威布尔分布的广泛应用：从电子产品到机械系统，全面提升可靠性

# 1. 威布尔分布简介**

威布尔分布是一种广泛应用于可靠性工程的概率分布，它描述了失效时间或寿命数据。威布尔分布的形状参数α决定了失效率随时间的变化模式，而尺度参数β表示失效的特征寿命。

威布尔分布的概率密度函数为：

f(t) = (α/β) * (t/β)^(α-1) * exp(-(t/β)^α)

其中：

* t：失效时间
* α：形状参数
* β：尺度参数

# 2. 威布尔分布的理论基础

### 2.1 威布尔分布的概率密度函数和累积分布函数

威布尔分布是一种连续概率分布，其概率密度函数 (PDF) 为：

f(x; λ, β) = (β / λ) * (x / λ)^(β - 1) * exp(-(x / λ)^β)

其中：

- x 是随机变量
- λ 是尺度参数，表示分布的中心位置
- β 是形状参数，表示分布的形状

威布尔分布的累积分布函数 (CDF) 为：

F(x; λ, β) = 1 - exp(-(x / λ)^β)

### 2.2 威布尔分布的参数估计

威布尔分布的参数 λ 和 β 可以通过以下方法估计：

**最大似然估计 (MLE)**

MLE 是一种参数估计方法，通过最大化似然函数来估计参数。对于威布尔分布，似然函数为：

L(λ, β) = ∏[f(x_i; λ, β)]

其中 x_i 是样本数据。

通过对似然函数求偏导并令其为零，可以得到 λ 和 β 的 MLE 估计值：

λ̂ = (1 / n) * ∑x_i
β̂ = (n / ∑(x_i - λ̂)^β)

**最小二乘法 (OLS)**

OLS 是一种参数估计方法，通过最小化残差平方和来估计参数。对于威布尔分布，残差平方和为：

RSS = ∑[(F(x_i; λ, β) - y_i)^2]

其中 y_i 是样本数据中对应的 CDF 值。

通过对 RSS 求偏导并令其为零，可以得到 λ 和 β 的 OLS 估计值：

λ̂ = (1 / n) * ∑[x_i * (1 - F(x_i; λ̂, β̂))]
β̂ = (n / ∑[(x_i - λ̂)^β * log(F(x_i; λ̂, β̂))])

**参数估计的代码示例**

以下 Python 代码示例演示了如何使用 MLE 估计威布尔分布的参数：

import numpy as np
from scipy.stats import weibull_min

# 样本数据
data = [10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50]

# MLE 参数估计
params = weibull_min.fit(d