威布尔分布参数估计：掌握两种关键方法，提升可靠性分析

# 1. 威布尔分布简介**

威布尔分布是一种非对称概率分布，常用于描述寿命、失效时间和故障率等数据。其形状参数β和尺度参数η决定了分布的形状和中心位置。

**形状参数β：**
- β>1：分布右偏，失效率随时间增加而增加
- β<1：分布左偏，失效率随时间增加而减小
- β=1：分布为指数分布

**尺度参数η：**
- η表示分布的中心位置，即特征寿命
- η越大，分布越向右移动，失效率更低

# 2. 威布尔分布参数估计方法

威布尔分布的参数估计是可靠性分析中的关键步骤，它直接影响后续的可靠性评估和预测。本章将介绍两种常用的威布尔分布参数估计方法：最大似然估计法和最小二乘法。

### 2.1 最大似然估计法

#### 2.1.1 原理和推导

最大似然估计法是一种基于似然函数的统计方法，其目标是找到一组参数值，使似然函数达到最大值。对于威布尔分布，其似然函数为：

L(α, β) = ∏_{i=1}^n f(x_i; α, β)

其中：

* α 为形状参数
* β 为尺度参数
* x_i 为第 i 个样本数据

对似然函数取对数，得到对数似然函数：

l(α, β) = ln L(α, β) = ∑_{i=1}^n ln f(x_i; α, β)

对对数似然函数分别对 α 和 β 求偏导，并令其等于 0，即可得到最大似然估计值：

∂l/∂α = 0
∂l/∂β = 0

求解上述方程组，得到最大似然估计值：

α̂ = (1/n) ∑_{i=1}^n ln(x_i/β)
β̂ = (1/n) ∑_{i=1}^n x_i exp[-α̂ ln(x_i/β̂)]

#### 2.1.2 算法实现和案例分析

最大似然估计法可以通过迭代算法来求解，例如牛顿-拉夫逊法。下面给出一个 Python 代码示例：

import numpy as np

def weibull_mle(data):
    """
    最大似然估计威布尔分布参数

    参数：
        data: 样本数据

    返回：
        α̂: 形状参数估计值
        β̂: 尺度参数估计值
    """
    n = len(data)
    alpha_init = 1.0
    beta_init = np.mean(data)

    for _ in range(100):
        alpha_old = alpha_init
        beta_old = beta_init

        alpha_init = (1/n) * np.sum(np.log(data/beta_old))
        beta_init = (1/n) * np.sum(data * np.exp(-alpha_init * np.log(data/beta_old)))

        if abs(alpha_init - alpha_old) < 1e-6 and abs(beta_init - beta_old) < 1e-6:
            break

    return alpha_init, beta_init

# 案例分析
data = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100]
alpha_mle, beta_mle = weibull_mle(data)
print("形状参数估计值：", alpha_mle)
print("尺度参数估计值：", beta_mle)

### 2.2