例。使用CDF-HC、Holder估计、IP和归一化IP方法进行性能比较0.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.150.10.050−0.05−0.1−0.15-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(a) 注册前-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(b) CDF-HC-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(c) 持有人的-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(d) IP差异-0.2-0.4-0.3-0.2−0.100.10.20.30.4(e) 归一化IP差异图3.离群噪声的无偏分组非刚性配准示例比较CDF-HC法、Holder估计法当非刚性变换没有被适当地正则化时，可能导致6.2. 有偏数据集的分组配准为了证明对噪声的准确性和鲁棒性，我们借用了[3]中的两个数据集：奥运标志和嘈杂的鱼。这些数据集是综合生成的，存在偏倚。第一个点集是原始集，其他六个点集是通过使用薄板样条将点集通过各种非刚性变换而生成的。对于第二个数据集，鱼，除了transformation，10个随机生成的抖动点也被插入到每个点集。注意，这是一种与正则化实验（5）中使用的扰动不同的扰动，其中通过添加高斯噪声来改变点的位置。CDF-HC、Holder’s、IP和归一化IP的初始点集位置和最终配准结果如图所示。4.第一章对于奥运会和鱼类数据，λ= 0。01，σ= 0。5，所有三种算法的退火率均为99%为了分析测量配准的准确性-最终点集之间的相似性 ， 我 们 计 算 了 地 面 之 间 的 Kolmogorov-Smirnov（KS）统计量[7真值点集、第一集合和最终注册点集。在表1中示出了语 料 库 胼 胝 体 总 和 （ CC 7 ） 、 具 有 异 常 值 CC 7（+out）的CC 7、具有异常值配准但仅考虑KS统计值CC 7（-out）的原始点的CC 7、奥林匹克标志和噪声鱼数据集的平均KS统计结果。我们还包括[3]中列出的奥运会和鱼类数据集的CDF-JS [22]结果表明，我们的方法优于CDF-JS和CDF-HC。当从数据集中删除离群值时，突出显示CC7上KS统计量与离群值数据集之间的差异非常重要。当在配准后去除离群值以计算KS统计量时，归一化IP算法不仅表现出最佳性能，而且KS统计量的最大降低与图3中的目视检查一致。归一化信息势算法在任何变换类型和噪声水平上都能很好地执行。此外，与CDF-HC算法相比，信息势算法计算速度更快表2显示了在三组不同的数据集上，CDF-HC、Ho？lder 's、内部信息势和标准化信息势的平均计算时间，其中所有三种67031.510.50-0.5−1-1.5−2−1-0.5 0 0.5 1(a) 初始1.510.50-0.5−1-1.5−2−1-0.5 0 0.5 1(b) CDF-HC1.510.50-0.5−1-1.5−2−1-0.5 0 0.5 1(c) 持有人的1.510.50-0.5−1-1.5−2−1-0.5 0 0.5 1(d) IP1.510.50-0.5−1-1.5−2−1-0.5 0 0.5 1(e) 归一化IP21.510.50-0.5−1-1.521.510.50-0.5−1-1.521.510.50-0.5−1-1.521.510.50-0.5−1-1.521.510.50-0.5−1-1.534图4. 偏置分组非刚性配准示例。比较这四种方法：Holder's，信息势，归一化信息势和CDF-HC在奥运标志和嘈杂的鱼类数据集上的应用。21.510.521.510.521.510.5表1. KS统计量0 0 0-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（一）21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（d）其他事项21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（g）-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（b）第（1）款21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（e）21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（h）-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（c）第（1）款21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234(f)21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（一）CDF-JS CDF-HC支架IP Norm-IPCC7N/A0.06610.05550.05030.0317CC7（+输出）N/A0.05770.06350.05390.0405CC7（输出）N/A0.05560.05560.05290.0317奥运0.11030.02950.02060.01770.0177捞（出）0.13140.04620.03870.03830.0383方法比CDF-HC和CDF-JS执行得快得多表2. 运行时CDF-HC持瓣器IP标准IPCC7 252s 28s30秒31秒CC7（离群值）270年代29年代30秒31秒奥林匹克746秒74秒57s 60s鱼类（异常值）1946s131s111s117s21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（j）21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（k）21.510.50-0.5−1-1.5−2−4−3−2−101234（l）7. 结论在本文中，我们提出了一个鲁棒的算法，以模拟-图5. 不同正则化水平λ的配准结果。第一行显示λ = 0的结果配准。1使用原始的形状集合5（a），一个子采样的点集合，其被破坏为零均值和0.05标准偏差i.i.d. 高斯噪声5（b），以及使用基于子采样的噪声形状5（c）学习的参数变换的原始形状集合。类似地，行2（5（d）、5（e）和5（f））对应于λ= 0。01，以及行3（5（g）、5（h）和5（i））和4（5（j）、5（k）和5（l））至λ= 0。001，λ = 0。0001，分别。−2−4− 3−2−1012−234−4−3−2−1012−234−4− 3−2−1012−234−4− 3−2−1012−234−4−3−2−1012(f)初始(g)CDF-HC(h)持有人的(i)IP(j)归一化IP6704300个时期。结果表明，所提出的方法，霍德尔的，在形式上的潜力，和归一化的形式势，是计算量较小的我们Neously注册表示为密度函数的多个未标记的点集。我们使用了Renyisec on d d e r e n t r o p y和J e n s e n s i n qa l i ty中的对数参数，我们观察到，基于所提出的成本函数的比对集中在高密度区域，使得其对异常值的存在具有鲁棒性此外，所提出的归一化成本函数避免了对刚性变换施加约束的必要性，刚性变换可能难以设置，并且正则化非刚性变换可以处理点集有噪声的情况。这些特性源于分组配准的平均行为，其中没有点集用作参考。6705引用[1] Besl，P.J.，McKay，N.D.：一种三维形状配准方法。IEEE传输模式分析马赫内特尔14（2），239[2] Bookstein，F.L.：主要经纱：薄板样条与变形分解。IEEE Trans.模式分析马赫内特尔11（6），567[3] 陈 ， T. ， Vemuri ， BC ， Rangarajan ， A. ，Eisenschenk，S.J.：基于cdf的havrda-charvat发散的点集配准。Int. 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