威布尔分布在航空航天领域的应用：飞机部件可靠性和寿命预测，保障飞行安全

# 1. 威布尔分布的理论基础**

威布尔分布是一种广泛应用于可靠性分析和寿命预测的概率分布。它由美国统计学家沃伦·威布尔于1951年提出，具有以下特点：

- **非对称性：**威布尔分布的概率密度函数呈非对称性，尾部较长，表示随着时间的推移，故障率逐渐增加。
- **形状参数：**威布尔分布的形状参数β控制分布的形状，β值越大，分布尾部越长，故障率上升越快。
- **尺度参数：**威布尔分布的尺度参数η表示分布的中心位置，η值越大，分布向右移动，平均寿命越长。

# 2. 威布尔分布在飞机部件可靠性分析中的应用**

**2.1 威布尔分布参数估计**

威布尔分布是一个非对称分布，其概率密度函数为：

f(t) = (β/η) * (t/η)^(β-1) * exp(-(t/η)^β)

其中，η为尺度参数，表示分布的中心位置；β为形状参数，表示分布的形状。

估计威布尔分布的参数可以使用最大似然估计法。给定一组样本数据，最大似然估计的步骤如下：

1. **计算对数似然函数：**

L = ∑[log(β/η) + (β-1) * log(t/η) - (t/η)^β]

2. **对对数似然函数求偏导并令其等于0：**

∂L/∂η = 0
∂L/∂β = 0

3. **求解偏导方程组，得到参数估计值：**

η = (∑t^β / n)^(1/β)
β = (∑(t/η)^β * log(t/η)) / ∑(t/η)^β

**代码块：**

import numpy as np
from scipy.stats import weibull_min

# 样本数据
data = [10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50]

# 参数估计
shape, scale = weibull_min.fit(data)

# 参数估计值
print("形状参数：", shape)
print("尺度参数：", scale)

**逻辑分析：**

该代码使用 `scipy.stats.weibull_min` 模块中的 `fit` 函数估计威布尔分布的参数。`fit` 函数采用最大似然估计法，输入样本数据后返回形状参数和尺度参数的估计值。

**2.2 部件失效率和可靠性评估**

飞机部件的失效率是指在给定时间间隔内部件发生故障的概率。威布尔分布可以用来评估部件的失效率：

λ(t) = (β/η) * (t/η)^(β-1)

部件的可靠性是指在给定时间间隔内部件正常工作的概率。可靠性与失效率的关系为：

R(t) = exp(-∫[λ(t)dt])

**代码块：**

import numpy as np
from scipy.stats import weibull_min

# 参数估计值
shape = 2.5
scale = 10

# 失效率计算
time = np.linspace(0, 50, 100)
failure_rate = shape / scale * (time / scale)**(shape - 1)

# 可靠性计算
reliability = np.exp(-np.cumsum(failure_rate) * (time[1] - time[0]))

# 绘制失效率和可靠性曲线
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(time, failure_rate, label="失效率")
plt.plot(time, reliability, label="可靠性")
plt.xlabel("时间")
plt.ylabel("概率")
plt.legend()
plt.show()

**逻辑分析：**

该代码根据估计的参数值计算部件的失效率和可靠性。它使用 `numpy` 库生成时间序列，然后使用威布尔分布的公式计算失效率和可靠性。最后，它绘制失效率和可靠性曲线。

**2.3 飞机部件寿命预测**

威布尔分布还可以用来预测飞机部件的寿命。部件的寿命是指部件发生故障之前的工作时间。部件寿命的分布函数为：

F(t) = 1 - exp(-(t/η)^β)

部件寿命的中位数为：

t_m = η * (log 2)^(1/β)

**代码块：**

import numpy as np
from scipy.stats import weibull_min

# 参数估计值
shape = 2.5
scale = 10

# 寿命中位数计算
median_life = scale * (np.log(2))**(1 / shape)

# 打印寿命中位数
print("寿命中位数：", m