Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，227埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类具Dirichlet边界条件的二阶线性微分方程的解Bernstein多项式基H.M. Ahmed*埃及开罗赫勒万大学工业教育学院数学系沙特阿拉伯沙格拉沙格拉大学理学院接收日期：2013年2月14日;修订日期：2013年7月17日;接受日期：2013年2013年9月5日在线发布本文给出了在B-多项式（Bernstein多项式基）中求解Dirichlet条件下二阶多项式系数线性微分方程的一种算法。该算法首先在闭区间[0，1]上用B-多项式展开期望解，然后利用B-多项式与其对偶基的正交关系确定展开系数，从而构造解。在整个程序中使用基质制剂。然而，精度和效率取决于B-多项式集合的大小，并且与求解微分方程的正交多项式相比，该过程要简单得多。用该方法求解了五个线性方程和一个一阶非线性方程，精确解和近似解之间具有良好的一致性.此外，该算法提高了传统方法的精度和效率，用于解决依赖于更复杂的数值技术的微分方程。这一过程具有很大的潜力，可以在更复杂的系统中实现，那里除了近似之外没有精确的解数学潜规则分类： 42C10; 35F30; 65L10; 65L60; 35K20？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍*地址：埃及开罗赫勒万大学工业教育学院数学系。电子邮件地址：hany_195@frcu.eun.eg。同行评审由埃及数学学会负责B-多项式（Bernstein多项式基）最初是在区间[a，b]上的连续函数f（x）的逼近中引入的（见[1]），. nb-xn-i x-aiB n;ixib-an;i 0; 1;. ;n;1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.007制作和主办：Elsevier关键词特殊正交函数的傅里叶级数;常微分方程边值问题;二阶抛物型方程非线性一阶微分方程Bernstein多项式;Galerkin方法228H.M. 艾哈迈德P它们形成次数小于或等于n的代数多项式空间的基，但它们不是正交的。这些基础提供了Weierstrass定理的证明，即区间上的连续函数可以用足够高次数的多项式逼近任何指定的公差（见[1，2]）。它是一个广泛使用的基础，由于良好的性质，如递归关系，对称性质，并作出划分的单位（见，例如[3这些性质使它们成为逼近理论和计算机辅助几何设计（CAGD）中最常用的基础[1，8，9]。B-多项式的性质提供了对其几何行为的有价值的洞察，并作为CAGD[8]中的Bézier曲线和曲面的基础赢得了广泛的接受。在CAGD中，通常需要获得对更复杂函数的多项式逼近，定义在有限域上。近似方案通常必须包含某些基本特征，例如将边界值和/或导数插值到指定阶数;随着近似次数的增加而保证收敛;满足近似误差的规定界限;计算效率和数值稳定性;以及以与CAGD约定兼容的形式输出结果（例如， Bernstein-Bézier表示）。 B-多项式是非常有用的数学工具，因为它们被精确定义，在现代计算机系统上快速计算，并且可以毫无困难地进行微分和积分。在文献中存在许多近似方法，通过使用正交多项式来数值求解各种类型的微分方程（例如，参见[10用B-多项式求解不同类型的微分方程有很大的兴趣（见，例如，[17，18]）。Farouki和Goodman[19]证明了B -多项式在Cn（区间[a，b]上所有n次多项式的空间的非负基的集合）中具有最优稳定性，在这个意义上，不存在其他非负基给出比它更小的系统条件数。此外，他们指出，尽管它不是唯一最优的，但没有其他共同使用的基础享有这种区别，它是不确定其他可能的最优稳定基函数（参数求值、细分、微分、交点等）通过线性插值的迭代序列（参见[23Farouki和Rajan[6]成功地为几何建模算法中所需的所有基本多项式程序开发了Bernstein公式：多项式算术运算，多项式的替换，最大公约数的确定以及变量的消除，他们评论说这些Bernstein公式基本上和他们熟悉的幂公式一样简单。Boyd[27]证明了Bernstein基对于检验截尾切比雪夫级数形式的N次多项式在其标准区间上是否无零具有重要作用。我们讨论了与B-多项式有关的新公式，这些公式有许多有用的用途。本文给出了将满足Dirichlet条件的二阶线性微分方程的数值解表示为B-多项式的线性组合的新方法该方法利用了区间[0，1]上B-多项式基集的B-多项式的基底消失，除了在x=0的第一个多项式，它等于1，以及在x=1的最后一个多项式，它也等于区间[0，1]上的1。这提供了更大的灵活性，其中在区间的端点处施加边界条件。在许多应用中，考虑次数小于或等于n的B-多项式的矩阵公式这些方法简单易行，并在本文中应用于求解微分方程区间上n次B多项式的集合构成连续（n+1）多项式的完全基在下面的部分中，我们将解释该过程并定义多项式基。2. 多项式基n次B多项式形成[0，1]上的完全基，它们被定义为：. n我将共享有用的性质和算法，我们与伯恩斯坦形式。此外，还存在非正性（例如，切比雪夫）方法失败，以说明积极性的重要性，这样的问题经常发生在计算化学，例如。本文提出并实现了一种基于Bernstein多项式基及其对偶的二阶微分方程的数值算法，该算法通过逼近B-多项式的解来求解二阶微分方程。对这种多项式感兴趣的动机是，许多物理和数学问题的理论和数值分析非常需要将任意多项式或其导数和矩展开为一组B多项式（见[6，20它们在某些数学物理问题中很重要;例如，在CAGD中，一个或两个变量的（向量值）函数的设计，即，曲线和曲面，而不是先验指定的函数的近似。在这种情况下，贝塞尔曲线和曲面公式-存在（n +1）n次多项式，并且为了方便，我们设置Bi，n（x）=0，如果i< 0或i> n。也可以使用递归定义来生成此区间上的B多项式，因此可以将i次n次B多项式写成Bi;nx1-xBi;n-1xx Bi-1;n-1x：2：2n阶B多项式的导数是n-1阶多项式，由下式给出：DDBi;nxnBi-1;n-1x-Bi;n-1x;Ddx：2：3我们也有Bi;n=0;Bi;n= 1;di;n=2：4每个B-多项式是正的，并且所有B-多项式的和对于属于中的参数多项式表示，interval [0，1]，即n1/4 Bi;n1. blog这很容易表现出来Bernstein的基础上，为分析提供了强大的自然语言解析光滑度和边界等基本几何特征，并执行各种基本几何任何给定的n次多项式都可以展开为基函数线性组合的项[[26]，公式（2），第3页]Bi;n=10xi 1-xn-i;06i6n：2：1二阶线性微分方程的解2292XX-XXJ --X H8>>ðÞ ¼k;i2Ci Bi;nx;nP1：Hk;in;m;r;ð n þ m þ r—kþ1Þk ð m þ r þ i—kÞ!我的天啊！.-是的 Σ¼你好。 Σ×Xn01/4.不！国王！我任何一组具有这些性质的函数被称为区间[0，1]上的单位分割。B样条具有类似的特性-H1n;m;r。不！国王！K-K-1型直升机在大多数计算机辅助编程中， 设计 和 很多问题， 例如，时间相关问题[28]，多体微扰理论和inm r-k 1km r i-k 1！你好！[29，30]，Hartree-Fock计算和连续问题[31，32]，计算静态极坐标的非齐次二阶微分方程H2n;m;rn 你好！国王！inm r-k 1km r i-k 2！你好！类氢状态的可化性[33]，在样条基上通过Slater积分的细胞算法进行积分，与传统方法ðð1þk-mÞ2ðn-1Þ2þiðnþrþ2Þ2×n-1 × n-3×n-1;-inr32k-m[34]第30段。Saperstein和Johnson[35]在综述中提供了关于B样条应用的更详细讨论。Bernstein基的对偶（见[36]）的特征在于：其中（a）n= C（a + n）/C（a）。证据利用引理1和推论1，我们得到：1 Bx Dx。i<$k;12：50xmDpBp联系我们kp;nði-kþ1ÞmBxi; n0k;ni;k0;ii;nKk¼0ðnþ1Þmi-km;nm和Jüttler[36]导出了显式表示nDj;nxaj;kBk;nx;06j6n;2：6 nk¼0对于对偶基函数，由系数定义第1页第 2页第11页现在，公式（2.10）将在p=0时得到证明，另外两种情况可以用类似的方法证明。每个k次的Bernstein基函数n，可以通过使用（nk）倍度提升（参见[6]）在n次的Bernstein基中表示，<吉尔-吉列尔斯克nnJK最小值1/4.ni1。 n-i.ni1。n-in- jn- jn-k个n-k个Xs-kBi;k xj0在下文中，我们提出了应用第3哪里di k; s.k.s-kS-1时间：2012年2月13日J引理1. 设Bi，n（x）是第i个n次B-多项式，则i jijDpBpx然后，借助于（2.12）式，当p=0时，关系式（2.11）取形式xð Þ¼Ji; n10;nk¼0K1;ni-k;n-pk12;n.. 2ΣxmBi;n xi1mðn þ1Þmj¼0 dimnm;nmr其中，kk<$1;kk<$1 - 1n和kk¼-1nn-1K.Biþjþm;nþmþrx证据对于p=0，1的两种情况，没有什么需要证明的。根据（2.3），很明显，D2 Bi;nxn DBi-1;n-1 x- DBi;n-1 x;2：8将 式 （ 2.13 ） 代 入 式 （2.14 ） ， 收 集 类似 的 项 并 使用dik;s0，如果j<0或j>s k，经过一些处理，可以得到再次使用公式2.3，公式2.8采用公式2.7的形式，p= 2，引理1的证明完成。H恩姆布尔xm Bi;nxk¼00k;i n;m;r推论1. 不难看出，类似地，通过使用关系式（2.11），其中p = 1，2，以及关系式（2.12），方程（2.11）式（2.10）在p = 1，2时可以被证明，这就完成了定理1的证明。HxmB 1998年，美国海军陆战队第一舰队第二舰队第二舰队第一舰队第二舰队第二舰队第一舰队第二舰队第一舰队第二舰队第二舰队第一舰队第二舰队第二舰队2019 -06-22 00：02：00i; n定理1.ðnþ1Þmim;nm备注1. 不难看出，di;k;p<$0;N=1;k=1;p = 1;N= 2;k=1;p=1;nXmrðpÞðpÞ>6i-6iNNN-1di; kk¼006i6n;m;rP 0;12：10m哪里2ik;ik;iPx>：aj; k¼2i：D J 2019 -06 - 2201：01：02阿吉什Z230H.M. 艾哈迈德2012年2月15日二阶线性微分方程的解231k;in;iHX>>的;不Xn;kn; k¼11X1=其中dk，i=1，k=i，并且dk，i=0，k，i。此外，人们可以注意到，Hpn;m;r=0;kim-p或k>impr：<2012年2月16日推论2.Z10N;m;s-m;n;N≤ sxi;NxmDpB用一种简单的方法建立由系数ai计算它们的一种方法是调用一个很好的自动例程来计算它们，这不会是昂贵的问题，因为典型的用户只希望他的问题的解决方案精确到某个地方。式（3.1）的近似解可以写为：XNyNx1/4p¼0; 1; 2;sPm; 06n6Ns：12：17N证据 利用定理1，我们得到：其思想是简单地使微分方程Ly N（x）= f（x）中的误差通过使其正交于（D1，N（x），. . ，DN-1，N（x）），并假设yN（x）满足边界条件（3.2），则得到以下等式：会议举行xm Dp Bi;NxNk¼0pk;i N;m;s-m<$Bk;N<$s<$x<$;sPm;Nx-fx;Dn;N联系我们1½LyNx-fx]Dn;N x然后使用（2.5）给出Z1n;i0n¼ 1;. ; N-1;N3：4xm DpBi;N0xn;N≤sN;m;s-m;06n6Ns;和yN0A;yN1B：3： 5这就完成了推论2的证明。H3. 二阶常系数线性微分方程的求解本节讨论二阶线性常微分方程将公式3.3代入公式3.5，使用公式2.4，得到两个公式：（3.5）确定了系数 a0=a， aN=b。根据公式（2.6）和（2.17），方程（2.17）（3.4）采取形式N-1a n;ka k<$b n;n <$1;.. . ; N-1;N3：6k¼1哪里其形式X22a¼cHpN;0;0;9>>Lyxp¼0cpDp yxf x;x20;1;3：1n;kpp¼0n;kXNR1>Dirichlet边界条件y =0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000bn¼-aan;0-ban;Nn1/4 an;i fi;fi¼0fxBi;Nxdx：2013年3月7日其中f（x）是给定的源函数，cp（p=0，1，2），a，b是常数.很好地知道，用一种近似当量（3.6）可以写成矩阵形式AN aN¼ BN; 3：8方法（例如， Galerkin，Tau，Collocation），并满足于在任何近似解中的展开系数ai，如其中不1/4a1;a.... ;a]和B=[b，.. . 、NyNxai/ix;1/4其中{fi（x）}是选择的基，一旦它们以良好的方式形成，所使用的近似方法的效率和精度取决于yN（x）收敛到问题的真解，如O（10-k），k>0，所选择的基组的大小和所提出的方法。建立由系数ai满足的线性代数方程组（例如，见[11，13]）。对于适用于物理问题的微分方程，通常可以从一般形式开始，并迫使该形式拟合问题的物理边界条件。这种方法是可能的，因为微分方程有一个且只有一个解，即，解决方案是独一无二的。Xai Bi;Nx;NP2：3：3NNN-1N232H.M. 艾哈迈德b N-1]。因此，系数a1，. . ，aN-1是通过求解得到的。系统（3.8）备注2.根据等式（2.15），我们可以看到矩阵A N，N>6变成了带状矩阵，带宽为5，见图2。1，[[37]，定义6.28，p.406]，这意味着代数系统（3.8）是稀疏的，因此随着系统大小的增加，计算工作量的节省也会增加在这一点上，使用所提出的谱方法来求解二阶常微分方程将需要求解代数方程组。在这种情况下，关于底层矩阵AN的信息，例如谱半径和条件数将非常有用。条件数Cond（AN）和AN的谱半径q（AN）由Shen和Tang定义[38，p.85]所建议的算法选择fi（x）=Bi，N（x）条件A最大值j;q=A最大值j;（06i6N），重要的问题是，jkminjNmax二阶线性微分方程的解231NNN2 NXN其中，E=pHpN;0;0N-1，p=0，1，2，则p¼0pN其中a0= aN= 1，并且系数a1，.. . ，N-1可以是=微分方程的导数在舍入误差的传播中起着最重要的作用。E<$2n的条件数与N可以通过使用所获得的数值公式如图2表1的结果。从图中可以看出。 2的条件E2N0： 007N2;对于NP 256：因此，鉴于这一讨论，可以推导出，条件数的AN的行为类似于O（N2）的大值N。图1矩阵AN的整个结构的图，N>6，它是一个带状矩阵，带宽为5。哪里jkmaxj 1/4 maxfj kj：测得的AN-kI= 0g;和jkminj 1/4 minfj kj：测定AN-kI/4 0g：例1. 考虑以下等式Lyx½D21]yx fx;fxx2e-x;0x1;y= 0.001y= 1.001;2013年3月9日其在给定Dirichlet边界条件下的精确解由下式给出：yx1e-x1x2csc1½2e-2sinx-esinx-1]：如果矩阵AN被写成22e2013年3月10日一1/2cE2000N1cE/2000/2001;p¼0n; kn;k¼1式（3.9）的近似解可以写成：XNyNxk¼0矩阵P1cEpbc系统（3.8）的条件数（见[13，39]）。这这意味着矩阵E2，这是由最高的通过求解线性系统来计算，AN aN¼ BN; 3：12哪里 的元素 两个矩阵A N<$A n;k<$N-1和B =[b，.. . ，b]T具有形式n;k¼1条件数N 1N-1N2a¼H2N;0;0H0N;0;0;9>0.06n;kn;kn;kXNRB 1/4-a-aaf;f¼1 x2e-xBx0.050.04nn;0n;N1/4n;i 我我0i;N2013年3月13日0.030.020.01N200 400 600 800 1000分别在求解矩阵方程（3.12）之后，展开系数a1，a2，.. . ，aN-1，并代入式（3.11）以确定微分方程（3.9）的近似解。微分方程的解使用17个B多项式得到方程（3.9） 在这图 2条件数随矩阵A N阶的变化，N> 16。具体示例，具有7、8、.. . ，17个B多项式，各个解之间的差为10-k阶，表1 矩阵E的条件数为2。N纳克ŒŒkŒCon dðEð2ÞÞCon dðEð2ÞÞ=N2最小最大N N169.86961.31603· 1021.3342· 105.20867· 10-2329.86965.98449· 1026.0356· 105.92145· 10-26426.90742.71378· 10310.0856· 102.4623· 10-212835.78611.20627· 10433.9927· 102.07475· 10-2256109.2257.17755· 10465.7137· 101.00271· 10-2512234.7824.36885· 105186.081· 107.09843· 10-31024305.8642.33159· 106762.298· 107.26984· 10-3p Nak Bk;Nx;NP1;3：11232H.M. 艾哈迈德Xp1-E¼-X>>的;-整数和c是常数，即，L¼2C xmpDp.an;ifi;n ¼ 1;. N-1;an;k<$2Hn;k<$N; 0;0 3Hn;k<$N; 0;0Hn;k<$N; 0;0;>==bN-1]。因此，系数a1，. . ，aN-1是通过求解得到的。系统（4.6）。Þ¼2 2pn; kppk = 5，6，.. . ，15，即，精确解和近似解之间的绝对差减小，几乎达到10- 15的数量级，这表明近似解是极好的。因此，多项式的数量被选择为17，以获得所需的精度。备注3.在例1中，如果将给定的边界条件替换为y（0）=y（1）=0，则式（3.9）中微分方程的精确解由下式给出：4. 对更一般问题的在本节中，描述了对所提出的方法的扩展，以求解具有多项式系数的二阶微分方程。考虑二阶线性微分方程2LyxQxDpyxfx;4：1p¼0yx1e-x1x2-1cosxCSC 12ε cos1- 4=eε sinx;采取以下形式服从边界条件（3.2），其中Qp（x），p=0，1，2，是已知的 多 项 式 。 在 不 失 任 何 一 般 性 的 情 况 下 ， 我 们 假 设Qp=0;1;2，其中m p是p，pp¼0p式（4.1）的近似解可以写为：XNXN1/4yNx1/4并选择相同数量的多项式来获得相同的期望精度。实施例2.考虑一个更复杂的微分方程，这是一个临界阻尼谐振子，以证明B多项式是强大的近似-使溶液与所需的精确度相匹配。所考虑的方程其中a0= a，aN= b。 这个想法只是为了使微分方程Ly N（ x） = f（ x） 中 的 误 差 通 过 使 其 正 交 而 变 小到（D1，N+s（x），. . . 、DN-1，N+s（x）），哪里s=max06i6 2mi，则以下等式成立Z1LyN1/2LyNx-fx]Dn;Nsxdx0;0是Ly=1 /2D2/ 3D 1]y= 1/2cosx;0x 1;y=0;y= 1;其精确解由下式给出：n¼ 1;. ;N-1：14：30根据公式（2.6）和（2.17），方程（（4.3）采取形式XN-1k¼1a n;ka k<$b n;n <$1;.. . ; N-1;N4：40yxc1e-x=2c2e-x11 3sinx- cosx10哪里9其中c1¼1010.1-ecos1p3sin1;c21 .一、pe3esin1-ecos1。an;k¼2p¼0cHpN;m;s-m;>式（3.14）的近似解可以写成：XNsR1>如（3.11），则系数a1，. . ，则N-1可以通过下式计算：求解线性系统，bn¼-aan;0-ban;Nn1/4 an;ifi;fi¼0fxBi;Nsxdx：2014年4月5日AN aN¼ BN;3：16哪里 两个矩阵A N<$A n;k<$N-1的元素和B=[b，.. . ，bI don’我没有表格n;k¼1AN aN¼ BN; 4：6N 1N-1其中aN-1;aa;. ;aT和B=[b，.. . 、ð2ÞNð1Þð0Þ9不N<$n;k<$n;k<$11/2N-1]N 1b ¼Xaf;f¼R1cosxBxn1/4n;i 我我0i;N2013年3月17日备注5.根据关系式（2.16），我们可以看到，当s分别备注4.所提出的Bernstein方法给出了一个对角矩阵，但Chebysheve 方法 给出了 一个三 对角矩 阵，如 Gottlieb 和Orszag[40]以及Shen实际上，切比雪夫伽辽金法右侧的必要积分可以通过快速余弦变换来完成，以产生O（NlogN）操作的成本。所示的计划需要积分的f（x）与伯恩斯坦基，成本O（N2）的操作，如果做数值求积。增加，而左下零元素的数量当r=max 0 6j6 2m jmin 0 6j6 2m j增加时，N减小;此外，N增加得越多，则A N的零元素的数量增加得越多，这意味着计算工作量的节省随着系统大小的增加而增加。实施例3.考虑以下具有多项式系数的二阶微分方程，以证明B-多项式可以有效地逼近解 达到所需精度Lyx1 /2xD2-x2]yx1 /20;06x61;y= 0;y=100%;2013年3月14日1-pe2014年4月7日并且边界条件确定为a0=aN=0。这过程导致Bbn¼ai Bi;Nx;NP2;4：2二阶线性微分方程的解233n;kn;kn;kn; k其精确解由y（x）= xe x-1给出。式（4.7）的近似解可写为：XNyNxai Bi;Nx;4：81/1其中a N= 1，并且系数a1，.. . ，aN-1可以通过求解线性系统来计算，AN aN¼ BN; 4：9其中元素 两个矩阵AN<$An;k<$N-1和B =[b，.. . ，b]T具有形式n;k¼1N 1N-1a<$H<$2H<$N;1;0H- H<$0H<$N ; 1;0H- 2H<$0H<$N ; 0;1H;）bn¼-an;N;分别2014年4月10日在图3中，我们可以看到矩阵AN，N>7，成为带状矩阵，带宽为5，这意味着代数系统（4.9）是稀疏的，因此随着系统大小的增加，计算工作量的节省也会增加。在例1 -3中，给定的边界条件y（0）= a，y（1）= b确定了系数a0 = a，aN = b。借助于两个关系式（2.6）和（2.17），矩阵AN和向量BN以简单的方式确定。最后，方程AN AN=BN求出系数a1，... . ，aN-1，找到微分方程的近似解。 的精确解和近似解之间的绝对差接近10- 16阶，产生非常精确的解。然而，所需的解决方案的精度取决于所选择的基组的大小。典型的运行给出了系数的值，a1，... . ，aN-1，N=17，其在表2用于实施例1此外，表3列出了y（x）-yN（x）N = 2，. . ，20。例子1<为了说明这一点，我们考虑下面的例子。实施例4.考虑以下二阶微分方程Ly =0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000y=0;y=1; y2014年4月11日其精确解为y（x）=x/（x2+1）。式（4.11）的近似解可 以 写 成 式 （ 4.8 ） ， 其 中 a0= 0 ， aN= 1/2 ， 系 数a1，. . 、可以通过求解线性系统来计算N-1AN aN¼ BN; 14：12图3矩阵AN的整个构造的图，N>7，哪里 的元素 的 两个矩阵A不1/4a空对地-1和对于实施例3，变成带状矩阵，并且具有带宽五.BN=[b1，. . ，bN-1]表2未知膨胀系数ai，其中N=17。示例1-3中的B多项式我我3456789101112131415161.075851.093501.107281.117171.123241.125571.124251.119401.111171.099701.085171.067751.047621.02497-0.0416159-0.0493913-0.0545945-0.0574895-0.0583265-0.0573429-0.0547639-0.0508029-0.0456619-0.0395320-0.0325935-0.0250163-0.0169601-0.008574730.07330540.1038980.1380860.1762260.2187080.2659570.3184410.3766740.4412160.5126840.5917540.6791670.7757350.882353科厄齐埃我实施例1一实施例2一实施例3a我11.02900-0.01722160.021640021.05432-0.03099040.0459849表3最大逐点误差，N=2，3，.. . ，20。N实施例1实施例2实施例323.0· 10-22.0· 10-28.0· 10-231.2· 10-26.0· 10-32.5· 10-244.0· 10-31.5· 10-47.0· 10-351.0· 10-31.0· 10-41.4· 10-362.0· 10-42.0· 10-52.5· 10-474.0· 10-52.5· 10-64.0· 10-585.0· 10-64.0· 10-85.0· 10-696.0· 10-71.4· 10-86.0· 10-7106.0· 10-82.0· 10-96.0· 10-8117.0· 10-91.5· 10-106.0· 10-9125.0· 10-102.0· 10-125.0 ·10-10135.0· 10-114.0· 10-134.0 ·10-11143.0· 10-125.0· 10-142.5 ·10-12152.5· 10-133.0· 10-152.0 ·10-13161.5· 10-142.0· 10-161.2 ·10-14172.5· 10-152.0· 10-168.0 ·10-16182.0· 10-151.5· 10-164.0 ·10-16192.0· 10-151.5· 10-164.0 ·10-16202.0· 10-151.5· 10-164.0 ·10-16234H.M. 艾哈迈德有表格Nn;kn;k1二阶线性微分方程的解235n; kn;k¼1n; kn; kn; kn; k表4 示例1-4中的矩阵AN的条件数NŒkminŒkmax电导率（AN）电导率（AN）/N2实施例1168.86960· 1001.31625· 1021.48400· 105.79687· 10-2328.86960· 1005.98919· 1026.75249· 106.59423· 10-2643.01246· 102.71451· 1039.01095· 102.19994· 10-21281.10440· 10212.06360· 1031.09233· 1026.66703· 10-32568.74559· 107.20309· 1048.23625· 1021.25675· 10-25122.79832· 104.46244· 1051.59468· 1046.08324· 10-210245.37839· 102.34866· 1064.36685· 1044.16456· 10-2实施例2161.98567· 102.88155· 1021.45117· 105.66864· 10-2321.98642· 101.25990· 1036.34255· 106.19390· 10-2642.11559· 105.57280· 1032.63416· 1026.43105· 10-21282.97515· 1022.44433· 1048.21581· 105.01453· 10-32561.77650· 1021.44571· 1058.13800· 1021.24176· 10-25121.52831· 1028.89440· 1055.81976· 1032.22006· 10-210245.13529· 104.68277· 1069.11880· 1048.69637· 10-2实施例3166.03573· 1004.14702· 106.87078· 1002.68390· 10-2326.00934· 1001.46560· 1022.43887· 102.38171· 10-2645.88218· 1005.93371· 1021.00876· 1022.46280· 10-21288.34951· 1004.34380· 1035.20246· 1023.17533· 10-22565.35838· 1003.12400· 1045.83011· 1038.89605· 10-25128.68441· 1002.19137· 1052.52333· 1049.62575· 10-210246.68079· 1001.50121· 1062.247705· 1062.14296· 10-1实施例4162.18781· 1009.74503· 104.45424· 101.73994· 10-1323.24957· 1004.85242· 1021.49325· 1021.45825· 10-1642.97833· 1004.85242· 1027.80483· 1021.90548· 10-11282.58200· 101.07423· 1044.16045· 1022.53934· 10-22565.49807· 104.80704· 1048.74314· 1021.33410· 10-25123.19689· 102.09316· 1056.54749· 1032.49767· 10-210242.02552· 101.60055· 1067.90190· 1047.53584· 10-2a<$H<$2<$N;2;0< $H<$2<$N;0;2< $H <$4<$1<$N;1;1<$H<$2<$0<$N;0;2<$;）2适合于通过近似来处理非线性方程，bn¼-1 an;N;分别2014年4月13日方程的解达到合理的精度。实施例5. 考虑到方程微分方程的解。公式4.11是用102个B多项式得到的。在该特定示例中，对于26、34、38、46、54、62、70、74、82、90、94、102个B多项式的集合，各个解之间的差为10-k阶，k分别为4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15。因此，多项式的数量被选择为102以获得期望的精度。备注6.众所周知，对于用谱方法（Galerkin，tau，配点）对算子LLy =0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000y=0;其精确解由下式给出：1yx2e-x：5：2式（5.1）的近似解可以写成：XN我们有一个条件数为O（N4），其中N是保留的近似模式的数量。这项工作提出了规范-yNxk¼0ak Bk;Nx;NP1： 5：3算法的时间复杂度为O（N2）。表4的数值结果说明了这一点。5. 求解一阶非线性常微分方程这里，a0=1/3，由初始值y（0）= 1/3指定。求内积（Ly N，Dn，N），n= 1，. . ，N，给出了非线性代数系统AN在变量a1，... . ，aN，其中矩阵5：10N236H.M. 艾哈迈德¼ ðÞ在本节中，一个例子考虑一阶非线性ANan;k微分方程，以证明B-多项式的形式;UN<$un;kN，BN=[b1，.. . ，b[商务英语Idon’我没有n;k¼1二阶线性微分方程的解237XN我-^Z1n;kn; kn; k通过使用迭代过程进行迭代，并且该过程继续n;0NN1其中，一个人是一个人。 . . ;ariT矩阵的元素n;kQN1N¼X不2n0经过八次迭代，LyN0 LyNx; tD n;Nx dx<$0; n <$1;. ;N-1;N6：4a¼H1N;0;0-H0N; 0;0acn; k0中国0c9、un; k¼n;kNcn; k; qaq;q¼1n;kn;0;kn;k;0 >==>b ¼-H1N;0;0a-ac;>;nn;000n;0; 015：50分别，其中cn;k;q20Bk;NxBq;NxDn;Nxdx：5：6a^^H1N;0;0-H0N;0;0;）非线性代数系统（5.4）可以近似求解-b^^-H-1-N;0;0-Na：2015年5月10日直到获得未知量的收敛值到这样做，考虑代数系统NNNN典型的运行给出了初始值N（0）和最终值mA;2015年5月7日aN四分 之一 ... . 其中m是所使用的迭代次数。U-1000U-1导弹具有以下形式非线性微分方程（5.1）错误是Nn; kNur-10cq¼1n;k¼1一个100-1000;的精确解和近似解之间的阶数为10- 8。非线性微分方程 希望这种方法可以扩展到其他类型的非线性方程，未来精度为10- 8级，19个B-多项式，其中，初始数据U 0是通过忽略（5.1）中的非线性项并将所提出的方法应用于微分方程来Ly=1.2x=1.2D-1]y=1.2x= 1.0;y=0.001=3;y=0.005：8到获得一个1000万美元的半个1000万美元的半个1000万美元的 . ;一个100万 美 元]。 的 初始 系数一个小的;i¼ 1; 2;. ;N，是代数系统米尔斯典型的运行给出了未知的初始值系数a19（0），在表5的第二列
我的内容管理
展开
