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1球面约束稀疏盲反卷积YuqianZhang,Han-wenKuo†美国纽约哥伦比亚大学电气工程系美国纽约哥伦比亚大学物理系{yz2409,yl3027,hk2673,scc2134,apn2108,jw2966}@ columbia.edu摘要盲去卷积是从卷积y=a0×x0中恢复卷积核a0和激活信号x0的问题。这个问题是不适定的,没有进一步的约束或先验。本文研究其中激活信号中的非零条目被稀疏地和随机地填充的情况。我们规范化的卷积核有单位Frobenius范数和铸造稀疏盲反卷积问题作为一个非凸优化问题的领域。有了这个球面约束,在某些假设下,每个虚假的局部最小值都接近于地面真值的某个有符号移位截断。这种良性的属性激发了一个有效的两阶段算法,该算法从次优局部最小值提供的部分信息中恢复地面实况。这种几何启发的算法恢复地面真理某些显微镜的问题,也表现出有前途的性能在更具挑战性的图像去模糊问题。我们对全局几何和两阶段算法的见解扩展到卷积dictionary学习问题,其中观察到多个卷积信号的叠加1. 介绍盲解卷积的目的是恢复两个未知信号:核a0和一些潜在的信号x0,从它们的卷积y = a0 x0。 盲反卷积一般是不适定的:有无限多对信号呈现-同样的convolution 为了使问题适定,可以利用关于a0和x0的结构的先验知识。例如,基础信号x0在许多实际应用中是稀疏的:显微镜数据分析:在纳米材料的晶格中,存在随机和稀疏分布的作者感谢NSF 1343282、NSF CCF 1527809和NSF IIS 1546411的支持关于材料电子结构的关键信息这些信息的准确恢复可以促进材料详细结构的研究[4]。神经尖峰分选:神经元通过发射短暂的电压尖峰进行通信,其特征反映了神经元的重要特征。这些尖峰随机地并且在时间上稀疏地发生。神经生理学家感兴趣的是作为-签署定型尖峰推定的细胞,以及在知道他们各自的尖峰时间[7,14]。图像去模糊:运动模糊可以建模为潜在清晰图像和捕获相机运动的内核的卷积,通常假设在图像中是不变的[8]。从模糊图像恢复原始清晰图像的逆过程已被广泛研究[6,12]。许多性能良好的方法利用了观察结果,即清晰的自然图像通常具有(近似)稀疏梯度[3,13,18]。所有这些应用导致稀疏盲反卷积(SBD)问题的实例。SBD的主要算法方法涉及非凸优化1。反卷积的非凸公式可以通过几种概率形式(ML/MAP,VB等)导出,或者简单地说,从化学。例如,在图像去模糊中,内核a可以被建模为驻留在单纯形上[9,11,13,16]。从建模的角度来看,这是很自然的,但对于优化来说是有问题的:单纯形上的反卷积的自然公式允许平凡的全局最小值(对应于尖峰卷积核α=δ)[2,18],其不提供关于地面真实的信息。这个问题的实际补救措施包括利用额外的数据先验[9,16,24]或通过边缘恢复或多尺度细化[11,25]进行仔细的初始化,以避免平凡的尖峰全局最小值。相比之下,出于对MAP[1]在信号处理中,已经开发了一些问题的优雅凸松弛[1,5,15]。然而,这些方法通常需要更强的先验信息(子空间约束而不是稀疏性)或表现出次优缩放。2因为a的条目粗略地表示给定位置处的相机曝光时间的分数48944895˜~。Σ˜τ0∈Rm表示零填充的m-长度版本,:R是一个零填充操作符。它的伴随词→R˜˜˜和VB方法,[23,26]建议改为约束a具有单位Frobenius范数-即,存在于一个高维度的球体上。3这种选择可以说更适合于应用程序对于图像去模糊,可以2. 对称性与整体几何不失一般性,我们假设观测数据y是通过真实值a0∈Rk和x0∈Rm的循环卷积生成的:假设为非负,并且球体约束从模特的角度看不太自然y(a0,x0)=a0<$x0=a0x0∈Rm.(一)在 这 纸, 我们 研究 的 几何 球-0a,可以表示为a=Ia其中i:Rk→Rm0约束稀疏盲反卷积 我们的目标是-0 0阿姆克理解基于非凸优化的简单算法何时可以精确地恢复卷积核A和X。这个目标是由上述应用程序的动机-特别是显微镜数据分析-其中有一个强大的,物理稀疏先验和一个明确的,物理概念的地面真相。我们发展我们的理论和算法的假设下,a是一个短的内核,和x是稀疏和随机支持。我们通过对某些(理想化)情况的理论分析和大量的数值实验证明,当这些假设得到满足时,所提出的算法正确地恢复了a,从而恢复了x。这些结果源于球体约束SBD的显著几何特性:尽管问题仍然是非共核的,但是每个局部最小化器a非常接近于基础真核a 0的有符号移位截断。这一观察提供了一个几何解释的球体约束如何可以促进稀疏盲反卷积。本文的其余部分组织如下。第2节讨论了与卷积算子相关的内在对称性及其对球约束SBD几何结构的影响。第三节介绍了基于优化的两阶段算法及相关技术细节。第4节讨论了图像去模糊和卷积字典学习中的第5节给出了我们的理论的实验证实,并显示了有希望的结果显微镜数据分析,图像去模糊,卷积字典学习。第6节讨论了今后工作的方向。为了简单起见,我们假设卷积信号在问题公式化和技术证明中都是一维的,而所有结果都适用于二维信号。在本文中,向量v ∈ Rk的标号为v =[v0,v1,···,vk−1],[·]m表示m 的模算子。我们用·来表示算子范数,用·p来表示项式p范数。Frobenius球面上的投影表示为PS[·] =·,通过保持前k个分量作为到低维空间的投影。等价地,我们可以写y(a0,x0)=Ca0x0=Cx0a0.(二)这里,Cv∈Rm×m是由向量v生成的循环矩阵,其第j列是向量v的循环移位sj−1[v]sτ[v] (i )=v ([i-τ]m ),n∈[0 ,· · ·,m−1].(三)2.1. 对称与对称破缺SBD问题表现出一种标度移位对称性,它源于卷积算子的对称性。也就是说,给定一对(a0,x0)满足y=a0<$x0,对于任意非零标量α和整数τ,y=(αsτ[a0])<$α−1s−τ[x0]。(4)注意,稀疏信号x 0的缩放移位α−1s−τ[x0]保持稀疏,并且长度为-k的缩放移位αs[a]内核A0仍然具有k个非零条目。因此,这些对称性是SBD问题的内在特征,如这里所表述的我们只能希望恢复(a0,x0)到这种对称性。非平凡对称性的存在是在实践中出现的双线性问题-参见,例如,[20,21]例如字典学习和广义相位检索。对称性使得简单的方法凸化问题无效。[4]它们也对非凸优化提出了挑战:等价的对称解对应于多个不连通的全局最优解。这就产生了一个非常复杂的客观景观,其中可能还包含虚假的局部优化器。在信号处理中出现的某些高度对称的非凸问题不会表现出虚假的最小值[20,21],然而,证明这一点可能具有挑战性。对称破缺。 我们利用弱对称性破缺-k−15·索引为I的子集用(·)I表示。通过约束a∈S的机制:我们减少了3[23]包含了大量关于稀疏促进先验在获得良好局部最小值方面的作用以及反卷积的概率基础的额外想法。我们的实验支持这样的观点,即[23]中的关键见解是球面约束在避免坏极小值中的作用4给定凸目标函数达到相等的值,函数值在它们的任何凸组合处都不会更大[5]这部分是由[20]激发的,它证明了球面上字典学习问题的某种公式没有虚假的局部极小值,即使对于相对密集的目标表示。该工作的在此为行为4896˜τ0[˜τ0˜τ0˜0一一一^˜Σ˜Σ˜˜x<$(a)=(C<$Ca)−1(C<$y−λσ)σ(a)=−1(C<$y−λσ)<$(C<$Ca)−1(C<$y−λσ)22λ一 0λa0级X22一个简单的二次型:=22通过约束a具有单位Frobenius范数,将模糊度缩放为符号模糊度;我们减轻了移位的 模糊性然后通过标志支撑图案将整个球体分割,通过将a约束为在前k个条目上被支持。一般来说,s[a]在第一个k上不受支持条目,因此将a约束为在第一个k上支持Sk−1=Rσσ,Rσ ={a| sign(x<$(a))=σ}.(十)条目移除移位对称性。然而,这种转移对称性的影响仍然存在。因为限制条件是[a]在每个Rσ上,其中符号支持模式σ保持为同样,极小值x∈(a)的平稳条件意味着(ιs[a])s−τ[x0]第一个,(5)我一我一我将上述表达式插回原始目标函数f(a),得到尤其是当|τ |很小。 我们将看到(i)这些对称解i∈s[a]作为局部最小值持续存在2aIaIaIτ˜0SBD问题的自然优化公式,但(ii)在条件下,这些是唯一的局部极小值。2.2. 球面上的整体几何我们研究以下目标函数,该目标函数可以被视为平衡x的稀疏性与对观测y的保真度:min (a,x).1<$y−a<$x<$2+ λr(x)。(六)a∈Sk−1,x+12.(十二)虽然目标函数f(a)可以通过以这种方式去除x变量而大大简化,但它仍然保持对a的复杂依赖性。 为了获得一些初步的见解,我们做了两个简化,以便于计算,同时保持类似的几何特性:简化式I:x0=δ。我们最大限度地将潜在的稀疏信 号 简化为 单 个 尖 峰 δ , 并 且 观 测 结 果 将 为y=a0x0=a。这件案子本身微不足道当x0是长随机数时,这一职能通过其.(a)= minX它定义在球面Sk−1上。在图1中,我们在球面a∈S2上画出了函数的值:红色和蓝色分别表示较大和较小的目标值,并且有几个局部极小值。对于这个高度非凸函数,地面真值a0但它的函数几何是一个基本但重要的情况,明白此外,作为稀疏信号的维数x0增加,函数几何将收敛到这种情况。简化二:CCa→I. 对于一个随机数a∈Sk−1,它的期望满足E {C <$Ca}= I。在这里,我们简单地使用单位矩阵来替换任何C∈Ca,从而降低等式12的复杂性。有了这两个简化,原来的客观问题可以用以下公式代替:达到全局最小值,而其他局部最小值a′非常接近于地面真值的某些有符号移位截断图1(右)展示了一个本地尽量减少哪里(a)在a∈Sk−1的条件下,(13)在高维问题中的最小值。.A(a)=min1a2+1x2− a x,a + λx。^x2 ˜0 222˜˜01限制设置下的分析。要证明这种观察结果在一般情况下成立是具有挑战性的:对大多数人来说,在这种情况下,最小化x(a)有一个简单的封闭形式解:合理选择正则化子r,则不存在闭目标函数的形式表达式(a)。我们开发了一个在几个简化假设下的分析自始至终x(a)=SOFT[Ca]=SOFTC(14)这里,SOFTλ[u]= sign(u)max {|u|− λ,0}是条目-我们让r(x)是范数,尽管类似的结论wise软阈值算子和C_∞a0∈Rm×m是对于其他稀疏化正则化器保持不变有了这个选择,我们可以通过最小化x∈(a)的符号支持模式划分球面Sk−1来简化目标函数:0定义通孔的逆循环矩阵Ca0=s0[a0]s−1[a0]. . .s−(m−1)[a0].(十五)在常数符号支持模式σ上,可以写为x<$(a)=argmin1<$y−a<$x<$2+λ<$x<$.(八)到前k个条目可以与稀疏信号卷积.(十一)s−τ[x0],以产生对y的近似:14897^设I和σ表示x的支撑和符号,(a)=−1<$(C<$a−λσ)<$2+1<$a <$2。(十六)^σ2a22 ˜0 2I= supp(x),σ= sign(x),(9)6在许多稀疏表示问题中可以找到类似的公式[17]。对于这个替代项,我们可以证明,如果λ充分与x0的大小相比,每个严格局部最小化器是地面真值的有符号移位截断:4898a0级˜0˜0˜0˜˜. ..我^˜0~=˜0我我6我−i1−i2F..−i|我|[][a]]s[x]对于某些函数核实现全局最小值和地面真理[1,1,1]成为局部最小值。...F与单纯形(Simplex)约束的比较。 在com-卷积Y核A激活X21.510.5021.81.61.41.210.80.60.40.20图1:固定a0和通用x0时,102球上的几何图形。左:低维设置a ∈ S 2中的目标函数f(a)-深蓝色表示小值,而暗红色表示大值。 所有的局部最小值都接近于地面真值a0的有符号移位截断,其中a0本身实现全局最小值。绿线表示a不适定为卷积核的区域右:移位截断a在高维设置中达到局部最小值这里显示的是地面实况y = a0 <$x0、a0和x0(右上)与其各自的恢复量a<$x、a和x(右下)。定理2.1 定义mini-mizerxx的可能支持集,I=.好的。SOFTλCιaΣΣ|a∈Sk−1<$。(十七)对于每一个非空的支持,我=。i1µ|(二十)|(20)球体通过零填充(图3),然后在更高维度的球体上恢复地面真实值0直观地,当我们选择μλ时,μ-huber函数紧密地近似于μ1范数,这仍然保持了“平滑”平坦区域的效果当x<$1(a)=0时,惩罚目标的平坦区域出现,相应地,我们定义一个区域为Rh,0,其中x<$1(a)很小,使得因为a仍然捕捉到了相当大一部分的地面真相,a0(在高维空间中,零填充的a′接近于移位的a0),零填充的a′用作良好的初始化。这种直觉在下面的引理中变得严格Rh,0:={a∈Sk−1:≤µ}。(二十一)引理3.1. 设λrel=λ/λx0<$∞,假设基础真值a0满足在Rh,0区域内,原始目标函数可以可以重写成更简单的形式:塞乌赫µ(a)=1y−ax2+λx2+µn,(22)|⟨a0,ιs τ/=0 [a]|<λ2rel -.2+1/λ 2relΣ。1−λ2(二十五)因此x的最优性条件意味着任何两个非零分量至少有2k个条目Sk−1* 本文件迟交。∗λΣ−1∗µ∗远离彼此如果初始化在某个a ∈的将x(a)插回到(6)并忽略高阶项O(µ2),得到(a)恢复带符号的地面真值±a0。证据请参阅补充。h(a)(二十四)µ2λ2222这个引理说当初始点a足够近在这种情况下,目标函数对于地面真值,梯度总是指向0,在区域Rh,0内的Δhμ(a)等价于找到最大-只要|⟨a0,ιs τ/=0 [a]|足够小。定理矩阵<$C<$C yi的最小特征值,相应的前导特征向量e1(<$C<$Cyi)达到局部最小值。然而,这些点可以通过设置λ λrel,一个最小化的梯度下降算法作为∞4901为确保准确恢复,考虑了λ对函数几何的影响一更大的λ鼓励更稀疏的x,并导致更简单和更平滑的函数景观,这有效地消除了不接近任何符号的不期望的局部最小值,490200.50-0.51一个 2-100.50-0.51一个2-100.50-0.51一个2-100y=a∈Sk−1,x,x222y2 202−1 −3−6′移位截断,如图4所示。另一方面,较小的λ更强调信号的准确恢复,因此当λ减小时,(6)的全局最小值将更接近提出的算法是球的维数提升和λ的延拓。4. 进一步延长在本节中,我们将算法扩展到处理两个14 5124103826-1412 01 1a1a 121.51-10.501的1其他具有实际意义的反卷积问题:图像去模糊和卷积字典学习。亲--1提出的两阶段算法可以修改并应用于这些更复杂的应用。4.1. 图像去模糊10.500.50a2-0.5a 1- 11-1-0.510.500.50a2-0.5a 1- 11-1-0.510.500.50a2-0.5a 1- 11-1-0.5图像去模糊的目的是恢复清晰的自然图像从其模糊的观察,由于未知的摄影过程,如相机抖动或散焦。虽然自然图像不一定是稀疏的,但它是广泛存在的。图4:具有变化λ的函数几何:目标λ=10,10,10时,在半球上的λ(a)。这里a=PS2[[1,8,2]]和x0≠ Ber(. 1)N(0,1). 地面实况核a0及其移位截断PS2[[8,2,0]],PS2[[0,1,8]]是以红色显示,符号翻转PS2[−[8,2,0]],PS2[−[0,1,8]]是以洋红色显示。请注意,半球上显示的每个带符号的移位截断都接近于相应的局部最小值,而随着λ的缩小,目标景观变得不那么正则化。由λ引起的这种几何效应建议在算法的第二阶段中采用连续化方法。我们从一个相对较大的λ开始,用于更平滑的函数几何,这鼓励算法收敛到一个有意义的局部最小值,接近于地面真值的一些有符号移位截断然后运行相同的算法,递减λ序列以产生更精细的近似值地面的真相。整体算法在知道它们的梯度近似稀疏。令y = a0 x0表示观察到的模糊图像,其是原始清晰图像x0和模糊核a0的卷积。由于卷积算子的线性,模糊图像的梯度等于原始清晰图像的核和梯度的卷积,其通常如所期望的那样xy=a0(二十六)在这里, x和y表示x和y方向上的导数。在此应用中,fixxx0和fixyx0是基础稀疏信号,并且盲图像去模糊问题可以被转换为求解:min,1<$$>xy−a<$x1<$2+λr(x1)(27)算法1.+12+1y−ax2+λr(x),.确保:观测数据y,正则化参数λ0这里,Sk−1表示单位球面的交点,和λmin,延拓参数β >1+正的正体在本申请中,1:在Sk−1上求解a(0)= arg min<$λ(a),随机初始化2:设λ1=λ,将a(0)补零为a(1),且a(1)∈Sk−1模糊核消除了符号模糊性。我们在实验中观察到,局部极小都在地面真核的一些移位截断附近。同样的两个阶段(k′> k)。3:当λk> λmin时,4: 求解a(k+1)=argmin<$λ化a(k)。5:λk+1=λk/β6:结束,同时(a)在Sk′−1上,其中ini-因此,可以应用算法来推断基本事实。4.2. 卷积字典学习卷积字典学习(CDL)是机器学习中的一个重要问题,用于图像,语音以及科学问题,如显微镜数据分析和神经网络。我们需要注意的是,在A1-出租m1中求解a = argmin λ(a)涉及(i)在xλ(a)步骤找到边际尖峰排序观测信号y是N对核a0n和对应系数x0n的卷积的叠加:梯度/Hessian的<$λ(a)。这可能是非常消耗计算的,一个更有效的变体是优化Nn=1a0nx0n.(二十八)在a和x的交叉空间上。相应的我们唯一想强调的是盲解卷积可以被看作是N= 1的CDL的特殊情况。 如果系数x0n是稀疏的,则扩展我们对SBD的知识的自然方式将是假设所有Nλ(alnλ(a)算法1非凸稀疏盲反卷积K4903an∈Sk−1 Xn2n=12n=1我卷积核具有单位Frobenius范数,并将其转换为最小化N个球体的乘积上的以下目标函数min 最小值1y−Nan<$xn<$2+λ<$Nr(xn)。(二十九)我们预计,所有的局部最小值都接近地面真值的有符号移位截断,只要目标内核a0n足够多样化。改进的两阶段算法仍然能够捕获局部极小值提供的部分信息第5.4节提供了实验结果,以证实这一声明。5. 实验在本节中,我们将研究我们的算法在合成数据和真实数据上的性能。 我们首先报告了一个系统的调查,在[4]中进行的,我们的算法对合成数据的性能,这是为了模仿显微镜数据分析问题的属性在第5.2-5.4节中,我们给出了实验结果,展示了我们的方法如何对来自显微镜和图像去模糊的真实数据进行处理5.1. 综合数据评价无噪声数据:我们通过大小为k的核与具有稀疏度θ的伯努利分布的随机潜在激活信号之间的循环卷积生成大小为m= 256×256的无噪声观测信号,即Xi.d. Ber(θ)或x<$Ber(θ)。我们在图5的左侧绘制了不同内核大小k和稀疏水平θ的内核接收误差[4]。图上的每个点是20个独立测量的平均值。该算法在蓝色区域中表现出色,但在红色区域中开始失败,其中内核大小较大或潜在激活信号密集。执行典型STM测量的区域由白色虚线界定,其中所提出的算法实现令人满意的性能。噪声数据:我们通过卷积k维的固定核生成卷积信号,k/m= 0。图14具有维数m的随机激活图x∈Ber(θ),并应用加性高斯噪声。我们测试我们的图5:恢复精度[4]。左图:无噪声模拟结果的相变图。右:在测量中存在加性噪声的情况下算法1的性能;对于小θ,由于缺乏样本,误差增加,而极大的θ导致算法失败。图6:STM数据分析。从左至右:显微镜图像、提取的卷积核(缺陷图案)以及它们各自的傅立叶幅度图像。5.3. 图像去模糊我们在[13]的图像去模糊数据集上测试我们的算法,求解(28)以恢复卷积核。为了明确区分算法的不准确性和通用模糊核模型,所有的实验都是在三种模糊图像上进行的:(i)由清晰图像和模糊内核的卷积生成的合成模糊图像;(ii)通过将高斯噪声添加到干净的合成模糊图像(SNR=100)生成的噪声模糊图像;以及(iii)用相机抖动拍摄的真实模糊图像[13]。我们比较与张等人的算法。[26],Kr- ishnan et al.[11],Sun et al. [22],Liu et al. [16 ]第10段。8由于移位模糊性,我们考虑所有可能的移位来评估恢复的模糊核的准确性。内核恢复错误定义为算法的变化稀疏θ和噪声功率。结果中文(简体)-a/a,累计最小ττ1001F如图5(右)所示:该算法实现了噪声-当稀疏约束满足时,鲁棒恢复5.2.显微镜数据分析我们将我们的算法从NaFeCoAs样品获得的实验显微镜图6所示的结果表明,所提出的算法设法重新覆盖缺陷的傅立叶域中的波纹的缺失细节,其编码了工作中电子的物理散射分布如图7所示。我们使用与[10]相同的非盲去模糊算法,参数相同。我们认为模糊图像使用地面真值核作为基准点,并通过计算其差异的Frobenius范数来评估去模糊图像的质量。8我们使用这些算法的默认参数。通过更仔细地调整参数,可以获得更好的性能。在我们的算法中,我们将λ固定为0。1,0。010001,0。001对于所有的情况。4904图7:模糊核恢复误差:从合成(左)、噪声(中)和真实(右)模糊图像恢复的模糊核误差的累积分布。结果如图8所示。NaFeAs样品。该算法设法区分两个卷积核(缺陷模式),如图10所示。对于这种材料,核取向取决于材料的历史(应力、温度等),并且使用卷积字典学习可以用于自动检测这些特征。图8:非盲恢复误差:来自合成(左)、噪声(中)和真实(右)模糊图像的去模糊图像误差的累积分布。我们的算法对所有三种类型的图像都实现了较好的卷积核重构,但对去模糊图像的改进不太明显,尤其是对真实图像。这可能是由于(i)该数据集中的卷积核在图像上不是严格均匀的,以及(ii)非盲去卷积算法利用自然图像梯度的重尾分布5.4.卷积字典学习我们展示了在合成数据(图9)和真实STM数据(图10)上恢复多个卷积核的结果。在合成数据中,三个卷积核的大小为16×16,并且它们对应的激活信号通过稀疏性0的情况。005。该算法的两个阶段的结果如图9所示:第一阶段返回接近地面真值的一些移位截断的内核,第二阶段在更高维空间上恢复地面真值。图9:合成数据的多核盲反卷积:输入图像(左)和算法第一阶段和第二阶段的恢复卷积核(右)。我们用显微镜数据重复这个实验,图10:真实STM图像上的多核盲反卷积:输入图像(左)和恢复的卷积核及其相应的激活信号(右)。6. 讨论本文研究了当核函数具有单位Frobenius范数时SBD非凸优化问题的全局几何。在这种情况下,我们发现所有的局部极小值都是良性的,在这个意义上,它们接近于地面真值的一些有符号移位截断有了这个见解,我们提出了一个两阶段的算法,恢复地面真相,利用隐藏在局部极小值的信息。这个问题揭示了通过几何方法分析SBD问题时所面临的挑战。对于具有更强对称性的问题[20,21],类似的方法可以全面理解函数几何和恢复保证。我们期望SBD中的弱对称性对这个问题所遇到的困难做出主要贡献。还有许多其他的进一步方向可能对理论和应用都有很大的兴趣:我们的经验结果表明,我们对局部极小值的描述贯穿于卷积字典学习问题,这也可以通过对所提出的算法进行轻微的调整来有效地解决然而,理论部分是开放的,这将是有趣的,知道有多少种内核,或什么样的内核是可恢复的,可能通过一些措施的不一致性,这是一个常见的假设,在字典学习问题。科学测量中遇到的另外两个缺陷是分辨率极限和测量误差,这两个缺陷促使我们考虑:(1)是否可以将盲解卷积和超分辨率过程结合起来;(ii)我们是否可以提出一个稳健的盲解卷积算法,以自动排除噪音。4905引用[1] A.艾哈迈德湾Recht和J.龙伯格基于凸规划的盲反卷积arXiv预印本:1211.5608,2012年。1[2] A. Benichoux,E.Vincent和R.格里邦瓦尔具有稀疏和平移不变先验的盲反卷积中的一个第38届声学、语音和信号处理国际会议,2013年5月。1、4[3] T. Chan和C.黄。全变分盲反卷积。IEEE Transactions onImage Processing,7(3):3701[4] S. Cheung,Y.Lau,Z.陈,J.太阳,Y.张,J.赖特和A.激情超越傅立叶变换:显微镜分析的非凸优化方法。2017年提交。1、7[5] Y.气通过提升和凸优化保证盲稀疏尖峰反卷积。IEEEJournal of Selected Topics in Signal Processing , 10(4):782-794,2016年6月。1[6] S. Cho和S.李你快速运动去模糊。ACM Transactions onGraphics(SIGGRAPH ASIA 2009),28(5):articleno. 145,2009年。1[7] C. Ekanadham,D. Tranchina和E.西蒙切利一种用于神经元锋电位识别的盲稀疏反卷积方法。神经信息处理系统进展24,第1440-1448页。2011. 1[8] R.费格斯湾辛格A. Hertzmann,S. T. Roweis和W. T.弗里曼。从单张照片中消除相机抖动ACM事务处理图表,25(3):787-794,2006年6月。1[9] D. Gong , M. 谭 , Y 。 Zhang , 中 国 古 柏 A. van denHengel和Q.石自动梯度激活的盲图像反卷积。在IEEE计算机视觉和模式识别会议上,2016年6月。1[10] D. Krishnan和R.费格斯。使用超拉普拉斯先验的快速图像去卷积。神经信息处理系统进展22,第1033-1041页。2009. 7[11] D. Krishnan,T. Tay和R.费格斯。使用归一化稀疏性测量的盲反卷积。在IEEE计算机视觉和模式识别会议(CVPR)中,第2331、7[12] D. Kundur和D.哈齐纳科斯盲图像解卷积。信号处理杂志,IEEE,13(3):431[13] A. Levin,Y. Weiss,F. 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