无网格局部Petrov-Galerkin方法模拟非定常不可压粘性流体流动

Journal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，501埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems用无网格局部Petrov-Galerkin方法模拟非定常不可压粘性流体流动C. Sataprahma，A. Luadsonga，b，*a ThonburiMongkut国王科技大学理学院数学系曼谷10140，泰国b数学卓越中心，CHE，Si Ayutthaya，Bangkok 10400，Thailand接收日期：2013年2月22日;修订日期：2013年3月14日;接受日期：2013年10月8日2013年12月5日在线发布摘要本文提出了一种求解不可压Navier-Stokes方程的无网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法。为了处理时间导数，采用前向时间差产生泊松方程。采用移动最小二乘（MLS）逼近试探函数的MLPG方法在数值例子中，分别给出了规则节点和非规则节点上具有经典高斯权和改进高斯权的局部对称弱形式和局部非对称弱形式.它被发现，LSWF1与一个经典的高斯权重顺序2给出了最准确的结果。？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍二维不可压*通讯作者：King Mongkut's University of Technol- ogy Thonburi（ KMUTT ） ， Bangkok 10140 ， Thailand. 联 系 电 话 ： +6624708837。电 子 邮 件 地 址 ： chon52501409@gmail.com （ C.Sataprahm ） ，animals. lua@kmutt.ac.th（A. Luadsong）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierq本研究由以下机构资助：本研究部分得到泰国高等教育委员会数学卓越中心的支持在理论上和数值上进行了广泛的研究。不可压Navier-Stokes方程一般采用原始变量的形式，但它在速度和压力的近似上有一定的局限性。有限体积法（FVM）和有限单元法（FEM）在求解不可压Navier-Stokes方程中得到了广泛的应用。然而，众所周知，这些方法强烈依赖于网格属性。在使用这些方法计算具有不规则复杂几何形状的问题时，网格生成是比求解偏微分方程（PDE）耗时和昂贵得多的任务，特别是在三维（3D）情况下。为了克服这一问题，一种新的数值方法--无网格方法被发展起来。无网格方法是为了消除有限元法中费时、繁琐的网格剖分步骤而建立的。由于这些1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.10.002关键词MLS;MLPG;改进的高斯502C. Sataprahm，A. 卢阿松HH¼ ð Þ2X我我我我¼Hð Þ12M123M由于这些原因，无网格方法受到了广泛的关注，因为不同的作者已经介绍了许多无网格方法。其中包括光滑粒子流体力学（SPH）[1，2]、扩散单元法（DEM）[3]、无网格伽辽金法（EFG）[4]，再生核粒子方法（RKPM）[5]，有限点法（FPM）[6]、单位分解法（PU）[7]、边界节点法（BNM）[8]，局部边界积分方程（LBIE）[9]，无网格局部Petrov-Galerkin方法（MLPG）[10]，无网格正则局部边界积分方程（MRLBIE）[11]，有限云方法FCM[12]、点插值法（PIM）[13]、最小二乘配置无网格法无网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法是一种真正的无网格方法，无论是插值还是积分，都不需要任何单元或背景单元。MLPG的概念最早是由Jianguri和Zhu[10]提出的，后来在Jianguri和Shen[15]中进行了深入的讨论。这种方法与有限元法或任何其他无网格方法之间最显著的弱形式的积分是在具有简单几何形状的局部子域中进行的，因此，无论是插值目的还是积分目的，都不需要元素或背景单元。MLPG方法也不同于基于局部边界积分方程（LBIE）方法的真正无网格方法，因为MLPG方法中没有奇异积分。该方法的特点是无网格，因为分布的节点，覆盖感兴趣的区域，采用。MLPG方法近年来在计算力学中取得了显著的成功。应用MLPG方法计算对流-扩散和不可压缩湍流问题的第一篇文章是Lin和Jianguri的[16]。在他们的工作中，有两种迎风格式，2. 试探函数的移动最小二乘逼近移动最小二乘（MLS）是这些插值方案具有合理的精度之一。考虑一个子域Xx，它被定义为点x的邻域，并表示为点x处的试验函数的MLS近似的定义域。为了近似分布函数u n（x）= u（x，t n）在Xx上的任意位置的节点x i上的解，i=1，2，. . ，N.移动最小二乘（MLS）逼近un，6x2Xx，可以定义为：un¼pTxanx;8 x2Xx; 1其中p（x）是基函数的向量pTx½px;px;.. . ;p x];其中m是基函数的数目。通常使用完全单项基来保证近似的一致性，由此可以使用不同类型的多项式。根据问题，也可以采用其他类型的函数，以增强解决方案。对于本文中使用的二维（2D）情况，完全单项式基定义如下：● 线性基pTx½1;x;y];● 二次基pT=x=1/2;x;y;x2;xy;y2];其中xx;y利用Pascal三角形可以得到R2和完全二维基项。对于多项式基，项的总数与基的阶由表达式m<$l<$1 <$l <$2<$l表示，其中l为阶建造来克服对流产生的振荡n2term.他们采用迎风格式求解基于原始变量形式的不可压缩连续性问题，并在连续性方程中加入扰动项以满足Babuka-Brezzi条件。 但当这些格式用于计算高雷诺数问题时，摄动项的参数难以确定，且存在收敛困难。Wu等人的 的 基础的 向量 a（x） 包含未知系数anx;anx;anx;. . . ;anx]T;它们是x的函数，也就是说，必须对每个点x进行计算。向量an（x）由离散加权L2范数确定，定义如下：[17]将MLPG应用于用涡量流函数法求解不可压湍流问题，但未解决稳定性问题。一年后，他们应用MLPG解决了JN1/1wx½pTxnx -u^n]2;2二维（2D）不可压缩流体湍流和传热问题与基准解决方案。采用流线迎风Petrov-Galerkin方法克服振荡速度场，采用混合列式满足BabuBracka-Brezzi条件。结果表明，SUPG方法在高雷诺数下是收敛的。Sanyasiraju和Rishini[18]开发了一种局部RBF无网格格式，用于求解原始变量的非定常不可压缩Navier-Stokes提出了一种新的分数步算法来实现速度-压力解耦，并在各种情况下进行了验证。问题在本文中，无网格局部Petrov-Galerkin其中wi（x）是与节点i相关联的权重函数，wi（x）>0对于所有x在wi（x）的支持下，xi表示x在节点i处的值，N是Xx中的节点数，其中wi（x）>0。 这里应该注意的是，u^n;i1;2;。 . . ;Nin当量（2）是虚节点，而不是实节点;未知试函数unx J（an（x））的最小化导致以下方程组AxanxBx^un;3其中，XNA¼1/1本文应用MLS插值方法，发展了一种求解非定常不可压Navier-Stokes方程组的算法矩阵B定义为：B½w1xpx1;w2xpx2;w3x p x3;.. . ;wNxpxN];wixpxipTxi无网格局部Petrov-Galerkin方法503222X;k;k;kXH;l我C123N联系我们1-exp 1/2-ri=ci2k]我我Jj;l;k;k我2K我c2k1-exp½-ri=ci][]];kl;l;k我c2k1-exp½-ri=ci2k]我2ki我我我;k我向量^un包含节点xi处的数值^un<$u^n;u^n;u^n;.. . ;u^nT：MLS近似是很好的定义，只有当方程中的矩阵。（3）非单一性。从Eqs。（2）和（6）可以看出，当wi（x）= 0时，f i（x）= 0fi（x）为零，系数a（x）通过求解方程来计算。（3）导致anxA-1xBx^un：4替换Eq。（4）在Eq.（1），MLS近似得到，可以写如下：XNH我对于不支持节点x的x，i保留局部特征移动最小二乘近似已知形状函数f（x）的平滑度由基函数和权函数的平滑度确定。设C_k（X）是第k个连续可微函数的空间选项。 如果wi（x）C k（X），i=1，2，. . ，N和pj（x）Cl（X），j= 1，2，.. . ，m，则f（x）Cr（X），其中r = min（k，l）。一个数字-对于基函数，有多种选择，你好，1/1 /ixu^n<$Ux^un;8x2Xx;5权重函数本文选用二次基并且使用高斯权重函数其中U（x）是MLS形状函数对应的向量对于点x的支持域中的N个节点，可以写为Ux½/;.. . ;/]A;exp½-di=ci2k]-exp½-ri=ci2k];06d6r我0;di>ri我1 2 3N其中di=ix-xi，ci和k是控制形状的常数并且fi（x）是与节点xi相关联的形状函数，而计算方法为本M权函数wi（x），ri是支撑的大小域支持域的大小应该很大，以便有足够数量的节点覆盖在定义域中。/xXA-1：Bð6Þ每个采样点（nPm）的初始化，以确保规则性矩阵A。 高斯权重函数具有一个特殊的形状函数fi（x）的导数可以通过直接微分方程（1）获得。（6）作为在该特性中，可以通过操纵常数ci来控制相对权重。当ci减小时，在接近x的点xi上获得更高的权重，/i; k¼M第1页½pj;kA-A-1BJ.P.J.A-1B;kA-1B];100%远离x的点上的较低权重将从x移除，反之亦然。如果权函数wi（x）与其一阶导数一起连续，则形函数fi（x）将其中，A-1<$A-1<$A表示下式的倒数的导数：A关于xk=x（或y），由下式给出：A-1¼-A-1A;kA-1：1800与其第一阶导数一起连续。指数权函数具有无限连续性。高斯权重函数wi（x）的一阶导数可以计算为：（-2kx-xid2k-2exp½-di=ci2k];06d6rfi（x）的二阶偏导数如下获得：wi;x联系我们c2k1-exp½-ri=ci2k]i i;12/i; kl¼Mpj;kl第1页A-1B型jpj;k A-1B;l并且，在本发明中，0;di>ripJ（-2ky-yid2k-2exp½-di=ci2k];06d6ri;y我p; 2009年0;d>r与差值-1 1/4-A-1A;1A-1A;kA-1-A-1A;klA-1A-1A;kA-1A;1A-1：对于di等于零的情况，wi（x）的一阶导数可以写为：;klð10Þwi;x联系我们i;y电话：021-8888888类似地，权重函数的二阶导数可以是计算为（-2kd2k-4exp1/2-xdi=cin2k]h-2kx-xin2d2kx-xi n2d2i;d6r并且，在本发明中，我纪i;11第1页纪纪我我W联系我们：1313纪我我wi;xxxi;15纪纪（纪504C. Sataprahm，A. 卢阿松我C我c2k1-exp½-ri=ci2k]我2ki我我我0;di>ri（-2kd2k-4exp1/2-xdi=c1/2k]h-2k-2 xdy-yi = c1/2 k]h-2k-2xd-y i =c1/2 k] h-6r0;di>riwi;yyi：1600无网格局部Petrov-Galerkin方法5052Kn- 是的n-u-vfx@t¼Re@x2@y2-u@x -v@y-@xfx;18¼F- Dt@x;124mvn1-v n@u@F@p¼þ1@vn@vn@vn@vn@pnn110.90.90.80.80.70.70.60.60.50.50.40.40.30.30.20.20.10.100 0.2 0.4 0.6 0.8 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1图1示例1的节点分布（11· 11个节点）。同样，对于di等于零的情况，wi（x）的二阶导数可以写为：其中x =（x，y）T，u n= u（x，t n）并且v（n）= v（x，t n）。（18）和（19）在时间水平n，得到，-2\f25kexp½-d=c]一个一个1 .一、@%2%n@2个月@un@un@pnwi;xxxwi;yyxc2k1-exp½-r=c2k]：17Dt¼Re@x2@y2-u@x-v@y-@xfx;我我我2001年。@%2%nRe@x2@2un@un@un@y2@x@y3. 问题公式化在方域X=[0，1]·[0，1]中，非定常不可压缩粘性流体的控制方程是两个让，@pn-Dt@x：2001年。@%2%n@2un@un@unn三维对流项中的元数方程，即，非保守形式。这些方程可以写成：Fn un DtRe因此，我们认为，@x2 在y2时，-u@x-v@yfx：1230@u1.@2u@2u@u@u@pn1n@pn@v1.@2V@2伏@v@v@p和@t¼Re@x2@y2-u @x-v @y-@y f y;19。22ΣDt¼Re@x2@y2-u@x -v@y-@yfy;@x轴@y轴1/2;其中u和v分别是x和y方向上的速度。1@2v nvn1vnDt@2vnþ@vn— u@vn— vfα-Dt@pn：p是压强，fx和fy是体积力，Re是雷诺数。等式（18）和（19）是动量方程和方程。（20）是连续性方程。束缚-让，Re@x2@y2@x@yy@y可以假设各种条件为：GnvnDt1@2vnð@2vnþ-u@vn@vn— vf250万u<$u<$; v<$v<$; p<$p<$在Cu;21上Re@x2@y2@x@yy@u@nqu <$q<$u;@v@nqv <$q<$v;@p@nqp <$q<$p对 Cq;22因此，在本发明中，vn1¼ Gn-D t@pn ：1260式中，u<$;v<$;p<$;q<$u;q<$v和q<$p是规定的电位和正常的X。Cu和Cq是C的子集，满足Cu\Cq= /@y从Eqs。（24）和（26），我们得到和Cn[Cq=C.4. 时间导数的离散化及其算法n1n2n@x 1/4@x-Dt@x2;127 mmnΣn我我所有这些衍生物的思想都可以在[19]中找到。þun1 unD tu@u@vΣ506C. Sataprahm，A. 卢阿松@vn1@Gn@2pn为了处理时间导数，@y¼@y-Dt@y2：128秒就业。对于本文，以下近似值被写为：替换Eqs。（27）和（28）的方程。（20），方程可以写为：@u@tx;tn'@vun 1x-un xDtvn1- vn@un1@x@vn1@y<$0;290@tx;tn'并且，在本发明中，;无网格局部Petrov-Galerkin方法507- 是的nnn@pn[@ x2@y2 ¼Dt@x轴@y轴布拉夫：n@pn@ x2@y2 ¼Dt@x轴@y轴Σ苏一部分的边界oXs的Xs，在其上的本质界限-Σ¼-1速度场0.90.80.70.60.50.40.30.20.110.90.80.70.60.50.40.30.20.1压力等值线000.20.4 0.60.81000.20.4 0.60.81XX图2例1中LSWF1在Dt= 0.10处规则节点上的速度和压力的数值解速度场10.90.80.70.60.50.40.30.20.110.90.80.70.60.50.40.30.20.1压力等值线00 0. 2 0. 4 0. 6 0. 81X00 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1X图3例1中LSWF1在Dt= 0.10处不规则节点上的速度和压力的数值解@2pn@2pn1.一、@Fn@Gn当量（30）是具有非零源项的泊松方程。数值实现从方程描述的过程。（26）1.计算中间速度场，使用5. MLPG方法与局部弱形式本文在整体区域X内的局部子域Xs上构造无网格局部Petrov-Galerkin。局部子域Xs被用于 是圆还是圆的一部分一个广义局部弱形式Eq. （30）在一个地方分公司─主Xs，可以写为1 @%2%nFn unD t@%2%nþ@un— u@un— vf;Z -是的@2pn@2pn1 .一、@Fn@GnRe@ x2@y2@x@yx@x2@y2-Dt@x轴@y轴wdX2001年。@2vnRe@x2@2vn@y2@vn@x@vnXsZZ .Σn-pwdC -awdCC平方@n-q<$2. 求解压力泊松@2pn@2pn1.@Fn@Gn¼ 0 ð31Þ其中p是试验函数，w是测试函数，C是a具有边界条件pnjC<$p<$and。@nCq四分之一。各种条件都有具体规定。一般来说，o Xs= CsL s，其中Cs是位于全局边界上的局部边界的一部分3. 将速度场更新到第（n+1）个时间级别，@pnun 1FnDt;@xYYYY：300万Gn vnD tþ-u-vn@yy-一个C苏布吕普;u508C. Sataprahm，A. 卢阿松n而Ls是局部边界的另一部分，在其上没有指定边界条件，即， Cs=o Xs\C，Cs=oXs-Ls。 由方程式 在等式（31）中，a是惩罚参数，a1是vn1@pn¼G-Dt@y：用于施加本质和自然边界条件。在本文中，a = 10 12的值给出了良好的结果。无网格局部Petrov-Galerkin方法509Z¼Z轴-@x@x@y@y@x@x@y@y@x@x@ydX-@nwdC@x轴@y轴.@pn@w@pn@w@p@w@p@wþ@pwdCp wdC@nwdC×Fn1w@XsXs@x@yH.- 是 的我是阿吉 ΣXs@x@yDt表1示例1中规则节点上LUSWF每个时间步长时间（t）一种经典的高斯权函数表3时间步长时间（t）速度和压力的相对误差 在例子1中，在常规节点上的Lvector一种经典的高斯权函数euevepeuevep0.014.2592· 10-54.2590· 10-53.4783· 10-70.014.2588· 10-54.2586· 10-53.3424· 10-70.028.5312· 10-58.5309· 10-53.4435· 10-70.028.5306· 10-58.5303· 10-53.3465· 10-70.031.2764· 10-41.2764· 10-43.5868· 10-70.031.2763· 10-41.2763· 10-43.4284· 10-70.041.6959· 10-41.6958· 10-53.4960· 10-70.041.6958· 10-41.6958· 10-43.3944· 10-70.052.1115· 10-42.1115· 10-43.4503· 10-70.052.1114· 10-42.1114· 10-43.3528· 10-70.062.5234· 10-42.5233· 10-43.4535· 10-70.062.5233· 10-42.5232· 10-43.2452· 10-70.071.4623· 10-41.4628· 10-41.5057· 10-70.072.9313· 10-42.9313· 10-43.1736· 10-70.082.9315· 10-42.9314· 10-43.4568· 10-70.083.3357· 10-43.3357· 10-43.1902· 10-70.093.3359· 10-43.3358· 10-43.4326· 10-70.093.7364· 10-43.7364· 10-43.1695· 10-70.103.7367· 10-43.7366· 10-43.3986· 10-70.104.1335· 10-44.1334· 10-43.1457· 10-7表2示例1中不规则节点上LUSWF每个时间步长时间（t）一种经典的高斯权函数表4时间步长时间（t）速度和压力的相对误差 在不规则节点上的Lymphocyte在实施例1中。一种经典的高斯权函数euevepeuevep0.011.4190· 10-52.1539· 10-51.8264· 10-60.011.4139· 10-52.1700· 10-52.7453· 10-60.022.8169· 10-54.2860· 10-51.8082· 10-60.022.8094· 10-54.3101· 10-52.7201· 10-60.034.2023· 10-56.3985· 10-51.7897· 10-60.034.1923· 10-56.4304· 10-52.6885· 10-60.045.5753· 10-58.4917· 10-51.7600· 10-60.045.5629· 10-58.5313· 10-52.6658· 10-60.056.9360· 10-51.0566· 10-41.7542· 10-60.056.9211· 10-51.0613· 10-42.6377· 10-60.068.2843· 10-51.2621· 10-41.7641· 10-60.068.2672· 10-51.2676· 10-42.6139· 10-60.079.6207· 10-51.4657· 10-41.7271· 10-60.079.6012· 10-51.4619· 10-42.5878· 10-60.081.0945· 10-41.6675· 10-41.7110· 10-60.081.0923· 10-41.6744· 10-42.5622· 10-60.091.2258· 10-41.8674· 10-41.6889· 10-60.091.2233· 10-41.8751· 10-42.5411· 10-60.101.3558· 10-42.0655· 10-41.6819· 10-60.101.3532· 10-42.0739· 10-42.5122· 10-6使用双极双极晶体管@@pw@pw -@p@w和方程中的发散定理（31）导致Z .@pn@w@pn@wZ@pnXs@y@Xs其中n1和n2是边界oXs的向外单位法向量的分量，边界o Xs通常由三部分组成：内部边界Ls，边界Csu和Csq，在其上应用分别 如果oX和S阿瓜ZC苏pn wdCaZCsq@pn@nwdC全局边界C，o Xs= L s。在MLPG方法中，函数和测试函数不一定来自相同的函数空间。简化Eq.（33）我们可以--apnwdCaCsuCsqqnwdC1Dt最终选择测试函数w，使得它们在除了当oXs与全局边界C相交时，Z .@FnXs@Gn我们得到以下局部弱形式，@pn同样，Eq。（32）已更改为X@x@x@y@ydX-C苏@nwdCZ.nnZndX-ZnZ@pnXs@x@xZn@y@yZ@pn@n@ Xs @nC苏¼aZpnwdCaC平方ZqwdCZ1q'wdC-Csu1/4ap wdC普沃德·查加wdCC平方q<$wdC-DtC苏Z@XsC平方nnC平方D吨1ZnZn1×F n1wGn2wdCC苏C平方Z.@w@wZN N1×Fn GdX：34×Z .Fn@wGn@wdX;33因为，子域Xs内的试探函数ph，在MLS近似由定义域中所有点x落在n×wdC：1032磅ZZ拉瓜S一510C. Sataprahm，A. 卢阿松[1/2]我C我nnCΣFn w@x@y10平方X其中，^p^1;p^2;p^3;.. . ;p^NT，“刚度"矩阵K和”载荷"向量f的项定义为Kij¼Z .@/j@wi@/j@widX-Z@/jw dCXi@x@x@y@y我@n苏aZ/dC .@/jwdC;36@苏和Zn苏In平方ZnZn1þfi¼ap'widCaCiZ苏C平方 q'wdCC平方1Dtq<$wdC-Dt1I2我CiZN N1Fn1wi×Z .Fn@wiGn@widX：2376. 数值算例在这一节中，一些数值结果显示，以说明目前的MLPG方法解决非定常不可压缩的湍流问题的实施。为了在误差估计研究的基础上，计算了Sobolev范数i∈k在下面的数值例子中，k=0，定义为：kunum- uexactkk正合k. Z22erk¼库库其中kkk¼udX：Xs内。局部弱形式，Eq. （34）给出了一个与所有这些p^i有关的 代 数 方 程。因此，可以得到与节点数一样多的方程。因此，我们需要尽可能多的局部域Xs作为全局域中的节点数，以获得与未知数数量一样多的为了从Eq. （34），MLS近似方程。（5）用于近似检验函数w。替换Eq。（5）进入Eq。并且在所有节点上求和K·^p¼f;1035mm计算结果表明，本文提出的基于局部对称弱形式（LSWF1，LSWF2）和局部非对称弱形式（LUSWF）的无网格方法通过了所有算例。在LSWF 1的计算中，需要一个经典的高斯权函数和测试函数，这是C2函数。在LSWF2情况下，需要一种改进的高斯权函数作为试函数，且试函数和测试函数都是C1函数。对于LUSWF情况，计算需要至少为C1函数的测试函数，而试验函数，我们选择至少为C2函数的经典高斯权重函数，我们在这里称之为边界110.90.90.80.80.70.70.60.60.50.50.40.40.30.30.20.20.10.100.2 0.4 0.6 0.8 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1图4示例2的节点分布（11· 11个节点）。表6例1中不规则节点上的Lebron各时间步时间（t）一种改进的高斯权函数表5速度和压力的相对误差在示例1中，在常规节点上的Lebron的时间步长时间（t）一种改进的高斯权函数0.05 4.5635· 10-41.5634· 10-4 2. 8657· 10-70.06 1.8680· 10-41.8678· 10-4 2. 8357· 10-70.07 2.1694· 10-42.1692· 10-4 2. 7895· 10-70.08 2.4678· 10-42.4676· 10-4 2. 7719· 10-70.09 2.7632· 10-42.7630· 10-4 2. 7315· 10-70.10 3.0556· 10-42.0554· 10-4 2. 7653· 10-7CX×Is×我euevepS0.013.1488· 10-53.1485· 10-52.9851· 10-7JWI0.026.3175· 10-56.3169· 10-52.9361· 10-7Ci0.039.4546· 10-59.4538· 10-52.9129· 10-70.041.2560· 10-41.2559· 10-42.9129· 10-7euevep0.011.0561· 10-51.3191· 10-52.2247· 10-60.022.0783· 10-52.6326· 10-52.2036· 10-60.033.0915· 10-53.9330· 10-52.1825· 10-60.044.0957· 10-55.2205· 10-52.1638· 10-60.055.0910· 10-56.4953· 10-52.1386· 10-60.066.0775· 10-57.7575· 10-52.1182· 10-60.079.6012· 10-59.0072· 10-52.1000· 10-60.088.0243· 10-51.0245· 10-52.0782· 10-60.098.9848· 10-51.1470· 10-42.0564· 10-60.109.9368· 10-51.2683· 10-42.0380· 10-6无网格局部Petrov-Galerkin方法511时间步长1010.90.80.70.60.50.40.30.20.110.90.80.70.60.50.40.30.20.1时间步1000 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8100 0.2 0.4 0.6 0.8 1图5例2中LSWF1在规则节点上Dt=0.10处的速度和压力的数值解时间步长1010.90.80.70.60.50.40.30.20.100 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8110.90.80.70.60.50.40.30.20.100时间步100.2 0.4 0.6图 6例1中LSWF1在Dt = 0.10处不规则节点上的速度和压力的数值解。表7例2中规则节点上LUSWF每个时间步长时间（t）一种经典的高斯权函数表8时间步长时间（t）速度和压力的相对误差 在实施例2中，LUSWF在不规则节点上的表达一种经典的高斯权函数euevepeuevep0.012.0360· 10-22.0358· 10-22.9767· 10-20.011.2866· 10-27.2319· 10-33.0390· 10-20.022.0319· 10-22.0318· 10-22.9707· 10-20.021.2840· 10-27.2175· 10-33.0329· 10-20.032.0279· 10-22.0277· 10-22.9648· 10-20.031.2815· 10-27.2031· 10-33.0268· 10-20.042.0238· 10-22.0237· 10-22.9589· 10-20.041.2789· 10-27.1887· 10-33.0208· 10-20.052.0198· 10-22.0196· 10-22.9529· 10-20.051.2764· 10-27.1743· 10-33.0148· 10-20.062.0157· 10-22.0156· 10-22.9470· 10-20.061.2738· 10-27.1600· 10-33.0087· 10-20.072.0117· 10-22.0166· 10-22.9412· 10-20.071.2713· 10-27.1457· 10-33.0027· 10-20.082.0077· 10-22.0075· 10-22.9353· 10-20.081.2687· 10-27.1314· 10-32.9967· 10-20.092.0037· 10-22.0035· 10-22.9294· 10-20.091.2662· 10-27.1172· 10-32.9908· 10-20.101.9997· 10-21.9995· 10-22.9236· 10-20.101.2637· 10-27.1030· 10-32.9848· 10-2每个例子中所有量的初始条件都可以从精确解中求出。6.1. 实施例1该问题具有二维非定常不可压方域[0，1] · [0，1]中的非定常不可压流体流动问题的解析解，如图1所示。1.一、问题的精确解是u=x;y;t=2x2y= 1-x=2y= 1-2 y = 1 - 2y=e-t;v=x;y;t=2xy2 y = 1-x= 1-2x= 1-y=2e-t;p=x;y;t= 2x=2-y =2e-t;体力是fx;y;t2x2y1-x21-y1- 2ye-t：512C. Sataprahm，A. 卢阿松表9例2中正则节点上Lebron各时间步时间（t）一种经典的高斯权函数表11时间步长时间（t）例2中规则节点上每个Lebron一种改进的高斯权函数euevepeuevep0.011.2664· 10-31.2658· 10-31.7720· 10-30.014.2149· 10-24.0399· 10-22.9768· 10-20.021.2639· 10-31.2632· 10-31.7685· 10-30.026.4823· 10-26.2899· 10-22.9710· 10-20.031.2614· 10-31.2607· 10-31.7649· 10-30.038.7934· 10-28.7317· 10-22.9652· 10-20.041.2589· 10-31.2582· 10-31.7614· 10-30.041.1098· 10-11.1402· 10-12.9595· 10-20.051.2564· 10-31.2557· 10-31.7579· 10-30.051.3350· 10-11.4347· 10-12.9538· 10-20.061.2538· 10-31.2532· 10-31.7544· 10-30.061.5505· 10-41.7626· 10-12.9482· 10-20.071.2513· 10-31.2507· 10-31.7509· 10-30.071.7531· 10-12.1373· 10-12.9427· 10-20.081.2488· 10-31.2482· 10-31.7474· 10-30.081.9403· 10-12.5917· 10-12.9372· 10-20.091.2463· 10-31.2457· 10-31.7439· 10-30.092.3049· 10-13.1251· 10-12.9320· 10-20.101.2439· 10-31.2432· 10-31.7404· 10-30.102.8892· 10-13.7612· 10-12.9268· 10-2表10例2中不规则节点上的Lebron各时间步时间（t）一种经典的高斯权函数表12时间步长时间（t）例2中不规则节点上每个Lebron一种改进的高斯权函数euevepeuevep0.012.7759· 10-24.0519· 10-21.3411· 10-10.012.4992· 10-21.4528· 10-23.0390· 10-20.022.7703· 10-24.0438· 10-21.3384· 10-10.023.6312· 10-22.1858· 10-23.0330· 10-20.032.7648· 10-24.0357· 10-21.3357· 10-10.034.6918· 10-22.9215· 10-23.0270· 10-20.042.7593· 10-24.0276· 10-21.3331· 10-10.045.6865· 10-23.6573· 10-23.0211· 10-20.052.7538· 10-24.0196· 10-21.3304· 10-10.056.6206· 10-24.3955· 10-23.0151· 10-20.062.7483· 10-24.0116· 10-21.3277· 10-10.067.4986· 10-25.1300· 10-23.0092· 10-20.072.7428· 10-24.0035· 10-21.3251· 10-10.078.3249· 10-25.8537· 10-23.0033· 10-20.082.7373· 10-23.9955· 10-21.3224· 10-10.089.1034· 10-26.5624· 10-22.9974· 10-20.092.7318· 10-23.9876· 10-21.3198· 10-10.099.8380· 10-27.2523· 10-22.9915· 10-20.102.7264· 10-23.9796· 10-21.3172· 10-10.101.0532· 10-17.9200· 10-22.9856· 10-2给出了11 · 11上规则节点和非规则节点的计算结果，其中Dt = 0.01，Re = 100，ri = 0.55，r0= ri+0.05，ci= 4ri. 在t = 0.10时，规则和不规则节点上的速度和压力等值线的LSWF 1的数值结果示于图2和图3中。 2和3与11· 11个节点。各时间步的速度和压力的相对误差见表16.2. 实施例2泰勒衰减涡的这个问题经常用于验证模拟非定常湍流问题的数值方