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基于凸性形状先验的弹性测地线方法
6900基于凸性形状先验的弹性测地线方法大陈山东省人工智能研究院,齐鲁工业大学(山东省科学院),中国dachen.cn邮件hotmail.com让-玛丽·米雷博洛朗·D 科恩巴黎第九大学,PSL研究大学,CNRS,UMR7534,CEREMADE,巴黎,法国。cohen@ceremade.dauphine.fr戴学诚Laboratoiredemathe´ matiquesjean-marie. math.u-psud.fr数学系香港浸会大学xuechengtai@hkbu.edu.hk摘要基于Eikonal方程的最小测地线模型能够在各种图像分割场景中找到合适的解决方案。现有的基于测地线的分割方法通常利用图像特征结合几何正则化项(如曲线长度或弹性长度)来计算测地线路径。在本文中,我们考虑了一个更复杂的问题:寻找简单的和封闭的测地线,它被强加了一个凸形状的先验。所提出的方法依赖于一个方向提升策略,通过该策略,平面曲线可以被映射到一个高维的方向空间。凸性形状先验作为局部度量的构造的约束。然后,通过快速推进方法可以有效地计算提升空间中的测地线曲线。此外,我们引入了一种方法,将基于区域的同质性功能到建议的测地线模型,以解决基于区域的分割问题的形状先验约束。1. 介绍图像分割是图像分析和计算机视觉领域中的一个基本而又具有挑战性的问题。在过去的几十年中,大量的各种分割方法已经致力于解决相关的分割问题。其中,基于能量最小化的模型与目标区域的先验知识相结合,已被证明可以产生令人满意的解决方案。优先驱动的细分方法。一个广泛考虑的几何先验是假设目标边界-在欧氏曲线长度方面,ARIES看起来很短,由此可以在一定程度上抑制图像噪声。这种一阶几何先验通常用于各种基于能量最小化的分割方法,例如活动轮廓[9,10,38]和基于图形的模型[5,21]。有效的高阶几何先验可以包括曲率惩罚长度项[3,26,43]和数据驱动加权长度[32,42]。然而,利用几何规律性作为单个先验有时不足以找到有利的分割,特别是当处理具有复杂强度分布的图像时。相比之下,将形状驱动的先验结合到目标能量中的策略可以产生用于分割的更准确和有效的约束。这些先验通常通过关于目标区域或轮廓的统计模型进行[6,8,22,23,40]。形状驱动先验的实现能够鼓励令人满意的分割,即使在缺乏用于区分不相交区域的可靠图像外观特征的情况下。最近,与凸性和星形凸性相关的形状约束被认为是柔性形状先验。结合这些形状先验的现有方法可以松散地分类为离散或连续类型。在离散设置中,凸性先验[28],星凸性先验[46]或测地星凸性[29]被表征为正则化项,以与图像数据驱动项一起构建离散能量泛函能量最小化可以通过图切割算法来解决[5]。在[27,41]中,凸性先验被纳入基于图的分割框架中类刺猬形状先验[31]推广了测地星凸性约束[27],扩大了原6901⊂×个基于原始图像的测地线弹性测地线提出的测地线模型图1.图像分割结果分别来自基于区域的区域为基础的测地线模型,EM弹性测地线模型和建议的弹性测地线模型与凸形状先验。最后一个案子Isack等人。 [30]提出了一种灵活的k-凸性形状先验模型,允许不同区域之间的重叠。然而,这些具有凸性约束的基于图的方法没有考虑曲率正则化。在连续设置中,基于水平集公式[39],在主动轮廓方法[33,47,48]中通常利用具体来说在[48]中,曲率的符号被用于惩罚由水平集函数隐式表示的演化轮廓的凹部。而在[33,47]中,作者建立了水平集函数的Laplacian与其零水平线的凸性之间的关系,其中形状先验重新定义了最优曲线的搜索空间。Bae等人 [3]说明了最小化由欧拉弹性长度的L1变体正则化的能量,其用作正则化项,能够鼓励最终分割形状是凸的。然而,该模型中的凸性先验被视为一种隐式约束,这在很大程度上取决于对相应正则化项的重要性。测地线模型。 测地线活动轮廓模型[7,32,34,49]通过梯度下降方案最小化加权曲线长度来解决基于边缘的分割然而,局部最小化方案可能导致对初始化的苛刻要求以及对伪边缘或噪声的高灵敏度Cohen和Kim-mel [20]提出了一种最小路径模型,以全局最小化加权曲线长度w.r.t.在程函方程框架下的各向同性度量[7]本文主要研究具有凸性形状先验的测地线一般来说,曲线的加权长度可以通过Finsler度量来测量。许多测地线方法有助于开发各种Finsler度量,以在不同情况下生成合适的测地线路径[4,13,18,19]。Chen等人 [12,13]被引入以构建编码基于区域的同质性特征的Randers度量,弥合程函方程和基于区域的活动轮廓之间的差距。在[11,16,17]中,使用Voronoi图工具将不对称度量用于图像分割。曲率惩罚测地线模型[14,25]考虑了方向提升的思想来解决高阶测地线计算问题。使用适当的松弛,测地距离和测地路径与曲率正则化可以通过哈密顿快速行进(HFM)方法有效地估计[35]。尽管有很大的进步,只有几何先验利用现有的最小测地线方法。在图1中,我们示出了从基于区域的测地线曲线[12,13]、Euler-Mumford(EM)弹性模型[14]和所提出的具有凸性形状先验的测地线模型导出的测地线曲线的比较示例。为了弥合这些差距,我们提出了一个新的弹性测地线模型,通过整合图像特征和凸形状先验,据我们所知,这是原始的。总之,我们的工作有三方面的贡献:首先,我们引入了一种新的弹性测地线方法,该方法引入了凸性形状先验的约束。通过曲率的符号对测地曲线的凸性进行限制,并将其编码为一种新的在方向提升空间中建立的测地度量。其次,我们讨论了简单闭和凸测地线的计算方法。在数值考虑中,我们采用HFM方法[35]作为数值求解器,其中模板由具有凸性形状约束的建议测地线度量自适应地生成最后,在所提出的测地线模型中考虑了基于区域和基于边缘的特征该模型可以融合凸性形状先验、曲率正则化和基于区域的均匀性特征的优点此外,我们提出了一种有效的方法,以incorpo率用户干预的测地线路径的计算和交互式图像分割。本文件的结构如下。第2节给出了弹性测地线模型和Eikonal活动轮廓模型的背景。在第3节和第4节中提出了具有凸性形状先验的新的弹性测地线模型。实验结果和结论分别在第5节和第6节中给出。2. 背景符号。设M:= ΩS1是一个方向提升空间,其中ΩR2是一个有界区域,S1:=R/2πZ可以用[0,2π]来表示,并配有一个周期性边界条件. 点x=(x,θ)是由物理分量x和角坐标θ组成的对。对每个x∈M,我们用x=(x,θ)∈R2× R表示一个切向量6902×个+EMDD∈→我我∈我0∈∫F × →∞O∈DGG G∈XGD2X8θ角θ角X21≤i≤I我我+x如果x∝θ,1≤i≤Iρi我EM 1ei+O(h).(十二)EM 12EM 1Σθ θ2 2 2Σρ。Σ在x。在下文中,我们使用符号E:=R2R来表示M在任 意 基 点 x 处 的 切 空 间 。 另 外 , 我 们 用 a+ :=max{0,a}表示式中,ξθ=(cosθ,sinθ)T是与θ∈S1相关的单位向量,L_EM与L_EM的等价性由下式(3)得出:设实数a∈R,并设条件a2:=(a+)2.2.1. EM测地线模型曲率表示的方向提升。所提出的具有凸性形状先验的模型部分建立在曲率惩罚测地线模型上[14,25,35]。这些模型的基础是使用方向提升来评估曲率。考虑平滑曲线γ:[0,1]→Ω,具有非零速度1。则存在唯一的η:[0,1]→S1,对所有的Q∈[0,1]γ′(Q)=(cos η(Q),sin η(Q))Tγ′(Q)。(一)换句话说,η(Q)编码γ(Q)处的切线方向。由等式(1)定义了定向提升曲线Γ=(γ,η):Q∈[0,1]→Γ(Q)∈M,(2)曲率κ。 为了计算最小测地线一条从源点p∈M到目标点x∈M的曲线,我们首先估计一个测地距离映射Dp:M→[0,∞)Dp(x)= inf{L (r);s.t. Γ(0)=p,Γ(1)= x}。在下文中,我们省略距离映射:=p对源点p的依赖性。 该映射是基于模型[35,44]的哈密顿HEM的H(dD(x))=ψ(x),x∈M\{p},(6)其中D(p)= 0,出流边界条件为M,其中dD是D的微分。哈密顿量HEM由度量FEM通过Legendre-Fenchel对偶H(x)=。x∠x,∠2+θ2Σ2,(7)其一阶导数定义为Γ′(Q)=(γ′(Q),η′(Q))E。另外,曲率κ:[0,1]R平滑曲线γ的值如下对任意基点x=(x,θ)∈M和任意余切向量torx=(x,θ)∈R2×R.可以导出HEM的一个等价的积分表达式HEM(x)=3∫π/2 。xXκ(Q)=η′(Q)/γ′(Q)。(三)8−π/2θ+(八)我们称γ为Γ的物理投影。Euler-Mumford弹性肌入路在文献[14]中,作者引入了一个带曲率惩罚的加权曲线长度,对于光滑曲线γ使用积分的Fejer求积规则和离散几何的技术,可以得到近似[35]。H(x)=ρx,e +xO(ε),(9)其中I是正整数,ρθ≥0是非负的LEM( γ):=∫1ψ(γ(Q),η(Q))(1+β2κ(Q)2)γ′(Q)dQ.与θ相关的权重,且eθ整数分量,对于所有1≤∈Z3是一个偏移量,其中不超过0参数βR+具有曲线半径的尺寸vature,并调节曲率惩罚的强度为了简单起见,并且直到重新缩放参数,我们假设一. 建筑[35]涉及弛豫参数ε >0,在实践中选择为ε= 0。1,其中I= 30偏移。结果得到程函方程(6)的有限差分离散在本说明书的其余部分中β= 1成本函数ψ:M-R+是取向依赖性的,并且由下式导出:θ角D(x)− D(x−heθ) 二个1≤i≤Iih+=ψ(x)2,(10)图像梯度[14]。 LEM的一个缺陷是它的特征在于γ的二阶导数,隐式地通过曲线实际κ,并且因此不直接服从于经由最优控制方法的全局因此,使用取向提升(2)定义等效能量L_EMLEM(Γ)=1ψ(Γ(Q))FEM(Γ(Q),Γ′(Q))dQ,(4)哪里EM:ME[0,]是针对任意点x=(x,θ)定义的芬斯勒度量M和任何非零向量˙具有一致性误差(h+ε2),其中h >0是网格尺度。(10)的数值解可以精确地为由HFM方法[35,37]估计,见第4节。一旦地图被估计,从源点p到任何目标x的测地线可以通过在时间上向后求解简单的ODE来回溯。即一套(T)=x,其中T=(X)是到达时间,并且′(Q)=V((Q))对于所有Q[0,T],其中测地线用符号和数值方法得到流VdHEMx=(x,θ)∈E如下V(x)=Xdx(dD(x)),(11)。联系我们FEM(x,x)=Γ(五)=6903Σθ。D(x)−D(x−heθ)ΣθH+∞,否则,[1]非零速度假设隐含在下式中。然后可以重新参数化G以生成新的测地线定义在范围[0,1]上的路径Gp,x。6904∈ C→F√∈∈⟨ ⟩ ǁ ǁ我。Σ转转- ∈我C≈ LC∈我H0度量张量2e0M(C)ρ~θ=ρθ(0,0,1)T>≥0ρ〜θ=0X8θ角20ˆ+UC∫C2.2. 基于区域的Eikonal活动轮廓模型我 们 简 要 回 顾 了 基 于 区 域 的 Eikonal 活 动 轮 廓( EAC )模 型[13 ,15],本 文使 用该 模型 构建Eq.(五)、我们从一个典型的活动轮廓能量开始,该能量由基于区域的同质项Er和正则项EeE(C):=µEr(C)+Ee(C),(13)其中μR+是权重参数,并且:[0,1]Ω是逆时针顺序的闭合轮廓。分量Ee是与Rieman相关的加权曲线长度。年度量,形式为E()=1′(Q)dQ. 的M 在 这 里 从 图 像 梯 度 导 出 并 且 使 得x,M(x)x 为xM(x)是l o w[14],如果一条边以切线x R2通过点x Ω。基于区域的泛函Er测量每个区域中的图像特征的同质性在本节中,我们采用具有高斯混合的区域竞争模型[50]-3. 具有凸性先验的Elastica曲线定义1一个简单的平面闭曲线γ,光滑的和参数化的逆时针顺序,被称为凸的,当且仅当它的曲率κ在方程1中。(3)非负性。3.1. 具有凸性形状先验的我们在第2.1节中介绍了EM弹性路径长度LEM,我们使用方向提升(2)和等式中的合适度量EM重新表示。(五)、全局最优测地线可以通过使用有限差分方案(10)求解涉及合适的哈密顿算子(7)的一般化Eikonal PDE(6)我们在这里采取相反的路线,从修改的有限差分方案开始-这确保了我们的方法是实用的-一直回到嵌入曲率是非负的约束的弹性度量的变体,与定义1一致。修改后的方案如下真实模型(GMM)作为一个例子来制定项ErΣρ~θ。D(x)−D(x−heθ)Σ2=ψ(x)2,(16)Er(C)=∫R1ξ1(x)dx+∫R2ξ2(x)dx,哪里1≤i≤Ii如果H+得双曲正弦值.其他-其中R和R是在C内部和外部的区域,re-我我我1 2明智地,对于所有1≤i≤I。不包括有限差分偏移分别为。函数ξi:ΩR测量每个区域Ri内的图像均匀性。在本文中,我们使用高斯混合模型来计算每个ξi,其中概率分布函数(PDF)Pi(z; Θi)被视为N个高斯PDF的加权和 在这种情况下,有ξ i(x)=logPi(f(x); Θi),XΩ,其中Θi是GMM的参数,f:Ω Rd是d= 1的灰度图像或d = 3的彩色图像。在EAC模型[12,13,15]中,关键成分是使用斯托克斯定理将能量(13)表示为加权曲线长度。换句话说,E()EAC()+c,其中c是常数,并且其中如我们在这里所做的并且与原始方案(10)相比,其第三分量是n ∈ g的eθ确保了作为x=(x,θ)M的第三分量的角度θ随着波前传播而不减小。让我们强调,修改的有限差分方案足以通过直接适应测地线流(11)(特征在于C和ρ~θ)。因此,下面的计算仅旨在提供对所求解的PDE的性质和通过该方法全局优化的测地线模型按建设,与LEAC(C)=∫1。C′M(C)+μω(C),C′ΣdQ.(十四)在等式(9)和(10)中,修改的方案对应于哈密顿表示向量场ω:U→R2定义在一个开且⊂HC(x)=1Σρ~θx,eθ 2+x2O(ε2),(17)有界子区域UΩ。如[12,15]中所示,它被获得为解以下线性偏微分方程问题min∫ω2dx,s.t. U上的curlω=ξ1−ξ2。x21≤i≤Ii i+其中x=(x,θ)∈R2×S1和x=(x,θ)∈R2×R. 当I→∞,ε→0时,得到了一个精确的积分表达式加权曲线长度(14)是Randers的一个实例几何,由非对称度量定义HC(x):=3∫π. x(十八)R(x,x)=xM(x)+μω(x),x。(15)如在[13,15]中所讨论的,可以确保R的正性注意,在Eq.(18)从0开始,而不是H EM中的−π。通过引入极坐标,得到C 2C通过使用足够小的子区域U,或调用从ω诱导的新向量场。计算(14)的极小化器690580+Hx(x)=rk(φ),其中(x,θ,θ)=r(cosφ,sinφ),可以通过数值求解具有Randers各向异性的程函方程来实现,从而导致活动轮廓能量的鲁棒最小化过程(13)[12,13,15]。其中r >0且φ∈[−π,π],其中kC读作kC(φ):=3∫ π/2(cos(− φ))2cos d。69060.20.40.60.81.0我⟨⟩∈ ×∈2∈81 +cosφ+2 cosφsinφ−−8(9sθ2+s3+(s2−如果0 ≤2θ≤ s。总曲率。光滑的全曲率K(γ)θ角0.40.20. 0s-0.2-0.4图2.左:当eθ,(0,0,1)T时,具有虚线箭头的(10)和(16)的有限差分模板0<的情况。右:EM弹性模型的切线空间中的单位向量,以及具有凸度优先的变体。 所有(s,θ)的集合,使得FC(x,(sθ,θ))=1(solid线),并且对于FEM(虚线)也是如此区别的情况下,我们得到了封闭形式的表达式kC,因此也是修改的哈密顿量HC,如下0ifφ∈[−π,−π],22π(a)(b)第(1)款图3. a和b:黑色虚线和箭头表示光线z−−p和(cosθp,sinθp)T的方向,相对于ively。图(b)中的红色和蓝色曲线区域是涂鸦。CG模型。在初始化阶段,我们利用两个点p=(p,θp)欧姆s1和zΩ以设置CG方法[2],其中p被放置在目标区域的边界上,具有切线方向θp,并且z是目标区域内的点。 此初始化允许用户kC(φ)=122 cosφ+2 cosφsinφifφ∈[−π,0],如果φ∈[0,2],引导图像分割简单可靠方式从z发出的射线(半直线)通过-ing到p用zp Ω表示。见图3a在哪里1 + cos2φ+ 2 cosφifφ∈[π,π],度量FC 所提出的测地线模型可以用哈密顿量HC表示,使用p的角分量θp用箭头表示(cosθp,sinθp)T.我们考虑以下翼集Φ1(z−−p),其中曲线γ:[0,1]→Ω,具有C2-正则性。Le gendre-Fenchel对偶:1FC(x,x)2=maxx{x,x−HC(x,x())考虑一个非零向量x=(x,θ)∈EΦ1(z−−p):=γ;Indγ(z)0,γ(0)=γ(1)∈z−−p,γ(Q)∈/z−−p,Q∈]0,1[Σ,(19)并表示s:= x,其中FC(x,x)2=+∞,如果θ0或x/∝θ,<(s3其中Indγ(z)是γ绕点的缠绕数z. 一条曲线Φ1(z−−p)在构造上是封闭的,并包围了点z,如图10所示。其中γ显示为红色实线。与[2]中一样,射线z−−p是tak en作为断开域Ω中z−−p的两个o侧的切口,2 2如果4(s-2sθ+ 2θ),0≤θ≤s≤2θ,允许有效地跟踪闭合的测地线路径。27θ3θ)2),曲线γ∈C2([0,1],Ω)被获得为226907FFFGCLGC∝∈→路径长度L_C与F_C相关联,类似于等式(4)因此0。Σ如所预期的,度量C向vec分配无限的成本其角速度分量θ为负。的K(γ)=∫1κ(Q)γ′(Q)dQ=∫1η′(Q)dQ,(20)对于曲率κ取负值的曲线为无穷大。注意,FC和FEM在0≤s≤θ范围内重合其对应于曲率κ=θ/s≥1。所有(s,θ)的集合使得FC(x,(sθ,θ))= 1,FEM也是如此,如图所示。二、3.2. 凸测地线目标是检测简单的闭合和凸曲线来描述目标边界,其由(2)定义的方向提升=(,η)是C的最小化者。为此,我们引入了一种方法,将圆形测地线(CG)模型[2]和总曲率集成到与C相关的测地线距离的计算中。具体地,CG模型确保获得闭合测地线,而总曲率上的界限消除了其物理投影C具有自相交的曲线。其中κ是曲率(3),η是取向提升。ing(1).如果曲率κ是非负的,则性质en-由我们的测地度量C确定(见3.1节),则K(γ)与γ的绝对曲率一致。 我们让Φ2:=γ∈C2([0,1],Ω); K(γ)= 2π.(二06908十一)注意,当γ:[0,1] Ω是平滑的时,K(γ)2πZ闭曲线,使得γ′(0)γ′(1)。测地线路径的搜索空间。的搜索空间测地线路径,对于物理投影是sim-多闭凸曲线,通过结合CG模型的约束,规定的总曲率,并且具有非负曲率。命题1考虑光滑曲线γ:[0,1] →Ω其中曲率κ:[0,1]-R。则曲线γ是简单的,6909∈D•←∈•简体中文0∈我{···F- -- -∈\∩×F ∞ ∈∈Σρ~h−(λ−D(yi))我算法一:测地距离估计输入:源点p和集合S结束。输出:测地线距离图D。1·设D(p)= 0且D(x)= ∞,x∈Mh\{p}.2设置S(x)T_r_al和K~(x)=0,xMh。3构造邻域N,并设置xmp。4whilexm/ Senddo5在所有试验点中找出最小化u的xm。6SetΞ(x)←Accepted.7使用等式(24)更新K~(xm)8如果K~(xm)≤2π,则对于每个yN〜(xm)s. t. S(y)=Trialdo图10通过求解逆风来更新(y)方程(23)的离散化。还有11个12D(xm)←∞。自适应模板构造。HFM方法的名称来自程函方程的哈密顿量的特定表示或近似,作为正部分的平方和,类似于等式(1)。(9)或有时稍微更一般[37]。至关重要的是,该表示必须仅具有非负权重和具有整数坐标的偏移,如等式(1)中所示。(九)、它的设计构成了HFM方法的主要起源,但在本文的范围之外。根据哈密顿算子的原始形式,可以采用中间重构,例如从(7)到(8),以及来自离散几何的各种工具,如Voronoi本文与文献[35- 37 ]的不同之处在于,我们从数值格式(16)出发,并由此导出哈密顿量H_C和度量F_HFM方法计算数值方案(16)(或类似地(10))的数值解D:Mh-R +。为此目的,当适当时,在一点处的值D(x)封闭且凸,并包围该点∩ Φ2且对任意Q ∈ [0,1],κ(Q)≥ 0.z,如果γ∈Φ1(z−−p)通过局部求解程函方程的迎风离散化来更新x M h。换句话说,利用(16)的符号,我们设置D(x)←λ,其中λ服从测地线路径的搜索空间定义为Φp:={Γ=(γ,η);γ∈Φ1(z−−p)∩Φ2,Γ(0)=Γ(1)=p}。θ2 2I+i∈I(x)=ψ(x)2,其中yi:=x−he θ,(二十三)我们的数值方法被设计来提取测地线路径Gp,它是问题并且其中(x)1,1,1是有效索引的集合。在等式中求解λ(23)是一个简单的操作。G= arg min{∫ 1 ψ(Γ(ρ))FC(Γ(Q),Γ′(Q))dQ}.(二十二)注意y是θ角是笛卡尔网格hZ3的一个点,因为均p0Γ∈Φp若集合e i具有整数坐标,则对任意y1≤i≤I. 然而,在两个条件下,i从I(x)中移除:(i)如果有限能量下的取向提升曲线Γ ΦpC(Γ(Q),Γ′(Q))<、Q[0,1],通过C的构造,它既包含了提升性质(1),又包含了γ的曲率的非负性。备注。所提出的模型允许用户在目标区域的内部和外部提供涂鸦可以从内部涂鸦中随机选择点X,产生分段[z,x]。线段[z,x]和涂写用作障碍物,使得不允许曲线通过它。此外,我们可以从每个单独的外部涂鸦中采样一个点y,从而得到一个线段[y,q],其中qΩ是一个边界点,使得向量z y与y q成比例。然后,该外部涂鸦和线段[y,q]形成新的障碍。我们在图中说明了这些障碍。3b由红色虚线表示。4. 哈密顿快速推进求解器HFM方法[35- 37 ]是广义程函方程的最先进的数值求解器。它期望在笛卡尔网格上离散化的域,Mh:=(ΩhZ2)(hZ2πZ)M的子集,其中h= 2π/Nθ,Nθ为离散方向的数量。6910×个D∈D联系我们{∈I}∈DD∞∈yi位于域Mh之外,它实现了流出边界条件,以及(ii)如果线段[x,yi]与2相交,则w都是z−pS1,其实施封闭性条件(19)。请注意,第(ii)点是专门为CG模型开发的我们让N(x):=yi;i(x)表示x处的模板,并且N~(x):=yMh;xN(y)反转的模板。单遍HFM算法。在初始化阶段,HFM方法将每个网格点XMh标记为试验。我们设定测地距离(x)=对于所有网格点xMhp并设置对于源点,(p)=0。 在波前传播期间,HFM方法在所有试验点中找到具有最小距离值的点xm该点xm立即被标记为接受。然后对于每个点yN~(xm)的反相邻域,通过求解程函方程(23)的迎风离散化来更新tance(y),仅考虑与先前接受的点对应的值计算总曲率。在[24]中,作者介绍了一种有效的方法,可以同时2We allo w the intersection between[x,yi] and−z−p×S1 for the casex∈−z−p×S1,向量yi−x指向−z−p×S1的左侧。6911~。⊂C我F×个∈∈⊂D∞LID~D0θ角M(x)θ角+图4.与模型的定性比较[28]。原始图像显示在第1列中。第2列和第3列中的分割分别来自[28]和所提出的模型累加计算源点p与任意目标点x之间的测地线距离和欧氏距离。因此,可以估计每个测地线路径的欧氏长度,而无需回溯这些路径,这减少了计算时间。本文采用文献[24]的方法,同时计算了测地线Gp,x=(γ,η)到达点x的长度D(x)=LC(Gp,x)及其全曲率K(x)图5.与EAC模型(第1列)和原始elastica模型(第2列)的定性比较。第3栏中的结果来自所提出的模型。导致的可能性集成的区域均匀性功能和曲率正则化跟踪测地线路径。然而,这样的解释不是我们在这篇文章中所做的,而是选择指数成本ψ(x,θ)=exp(αR~(x,θ)),x∈U,∞,否则且β>0,其中R~(x,θ)定义为K~(x):=K(γ)=∫1η′(Q)dQ。ǁϑǁµ⟨ϑ , ω(x)⟩为此目的,我们注意到,总曲率图K~max(x~,θ~)∈Mθ~M(x~)maxy∈Uω(y)服从线性偏微分方程,涉及测地线流矢量场V:M→R2×R用于测地线回溯(11)其中V3:=(0,0,1)T,V。此外,数值方法产生测地线流(11)的简单和内在近似,其形式为成本函数的这种构造在实践中被证明是非常有效的。注意,子域UΩ应该被理解为测地线路径的搜索空间,使得任何测地线曲线Gp=(Cp,ηp)服从Cp(Q)∈U,Q∈[0,1]。直到曲线演化方案,目标是产生序列(j)j≥0的测地线曲线,其解决问题(22),以及第j次迭代的子区域UV(x)=Σi∈I(x) τie θ+O(h),记作(23)。定义为Cj−1的管状邻域。该ini-因此,使用迎风有限差分格式因此,要求C0曲线简单、闭合、凸。。ΣτΣK~(x)= ΣτK~(y)+hV(x)+O(h2)。由于基于边缘的特征独立于演化特征,因此,基于边缘的特征可以被称为基于边缘的特征。CC我i∈I(x)i i3i∈I(x)(二十四)对于曲线j,这样的初始曲线0可以使用仅基于边缘的特征,通过使用ψ(x,θ)=当点x被接受时,我们使用这个线性方程并省略O(h2)项来求解K ~(x)。对于所有i∈exp(αθM(x)/max(x~,θ~)∈Mθ~M(x~)),x∈Ω。计算时间。 对于给定的度量C和给定的网格Mh,计算复杂度由(x)使得τi>0,则有(x)>(yi),因为yi以前接受过。如果K(x)的值>2π,则我们设置(x)=以避免自交叉问题。在算法1中,我们总结了用于计算测地距离图u的HFM的这种变体。当任意端点xeS端是标记为Accepted,其中集合S结束Mh收集所有p=(p,θ p)Mh在z−−p的正确侧的近邻S1. 所需的测地线路径,定义在方程。(22),然后由等式(Eq.)回溯。(十一)、成本函数的计算。Eq. 可以在2.1节的框架中通过选择成 本 ψ ( x , θ ) =R ( x , θ ) 和 β= 0 来 解 释 公 式(14)。这R~(x,θ)=。6912×× ×各向异性比[35],其由弛豫参数ε确定。我们报告图的运行时间。1与ε= 0。1,其中网格的大小为346599六十岁。CPU实现的HFM方法在合适的停止标准下需要大约38秒,而GPU实现的数值求解器需要大约2秒。5秒5. 实验结果在这一节中,我们将说明使用凸性形状约束和曲率正则化进行交互式图像分割的优点。在下面的实验中,我们提供了目标区域内的涂写,并且6913源位置p与切线(cosθp,sinθp)T的关系来建立所提出的模型。因此,原始点z被获得为涂鸦和源位置的并集的凸包的重心点。图4中,我们说明了与基于图的模型[28]的定性比较在第1列中,我们示出了具有涂鸦(蓝色和红色曲线区域)的原始图像[1],以及具有给定切线的源位置,其中青色点表示源位置p。青色箭头与(cosθp,sinθp)T正共线。 每条红线代表点z和边界Ω之间线段的小邻域。这些涂鸦被视为模型[28]的输入。图4,我们可以看到,从所提出的模型分割可以准确地捕捉到所需的边界。相比之下,[28]的分割区域似乎是凸的,但未能描绘目标。在图5中,我们将所提出的模型与最先进的测地线模型进行比较。具体地,来自EAC模型[13,15]、EM弹性模型[14]和所提出的模型的分割结果分别在列1至3中描绘。青色点和相应的箭头表示源位置和正切。蓝色曲线区域表示目标区域内的涂鸦。对于EM elastica模型,仅使用基于边缘的特征进行分割。从这个实验中,可以指出,只有所提出的模型能够找到合适的分割结果。我们还评估了43张CT图像的定量比较[45],其中测试图像的目标区域近似凸。为了说明所提出的模型,编码凸性形状先验和曲率正则化的优点,我们添加高斯噪声到每个测试图像。这些CT图像的两个示例在图的底部示出。六、利用Jaccard指数对EAC模型、EM弹性模型和本文提出的在这里,我们只利用基于边缘的成本函数的EM弹性模型。来自所考虑的模型的Jaccard指数值的箱形图展示在图1的顶部。六、再次,我们观察到,所提出的模型实现了最佳性能之间的比较方法。在本实验中,我们只利用点z和p=(p,θp)作为初始化,建立了EAC和EM弹性模型。每个测试图像的点z被取为目标区域的重心点。每个源点p是从真实边界随机选择的,而角坐标θp被设置为p处边界的逆时针切线。6. 结论在本文中,我们展示了整合凸性形状先验,EM弹性项和区域的可能性。图6.上图:EAC模型、EM弹性模型和所提出的模型的具有高斯噪声的43个CT图像上的Jaccard指数值的箱形图底部:CT图像的两个示例上的分割,其中列1至3分别示出了来自EAC模型、EM弹性模型和所提出的模型的结果基于均匀性特征的简单闭曲线和凸曲线的计算。一个主要的贡献在于在引入一个变种的原始EM弹性哈密顿,以诱导新的非对称测地线度量编码的凸性形状约束。作为第二个贡献,我们引入了高效的数值解计算的基础上HFM方法,其物理投影曲线是简单的封闭和凸的方向提升测地线曲线。实验结果表明,该模型确实取得了较好的分割效果。确认本 工 作 得 到 了 国 家 自 然 科 学 基 金 ( NO.61902224 ) , 由 法 国 政 府 在 Agence Nationale de laRecherche的管理下,作为“未来投资”计划的一部分,参考ANR-19-P3IA-0001(PRAIRIE3IAInsti-tute),通过新的AI项目实现QLUT(NO. 2020 KJC-JC 01)和泰山青年学者(编号tsqn 201909137)。Tai获GRF项目HKBU-12300819 、 NSF/RGC Grant N-HKBU 214 -19 和 RC-FNRA-IG/19-20/SCI/01支持。6914引用[1] S. 阿尔珀特M.Galun,A.Brandt和R.巴斯里基于概率自底向上聚合和线索整合的图像 IEEE Trans. 模式分析马赫内特尔,34(2):315八个[2] B. 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