威布尔分布的图形化解析：概率密度函数和累积分布函数，直观理解故障模式

# 1. 威布尔分布的理论基础

威布尔分布是一种连续概率分布，广泛应用于故障模式分析和可靠性工程中。它以其形状参数和尺度参数来描述故障时间或其他事件发生时间的分布。

威布尔分布的概率密度函数（PDF）为：

f(t) = (β/α) * (t/α)^(β-1) * exp(-(t/α)^β)

其中：

* α 为尺度参数，表示分布的中心位置
* β 为形状参数，表示分布的形状和尾部行为

# 2. 威布尔分布的概率密度函数（PDF）

### 2.1 PDF的定义和公式

威布尔分布的概率密度函数（PDF）定义为：

f(x) = (β/α) * (x/α)^(β-1) * exp[-(x/α)^β]

其中：

* α > 0 为尺度参数，表示分布的形状
* β > 0 为形状参数，表示分布的倾斜度

### 2.2 PDF的形状和性质

威布尔分布的PDF具有以下形状和性质：

* **单峰分布：**PDF在x = 0处有一个峰值，然后随着x的增加而下降。
* **右偏分布：**PDF在峰值右侧比左侧更重。
* **形状参数β控制倾斜度：**β值越大，分布越偏向右侧。
* **尺度参数α控制分布的宽度：**α值越大，分布越宽。

### 2.3 PDF的参数估计

威布尔分布的参数α和β可以通过以下方法估计：

* **最大似然估计（MLE）：**找到参数α和β的值，使似然函数最大化。
* **矩估计（ME）：**使用分布的矩来估计参数。
* **最小二乘估计（LSE）：**拟合PDF到数据，并使用最小二乘方法找到参数。

**代码块：**

import numpy as np
from scipy.stats import weibull_min

# 数据
data = np.array([10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32])

# 最大似然估计
params = weibull_min.fit(data)
alpha = params[0]
beta = params[1]

# 打印参数
print("尺度参数α：", alpha)
print("形状参数β：", beta)

**逻辑分析：**

该代码使用scipy库的weibull_min函数对数据进行威布尔分布拟合。fit函数返回两个参数：α（尺度参数）和β（形状参数）。

# 3. 威布尔分布的累积分布函数（CDF）

### 3.1 CDF的定义和公式