ð-Þð ÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，382埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章伽玛随机变量生成的一种新的广义威布尔分布Fredy Castellaresa，Artur J.Lemonteb，*a巴西，贝洛奥里藏特，米纳斯吉拉斯联邦大学统计系b巴西累西腓，伯南布哥联邦大学统计系2013年4月29日接收; 2014年3月22日修订; 2014年2014年5月5日在线发布本文提出了一种新的、简单的γ-G分布族的概率密度函数表示法，它是基线G分布的累积函数的绝对收敛幂级数。此外，特殊情况下，所谓的伽马指数-ed威布尔模型进行了详细的介绍和研究。2010年数学学科分类：60E05; 62E15; 62F10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍两参数威布尔分布是一种非常流行的分布，在过去的几十年中已被广泛用于可靠性、工程和生物研究中的数据建模。众所周知，威布尔分布的主要弱点是它不能适应非单调失效率。[1]介绍了双参数威布尔分布适应非单调失效率的第一个推广，它被称为指数威布尔（EW）分布。三参数EW分布分布具有累积函数，形式为是形状参数，并且a>0是尺度参数。EW密度函数为gE WxgEWx; b;a;bb abxb-1e-axb 1 e-axbb-1;x> 0。读者可以参考[2]了解EW分布的概述。最近的文献提出了几种扩展著名分布的其他方法。最早的是由[3]引入的标准贝塔随机变量生成的分布类。最近的几种分布是：由[5]引入的由[4]GEW nx;b;a;bn= 1-e-axbn =b，x>0，其中b>0且b>0[9]和[10]中引入的T-X分布族。最近在[11]中讨论了上述方法中的一些。*通讯作者。电子邮件地址：arturlemonte@gmail.com（A.J. Lemonte）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier通过使用[3]建议的生成元方法，在过去的几年中已经提出了几个广义分布特别地，[3，12，13]通过将G x分别作为 正 态 分 布 、 Fre′chet分布、Gumbel分布、指数分布、Weibull分布和Pareto分布的累积函数，定义了beta正态分布、beta Fre′chet分布、beta Gumbel分布、beta指数分布、beta Weibull分布和beta Pareto分布。最近，[141110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.03.009关键词指数威布尔分布最大似然估计;Stirling多项式伽玛随机变量生成的威布尔分布383俄.西 r-1 -t函数，和cr; steD t 是不完全伽马20Rð ÞCað Þ¼ ð Þ¼我的天[中文]ðÞð Þ ð Þ¼-ð Þð Þ联系我们ΣnX2jj·Σnnnn23z423n15nn02231beta广义指数分布、beta广义半正态分布、beta修正威布尔分布、beta Burr XII分布、beta Birnbaum-Saun- ders分布、beta Laplace分布和beta半柯西分布。文[21-23]提出了由[4]最近，[24]提出了由[8]从这些参考文献中可以看出，几个新的广义分布是从贝塔随机变量的logit构造的。另一方面，[5我们请读者参考[25，26]，了解通过使用[10]的生成器方法构造的一些广义分布。本文利用文[6]中的生成元方法，引入了一个新的广义威布尔分布族。这些作者介绍的生成器方法如下。对于任何 连 续 基 线 累 积 分 布 函 数 （ cdf ） Gxgx;s 和 参 数 向 量ss1;. . ;sq>，新分布定义为F xF x; a; sCa-1ca;原木1G x得双曲余切值.R，其中a>0是那些形状参数的附加形状参数。在s中，其目的是引入偏斜度并提供其尾部的另外，Cr1t r-1e-t d t是伽马0功能从现在开始，cdfG x将被称为父分布或基线分布。新分布的概率密度函数（pdf）采用以下形式fxfx;a;sgxf-log½1-Gx]ga-1;x2R;ð1Þ其中，g xgx;sdGx= dx是基线pdf。对于1;fxgx，因此gx是（1）的一个基本范例。此外，如果Z具有伽玛分布，Z~伽玛a;1假设密度函数hzCa-1za-1e-zz>0，则[6]建议的算子方法来定义一个新的模型，称为伽马指数威布尔C-EW分布，它推广了指数，威布尔和EW模型。此外，我们研究了新模型的一些结构性质，并讨论了其参数的极大似然估计。该模型比威布尔分布和EW分布具有更好的适应性，可有效地用于许多领域的正向真实数据建模。通过一个实际数据的例子，说明了C-EW模型在实际应用中对其它寿命模型最近，在[27]中，利用[7]中的生成元方法，引入了威布尔分布的一个新的四参数推广，在此称为伽玛对偶指数威布尔分布（C2-EW）。不幸的是，由这些作者导出的用于获得该模型的一些一般性质的C2-EW密度函数的展开不是有效的展开，即不收敛（参见附录），因此在他们的论文中给出了C2-EW分布的一些性质，如矩、矩生成函数等，不工作。本文导出的C-G密度函数的一般展开式是有效的（即收敛的）。特别是，我们使用这个一般的expan- sion推导的时刻，矩母函数等，新的四参数C-EW分布。2. G密度函数的展开在下文中，我们导出了C-G密度函数的一个非常有用的表示，它可以用来导出一般性质（矩，熵等）。这类新的分布。应该注意的是，C2-G密度函数的表示可以直接从C-G密度函数的表示中得到，只需用基线G分布的生存函数代替基线cdfG x，即用S x1G x代替G x.可以证明随机变量XG-11e-ZPDF由Eq给出。（一）.在本文中，我们将（1）称为γ G <$C-G<$分布.对数1-zσdz1/4dz1n¼0wndzn;3最近，[7]使用了[6]中提出的类似方法，引入一个新的伽玛其中dR;z1和系数wn是斯特林<多项式这些系数可以用以下形式表示：随机变量 他们将F x定义为：FxFx;a;s1-Ca-1ca;-log½Gx]，对于x2R，而PDF是wn-1 联系我们-1你好！Hn-1-2012年12月22日Hn-2wHn-3gx-···-1n-1w2w3···wnH0;4fxf x; a;sf-log½Gx]ga-1;x2R：2nCa哪里 HM是 积极 整数 已定义 递归地，这类新发行版Hm<$2n<$1-m<$Hm<$1 n-m< $1Hm-1，其中H0<$1;n”[7]。特别地，如果Z~γa;1 π，则随机变量X1/4G-1e-Z具有由等式（1）给出的pdf。（二）、因此，在本发明中，H0n1<$1× 3× 5×···×12n1，Hn 11.前六名根据[7]，新的分布族可以看作是Zografos-Balakrishnan分布族的对偶族另外，设Z是具有log的随机变量密度函数为hzca-exp的伽玛分布多项式为w0w1=2;w1w23w=24，w2w1= 2，w=4.8;w3=1.0;w1 =1.5;w 2=1.5;w 3= 1.8;w4w1/2 w-6w-7 w 2 w1/3 w= 11520和w5w1/4 w96w 140w- 224w-315w 63w= 2903040。Z2R.然后，随机变量X¼备注1. 根据另一个定义，1多项式G-1EXPEXP-EZEXP也有pdf（2）。（2）将（2）称为西南1 S WN！ w1 ww;nP1，也γ-对偶GC2-G分布0ð Þ¼n无菌检查中国-1本文件有两个目的。一是称为斯特林多项式。 在本文中，我们使用提出了一种新的C-G模型作为基线分布的累积函数的绝对收敛幂级数。第二，我们使用gener-1例如，见http://mathworld.wolfram.com/StirlingPolynomial.html。-n384F. Castellares，A.J. 勒芒ð Þ[001 pdf 1st-31files]g每平方米MXX¼ ¼ ¼ ¼ ¼[美国]dP10mmM-1那gxgx- 1/4b a b x-e-x1-e-x2.¼ ð Þ¼ ð Þ ðþÞ[28][29]我们有以下主张。提案1. 展开式（3）是绝对收敛的。证据[30]或[31]给出了详细的证明（见Theo- rem VI.2，第385页）。H命题2. 的 膨胀（三）可以被表示为其 中 d2R;jzj<1; q 0 <$d <$$> 1 ， qm<$d <$$>dwm-1<$m<$d-1<$，mP1，系数wm<$·<$m是由下式给出的斯特林多项式。证据 这是由[28，29]的结果得出的。H我们有以下定理。定理1. C-G密度函数允许展开fxgx1uagxma-1;x2R;5每平方米其中a>0;uaCa-1，ua Ca-1 qa-1C a-1w ma-2，mP 1，系数wm·是由4给出的斯特林多项式。证据 这是从命题2开始的。 H备注2. 定理1表明，C-G概率密度函数可表示为基线分布的分布函数的绝对收敛幂级数。（5）中的一般展开对于获得感兴趣的性质是非常有用的C-G分布。在第五节中，我们将利用这种展开式导出C-EW模型的一些性质1 e-Z1=b1=b，可用于生成C-EW随机变量。新的C-EW分布具有3个形状参数：a>0，b>0和b>0.这些参数考虑到了C-EW分布的高度不稳定性. 图1示出了针对所选参数值的密度函数（6）注意，附加形状参数a允许C-EW分布的高度可伸缩性;也就是说，它在偏度和峰度方面都向新模型引入了更多的可伸缩性。值得注意的是，C-EWpdf也可以是近似对称的，这取决于参数值。值得强调的是，C-EW分布可应用于生存分析、工程、生物研究、水文、经济等领域，与威布尔分布一样，可用于可靠性问题的建模。我们在图2中显示了某些参数值的C-EW参数a不会改变故障率函数，因为它是一个标度参数。结果表明，C-EW分布的失效率函数可以是递增型、递减型、倒浴缸型（单峰型）或浴缸型，这取决于参数的取值。因此，新的分布是相当灵活的，可以有效地用于分析寿命数据。应该指出的是，很难（甚至不可能）解析地确定对应于C-EW分布的递增、递减、倒浴缸形（单峰）或浴缸形失效率函数的参数空间。接下来，我们使用第2节中导出的一般结果来将C-EW密度写为EW密度的线性组合注意am 1b 1axbaxbma-1EWEW因此，从（5）可以得出：3. 广义威布尔分布fx1p每平方米gEW x;b新的四参数C-EW分布的cdf由下式给出：a>0;b> 0和b>0是形状参数，并且a>0是尺度参数。若X服从C-EW分布，则记为X ~ C-EW=a; b; a;b. 若X~C-EW≤a;b;a;b≤ k，则kX~C-EW≤a;b;aω;b≤ k，其中aω≤ak-b且k>0，即C-EW分布类在尺度变换下是闭mations。EW、威布尔和幂指数（EE）分布显然是a1、ab1和a的最重要的子模型B1所示。 其他子模型可以从表1中立即定义。C-EWpdf采用以下形式bab xb-1e-axb1- e-axbb-1其中pm pm aum a=a m。因此，C-EWpdf可以表示为EW pdf的无限线性组合，其中参数为a和b。从（7）中，我们可以直接从EW分布的那些性质得到C-EW分布的几个数学性质 它说明了一般扩展的效用和适用性，在第二节中导出了C-G密度函数.f xb1-aCaf-log½1-1-e-axb]g;x>0;6而C-EW失败率功能是已定义当r x f x=1F x时，x>0。显然，新的密度函数（6）不涉及任何复杂的函数。此外，参数之间没有函数关系，它们在参数空间中自由变化。若Z~γα;1 β，则X~C-EW_a;b;a;b_a由下式给出：M表1C-EW分布的子模型分布一BB一指数威布尔1–––C指数瑞利––2–C- 指数––1–C-瑞利–12–C-指数–11–指数化指数1–1–指数瑞利1–2–Weibull11––瑞利112–指数111–伽玛随机变量生成的威布尔分布3851.5米f（x0.80.610.60.50.41.8分0.40.30.20.20.10.00 1 2 3 45X0.03 4 5 6 7X图1某些参数值的C-EW密度函数图53.0四个两点五2.031.521.01个0. 500 1 2 3 45X0.0电话：0512 - 8888888传真：0512 - 88888888X0.250.200.150.100.050.000 5 1015X4.03.53.02.52.01.5电话：0512 - 8888888传真：0512 - 88888888X图2某些参数值的C-EW故障率函数2019年05月05日中国3.5r（x2019年05月05日f（xr（xr（xr（x386F. Castellares，A.J. 勒芒pð·Þ¼pð ÞPb¼¼¼0¼¼¼4. 数值计算本文简要讨论了（7）的精度和收敛速度。为了在数值上评估（4）中定义的多项式wn，我们使用以下过程来获得Hrn0p o由展开式（7）得到。请注意，只需要（7）中的前25项就可以很好地满足（6）和（7）。我们观察到，一般来说，C-EW密度函数的展开式（7）提供了非常快的收敛，对于0和1具有非常好的精度。<<对于a>1，展开式也收敛快，如果x为号码 该算法计算H p1;. ;Hp10nH0;. p > 0时，Hp为-10。算法如下：给定远0。在这种情况下，需要大量的术语来实现良好的精度。p p5. 力矩特性让 X~C-EW_a;b;a;b_a。 s thX的力矩如下：由（7）直接得出，并由l0 1/4给出E100 x R1Sxsgx;bam;a;bdx.0m² 0M0我们有以下引理。引理1. 设Z~EW =b;a;b=. z的某个时刻形式EZsba-s=bCs=b1P1n11，1-二氯苯基n-1 ！ n s=b;这种算法非常简单，类似于帕斯卡三角形.可以使用以下R脚本[32]来计算Hr数：s>-b，其中，q=R，最高分0.1。证据它是由EW密度的扩展作为威布尔密度的线性组合和威布尔分布的矩得出的。H我们有以下建议。3号提案 X~C-EW的某个时刻a;b;a;b取形式l0¼ba-s=bCs=b1P1 P1ua1-baSm n-1= n！n s=b;s>-b.每平方米n1M证据通过使用展开式（7）和引理1，结果成立。HC-EW模型的矩母函数（mgf）M t说，可以直接从（7）获得，MtE etXR1etxfxdxP1m0pmMt，其中Mt是EW模型的mgf，参数为b<$m<$a<$;a和b.我们有以下引理。因此，为了在数值上评估（4）中的多项式wn·n，引理2. 设Z恶b;a b。 的 MGF的 的 Z需要可以使用以下R脚本：~;形式EetZbP1n1P1k0Ck=b11-bn-1tka-k=b=阿文！ 国王！n; b> 1，其中，q= 1，q= m-1，q = 2 R而q=0.01。证据它是从EW密度的扩展作为威布尔密度的线性组合和从威布尔分布的mgf得出的。H我们有以下建议。4号提案 若X ~ C-EW≤a; b; a; b≤ n，则M≤nB1米0>1.P1N1 P1k0 Ck=b1uman-1 t ka-k=b= n！国王！（c）图3显示了从（6）获得的C-EW密度函数和C-EW密度函数证据该结果从引理2中导出的EW模型的mgf成立。H设f是f的特征函数，X~ C-EW_a; b; a; b_a。我们有以下结果。H 数字，06r6p- 1。备注：H¼1R0pp输出：V/VH;H1;;.. Hpþ1Þ 0HH我1输入：v¼H;H;;. Hp1pp p p-1p1p1p11ifp1dovn2p1/23;1]andsto p.我2vp1½p] ←14 16名i6名p-13vp1½0] ←2p1vp½0]6端7返回vp 15vp1½i] ←2p-i1vp½i] p-i1vp½i-1]publicvoidrun（）{p- 长度（v1）+1如果（p==2）返回（c（3，1））v2- c（rep（0，p-1），1）v2[1]- v1[1]\（2\p-1）for（i in 2：length（v1））v2[i]- （2\p-i）\v1[i]+（p-i+1）\v1[i-1]返回（v2）}v1- c（3，1）标准编号（v1）15 10 1psi-function（x，p）{if（p==0）return（0.5）p-p+1X- rep（1，p）for（i in2：p）X[i]--X[i-1]\（x+i）/（p+i）H-1while（length（H）p）H<-Stnumbers（H）psi<-rev（H）\Xpsi- （-1）（p-1）\sum（psi）/factorial（p+1）return（psi）}电话：û伽玛随机变量生成的威布尔分布387一P我¼ð Þð Þ联系我们公司简介Þ¼-ð ÞX轴1k0你看，a-k=b=n！ 国王！- 是的¼¼a1 K-1P1n0wnnnb1/1我i¼1ilogg1-zia-1Pn1/4-nWal o g gf-logg½Sx]g;@b<$bSxlogg½Sx];@a¼a-avi我们有以下推论。1/1 logf-log½Sxi]g，其中vi¼1.00.8a100万1.5，0.60.5a100万1.5，0.60.40.40.20.30.20.10.0电话：+86-0510 - 8888888传真：+86-0510-8888888X0.00 1 2 3 4X图3C-EW密度函数计算公式。（6）和扩展（7）在前2，5和25项。第二章. 若X~C-E W=a;b;a;b= 0，则/t=1 /bP1m0P1n1¼an-1 M Ck=b1u证据它立即跟进H证据结果符合EW模型的特征函数。H其中一个流行的熵度量是香农熵它与峰度度量在以下方面起着类似的作用：推论1. 如果X~C-EW =a;b;a;b =0，则香农熵变为ISh<$lo g½Ca]-a-1Wa-lo gb-Pb-1log1-一个k¼1，其中wn·1000-1000¼-一个b-1个- -比较不同密度的形状和测量重量，在第2节中定义，以及P 1。尾巴的数量其定义为ISh<$Ef-log<$f<$X g<$A-R1 fx我的意思是， 我们有下面的定理。-1个证明。 这是从定理3得出的。H定理3. 对于一般的密度函数（1），香农熵可以表示为IShh<$log½Ca]-1Wa-EZflog½g<$QGe-Vg]g，其中W· 是双伽玛函数，QG·是G分布的分位数函数，期望E Zf·g是相对于随机变量Z~Gammaa;1计算的。其他几个属性，如可靠性，平均偏差，其他类型的熵，等等，可以用类似的方式导出，但我们只考虑上述属性以节省空间。6. 最大似然估计设x1;. ;xn是随机样本的大小n，C-EW分布a;b;a;b. 对数似然函数基于给定随机样本的h<$a;b;a;b<$>是“h <$$><$nlogbab-nlog½Ca]b-1Pnlog gx-Pn vb-1ax b;z iexpv i;G x i1z ib和S x i1G xi，对于i1;... ;n.未知参数的最大似然估计是通过使对数似然函数' h关于h最大化来获得的从h对参数的偏导数获得的似然方程@@a@n1Xn1/1我a-1 Gxilo g½Gxi]B1/1n第一季第1 集n@n1Xb-1Xvi zi1/1一1/1 1-zia-1Xn vizi1-zb-1个-Sxlogg½Sx];第一季第1集f（x表2经验方法和圆括号中的MSE;a 1/ 4。na^B^pa^B^250 1.804（1.695）1.450（1.610）1.248（0.951）1.704（0.515）a1： 5;b 1： 0和b 1： 8a¼f（x我n1/1[1]-350一点七三九（一点六二二）1.419（1.487）1.203（0.894）1.679（0.500）5001.767（1.590）1.311（1.265）1.203（0.863）1.676（0.471）a：1：2;b： 1： 5;b： 1： 2250 2.622（2.100）2.807（4.161）1.249（1.132）1.101（0.423）350 2.662（2.106）2.490（3.274）1.236（1.076）1.092（0.399）500 2.559（1.963）2.313（2.693）1.158（0.903）1.094（0.378）a¼2： 0;b¼ 1： 2和b¼ 1： 0250 2.289（1.988）2.024（2.685）1.282（1.066）0.930（0.309）350 2.283（1.955）1.822（2.099）1.241（0.969）0.932（0.284）388F. Castellares，A.J. 勒芒表3最大似然估计（标准误差）括号）。模型估计（1.0878）（1.6978）（0.3452）（0.2209）ð·Þ¼ ð Þ ¼ ðÞð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ¼ðÞðÞð Þ@b¼b- ba-1;@nXn1/1Xn vizilo gxi1/11-Z我000卢比。 为了最大化对数似然函数，我们使用子程序MaxBFGS分析导数。的Xn vizi1-zib-1lo gxi点估计的评价基于以下进行：每个样本量的降低量：经验平均值和1/1Sxilog½Sxi]均方根误差。pMSE，其中MSE为平均值其中W是双伽玛函数。ha;b;a;;b>的最大 似然估计量解决同时的可能性 方程@' h =@ a @' h =@ b @' h =@ a @' h =@ b 0.最大似然估计量没有封闭形式的表达式，其计算必须使用非线性优化算法进行数值计算。用于计算参数a、b、a和b的渐近置信区间的观测信息矩阵可以从标准最大化例程中以数字方式确定，该例程现在提供观测信息矩阵作为其输出的一部分;例如，可以使用R函数optim或nlm，Ox函数Max，BFGS，SAS程序NLMixed，其中，计算观察到的信息矩阵数值。其 次 ， 对 C-EW 分 布 参 数 的 估 计 进 行 了 小 规 模 的MonteCarlo模拟.使用Ox矩阵编程语言进行模拟。蒙特卡洛重复的次数是C-EW10a;b;a;b = 0.4243 6.75740.44500.6261（0.4919）（9.5571）（0.2730）（0.1612）C2-EW10a;b;a;b0.75902.52620.50230.6884BWa;b;a; b 2.73480.90830.46970.6661（1.6355）（1.5443）（0.3728）（0.2495）KwWa;b;a; b 4.11782.94140.49490.4589（5.8731）（8.2214）（0.5063）（0.5193）EW1000b;a; b 2.79600.45370.6544（1.2603）（0.2384）（0.1342）C-Wd3. 7479;a;b1.30990.5201（2.6699）（1.5159）（0.1984）C-EEma;b;a = 0.59152.04050.1078（0.3942）（1.3036）（0.0182）欧洲货币基金组织b;a0.1212（0.1486）（0.0136）韦布尔指数a;b= 0.09391.0478（0.0191）（0.0676）从RMonte Carlo重复估计的平方误差。我们将样本量设置为n¼250; 350和500。我们考虑形状参数a、b和b的不同值，而尺度参数a固定为1.0，不失一般性。从表2中可以看出，估计值相当稳定，更重要的是，接近所考虑样本量此外，随着样本量的增加，正如预期的那样，P_M_N_S_N_E_N_N减小。7. 真实数据说明在本节中，我们提出了一个应用程序的建议C-EW分布的实际数据进行说明的目的。为了便于比较，我们还考虑了新的四参数C-EW分布的一些子模型：Weibull分布，EE分布，gamma Weibull分布C-W分配，伽马取幂指数C-EE分布和EW分布。此外，三也将考虑最近Weibull分布的四参数推广来拟合这些数据：C2-EW 分 布 [27] 、 β Weibull （ BW ） 分 布 [34] 和Kumaraswamy Weibull（KwW）分布[21]。我们将考虑[33]提供的真实数据集，该数据集代表128名膀胱癌患者的随机样本的缓解时间（以月为单位）。对于每个模型，我们估计的未知参数的最大似然方法。表3列出了缓解时间数据的所有寿命模型所有的计算都是用Ox矩阵编程语言进行的。现在，我们将应用正式的拟合优度检验来验证哪种分布更适合这些真实数据集。我们认为，Crame'r-von MisesW ω和Anderson-Darling一个ω统计量，详细描述了[35]。Ingen-通常，这些统计数据的值越小，与数据的拟合度越好。所有模型的统计量Wω和Aω列于表4中。注意新的C-EW分布-执行所有的子模型以及四参数C2- EW，BW和KwW分布。请注意，C-EW分布显然是C2-EW、BW和KwW分布的竞争模型，因为它们具有相同数量的参数。因此，新的模型可能是一个有趣的替代文献中的其他模型建模的积极的实际数据。致谢我们非常感谢一位匿名审稿人的宝贵意见和建议，这些意见和建议改进了手稿的第一版。作者感谢Marcos A.C.教授。Santos（UFMG）帮助我们编写R脚本，并讨论数值计算。金融感谢FAPEMIG（巴西贝洛奥里藏特/MG）和FACEPE（巴西累西腓/PE）提供支持。1-vi表4 统计量Wω和Aω。型号WωAωC-EW0.039450.25992C2-EW0.043380.28654BW0.043620.28825千瓦0.041490.27322EW0.043670.28848C-W0.047880.31425C-EE0.105400.63199EE0.112210.67412Weibull0.131370.78648伽玛随机变量生成的威布尔分布389- -- Þ¼联系我们P11s½--]-¼0半-X轴--半对数1-yy]d-1¼yd-11y2 ð Þ¼z.Σ！附录A我们将证明，[27]中导出的C2-EW密度函数的展开式不能用于计算C2-EW模型的某些一般性质，例如矩、生成函数等。C2-EW密度可以表示为fxbab=C ab-1yb-1½-log 1-y]d-1，其中0y e-axb 1（x>0）。<来华传教士。Sarabia，广义beta生成分布，计算。Stat.数据分析56（2012）1880-1897。[10] A.Y. 阿 尔 扎 特 雷 角 李 ， F. 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Lemonte，Theb-Birnbaum-Saunders0<年y<18s¼0s12对于y的所有值0; 1，因为0 0。然而，不等式（8）并不满足所有的值，y2 0;1。这可以被证明注意的y-原木1y1yy=s二、所以，我们必须展示不等式0y-1log 1-y] - 1 1是无效的<<对于y的所有值2<$0;1 <$。经过一些代数运算，我们得到Y和1y>e-2y，这些方程组的解在0yK的区间内，其中K是解<<的 的 方程 1-y¼e-2y 和 它 是 给出K0： 7968121。这意味着不等式（8）是无效的对于0的所有值 0），因此[ 2 7 ] 中推导出的C 2-EW pdf的展开式对于y 2 = 0 ; 1/4的所有值都是无效的（收敛的）。引用[1] G.S.Mudholkar，D.K.Srivastava，ExponentiatedWeibullfamily for analyzing bathtub failure rate data ，IEEETrans. 可靠性42（1993）299-302。[2] S. Nadarajah，G.M. Cordeiro，E.M.M. Ortega，指数威布尔分布：一个调查，统计。论文54（2013）839-877。[3] N. 尤 金 角 李 ， F. Famoye ， Beta- 正 态 分 布 及 其 应 用 ，Commun. Stat. -Theory Methods 31（2002）497- 512.[4] P. Kumaraswamy，双重有界随机过程的广义概率密度函数，J。水。 46（1980）79-88。[5] 通 用 汽 车 科 代 罗 ， M 。 de Castro ， A new family ofgeneralizeddistributions ，J. Stat. Comput. 你好81 （2011 ）883-898。[6] K. Zografos ， N. Balakrishnan ， 关 于 beta 和 广 义 gamma-generated分布和关联推理的家族，Stat。美沙酮6（2009）344-362。[7] M.M.Ristic′， N.Balakrishnan ， Thegamma-exponentedexponential distribution，J. Stat. 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