桁架结构优化算法的多目标碰撞体优化方法 | 计算设计与工程

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）49桁架结构设计的多目标碰撞体优化算法Ali Kaveha，AliKaveh a，Vahid Reza Mahdaviba德黑兰伊朗科技大学结构工程基础研究卓越中心Box 16846-13114，Iranb伊朗科技大学土木工程系，德黑兰纳尔马克，邮政编码。Box 16846-13114，Iran阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年9月6日收到收到修订版，2018年3月29日接受，2018年2018年4月11日在线提供保留字：桁架结构优化碰撞体优化算法Maximin方法A B S T R A C T本文提出了一种新的基于种群的优化算法来解决桁架结构的多目标优化问题。该方法是基于最近开发的单解算法提出的本作者，所谓的碰撞机构优化（CBO），与每个代理解决方案被认为是一个对象或机构的质量。在提出的多目标碰撞体优化（MOCBO）算法中，采用碰撞理论策略作为搜索过程，并将最大最小适应度过程引入到CBO中，用于对Agent进行排序。研究了一系列具有不同特征和目标函数数目的著名测试函数。为了检验该算法的精度和效率，将其结果与已有的SPEA 2、NSGA-II和MOPSO算法进行了比较。最后，对两个桁架结构算例进行了双目标优化。该算法的性能更精确，需要更低的计算成本比其他考虑的算法。此外，本方法使用简单的公式，不需要内部参数调整。©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍在现实世界的结构设计中，工程师面临的问题是从一组更适合他们目标的方案中选择他们的设计。为了对这些问题进行建模，工程师通常需要选择他们对一组方案的偏好，并利用他们表达的成对比较信息构造偏好关系判断矩阵。多目标优化（MOO）就是这样一种技术，其目的是提取一组多个和冲突的解决方案，称为帕累托最优集合，以代替单个最优解决方案（Coello Lechuga，2002;Coello，Van Veldhuizen，Lamont，2002）。这类优化问题与单目标优化（SOO）问题相比具有相当不同的在过 去 的几 年 里 ， 已 经 开发 了 大 量 的方 法 来 解 决 各种 SOO 问 题（ Deb ， 1999; Kaveh ， 2017; Kaveh ， Shojaei ， Golipour ，Rahami，2013;Guo，Wang，&Wu，2016;HassanzadehRouhani ， 2010;Nigdeli ， Bekdas， Kim ，&Geem，2015; Bilela，Mohameda，Zouhaiera，Lotfib，2016;由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：alikaveh@iust.ac.ir（A. Kaveh）。Srinivas& Deb ， 1994; Yi ， Li ， &Zhang ， 2015 和 Yi ， Wen ，&Li，2016）。这些方法通常分为两类：数学规划方法和基于人口的算法（Miettinen，1999）。第一组包括加权求和和e约束方法（ Haimes ， Lasdon ， &Wismer ， 1971; Kim de Weck ， 2006;Mousa ， El-Shorbagy ， &Abd-El-Wahed ， 2012; Zadeh ，1963），它们基于将MOO问题转换为SOO问题。另一方面，基于群体的MOO算法适用于全局搜索，因为它们能够在单次模拟运行中探索和找到搜索空间中的帕累托最优集合（Hosseini Al Khaled，2014）。近几十年来，许多受自然启发的MOO算法被提出来解决数值优化问题（Chao，Shengqiang，Xinyu，&Liang，2016; Deb，Pratap，Agarwal，Meyarivan，2002; Hu，Rong，Liang-Lin，Li-xian，2011; Ko Wang，2011）。在这些算法中，一些策略被应用到制定单目标算法搜索近似Pareto最优集。这些算法的独特目的是保持良好的传播之间的解决方案和收敛到真正的帕累托前沿。例如，在NSGA-II算法（Deb等人，2002），非支配排序方法和选择算子被纳入遗传算法。许多基于PSO的算法已经被用于解决MOO问题，其中https://doi.org/10.1016/j.jcde.2018.04.0012288-4300/©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。50A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）49<.¼：mm在 非 支 配 解 的 外 部 档 案 中 选 择 不 同 的 策 略 来 选 择 领 导 种 群（Clarke&McLeskey，2015; Hu et al.， 2011年）。碰撞体优化（CBO）是一种基于种群的进化算法，它使用物体之间碰撞定律的类比（Kaveh Mahdavi，2014）。CBO在许多约束和无 约 束 的 基 准 函 数 和 工 程 单目 标 问 题 上 都 取 得 了 良 好 的 结 果（Kaveh&Mahdavi，2015）。该算法的公式简单，不使用内存，不需要参数调整。Kaveh和Ardalani（2016）最近提出了一种基于非支配排序方法的简化多目标CBO技术，用于优化钢筋混凝土结构元件和二氧化碳的建筑材料成本。多目标优化算法在结构优化问题中的应用已引起了许多研究者的兴趣（Angelo，Bernardino，Barbosa，2015;Fragiadakis，Lagaros，Papadrakakis ， 2006;Ho-Huu ， Duong-Gia ， Vo-Duy ， Le-Duc ，Nguyen-Thoi，2018;Ho-Huu，Hartjes，Visser，&Curran，2018;Kaveh Laknejadi，2011，2013; Kaveh，Laknejadi，&Alinejad，2012; Kaveh Massoudi ， 2014; Liu ， Burns ， Wen ， 2005;Liu ，Paulino ， Gardoni ， 2016; Luh Chueh ， 2004; Mathakari ，Gardoni，Agarwal，Raich，2007）.在绝大多数桁架结构设计应用中，适应度函数基于单一评价标准。这些问题的目标是最小化给定的标准，如重量，受到一些约束，如应力，位移和动态约束。实际优化问题通常包含多个待优化目标，例如最小重量或成本、最大刚度、特定结构点处的最小位移、最大结构应变能和最大自由振动固有频率（KavehLaknejadi，2013）。这就促使研究者们在搜索空间中构造一个多目标优化问题来寻找一组折衷的解。在本文中，我们介绍了一种新的多目标进化优化算法，MOCBO，基于极大极小适应度函数，以实现在目标函数空间的多样性和收敛的采用最大最小策略对种群进行排序，然后利用CBO算法的交配机制产生新的种群。MOCBO首先使用从专用文献中获取的标准测试函数进行验证，具有两个和三个将MOCBO算法与基于遗传算法和粒子群算法的优化方法进行了比较然后，将MOCBO和MOPSO用于桁架结构的重量和位移同时优化第二部分介绍了MOO问题的概念、最大适应度函数法和CBO算法。然后在第3节中概述了所提出的算法的实施，随后是讨论所开发方法的结果的一节最后一节总结了找到X¼½x1;x2;x3;：：;xn]最小化FXf f 1 X;f 2 X;.. . ; f M X g经受gjX6 0;j<$1; 2;. ;mx最小值 6xi6x imax100万像素其中X表示具有n个未知数的变量的向量，gj表示来自m个不等式约束的第j个约束;fi（X）表示第i个此外，ximin和ximax分别是设计变量向量的下限和上限。MOO问题涉及优化一些目标，其中一个目标的减少可能导致另一个目标的增加。因此，多目标优化算法的主要目标是找到可接受的向量，使得所有目标值变得尽可能小。定义2（帕累托支配）。 （Deb，1999）：向量u =（u1，u2，. . . ，uM）支配向量v=（v1，v2，. . . ，vM），由u表示且仅当u部分小于v，即，8i2f1;2;. . . ;Mg;ui6v i^9i2f1;2;. . . ;Mg;ui： -x新¼我我在此，fit（i）表示用于该目标函数的值第i个代理。当然，一个价值高的CB会比那些价值低的CB施加更大的质量和更少的移动。这里，e是恢复系数（COR），其被定义为碰撞后两个代理的速度接近碰撞前两个代理的速度。在该算法中，该指标被定义为控制的勘探和开采率。为了实现这一点，COR从单位值线性减小到零。因此，e被定义为：1iter5itermax其中iter是实际迭代次数，iter_max是迭代的最大次数。这里，具有单位值和零值的COR分别表示全局搜索和局部搜索。在静止CB的位置中，使用碰撞之后生成的速度来. x随机数=0;i <$1;.... ;nfront（sparsity）（Kaveh Laknejadi，2011）.该方法与标准的单解CBO算法不同，它包括两个操作：i）基于最大最小值对解进行排序，将智能体推到Pareto前沿的低拥挤区域;ii）在算法中加入存档，保存Pareto前沿的非支配解。3.1. 方法以下步骤总结了实施MOCBO的主要程序。步骤1.与其他元启发式算法类似，种群的初始位置在搜索空间中以随机初始化计算为：X0¼X最小值RX最大值-X最小值;i ¼ 1;2;.. . ; N200其中X0确定第i个种群的初始值向量Xmin和Xmax分别是允许的最小值和最大值-ix i-n随机数0i; i <$n 1;.. . ; 2n其中xnew和v0i分别是第i个CB碰撞后的新位置和速度2.3. Maximin策略所提出的方法的解决方案的排名过程是基于最大最小排序方案。最大最小策略最早是由Balling（2003）在博弈论中引入的最近在文献多目标优化算法中，使用最大最小化方法代替众所周知的拥挤距离技术，因为可以实现比原始拥挤距离排序规则（Menchaca-Mendez Coello，2016; Xiaodong，2004）所考虑的更均匀分布的解决方案。让我们考虑具有M个目标函数的MOO问题，变量的值向量;R是来自均匀分布的区间[0，1]中的随机向量;N是总体数。步骤2. 对于所有总体Xi =1，2，.. . ，N，目标函数{f1（X1），f2（X1），. . ，fM（Xi）}。步骤3.首先定义一个空的外部存档，然后在每次迭代中更新它在此更新中，所有当前非支配解决方案都将插入到存档中，并且存档中的支配解决方案将被删除。由于归档文件的大小是有限的，因此应该应用第二种机制来保持此限制：首先，将目标函数空间划分为网格（超立方体），ngrid。然后，根据目标函数值定位相应超立方体的非支配解（Coello，Pulido，&Lechuga，2004）。然后，保留包含多个种群的超立方体，最接近网格的种群被保留，剩余的种群被淘汰。步骤4. 最大最小值f k 1;2;. ;每个解的 N 是com-一个有n个解的优化算法的maximin值由Eq.给出。（七）、最大值i最小值第k个解可以表示如下：步骤5. 人口的安排是在fi最小k¼最大f最小值ffixk-fixjgg7基于maximin值的升序因此，如果一个人--Max第一节;第二节. ;n;j- k i 1 ;2 ;. ;M最小值的最小值，它被分配为最佳等级。在这个等式中，最小运算符首先用于计算所有目标函数的最小值。然后，除了第k个解决方案之外，所有代理都采用从这个方程可以得出结论：（i）任何最大最小值> 0的解都是支配解，（ii）任何最大最小值为0的解都是非支配解，（iii）任何最大最小值为= 0的解都是弱支配解（Xiaodong，2004）。极大极小适应度函数适用于多目标优化的另一个特点是它的值可以用来表示非支配解的多样性。因此，不需要额外的多样性保持机制，例如小生境技术。实际上，具有较小maximin值的解决方案位于人口稀少的地区。3. 提出的多目标算法本节介绍了一种MOO算法，它是一种单一的解决方案，这种排序方法有利于算法的收敛性和稀疏性。步骤6.在该步骤中，首先将排序的群体平均分为两组：（1）排序群体的下半部分（固定组），以及（2）排序群体的上半部分（移动组）。关于基于最大最小值对种群进行排名然后，移动种群向静止种群移动，发生交配碰撞过程因此，群体的速度如CBO算法中所描述的通过等式（1）来评估（二）、步骤7.在碰撞之后，如CBO算法中所解释的那样计算每个组中的群体的速度，其中群体质量具有不同的定义。通过重塑Eq. （3）碰撞后粒子群的速度可由下式求得：8<>1evin;i¼1;. . . ;n搜索方法 该算法被命名为目标碰撞体优化（MOCBO）将CBO的公式化为算法的搜索引擎v0i¼10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001-e先生in100mri-ni<$n 1;.. . ; 2nð9ÞRithm。如前所述，多目标算法的目标是实现两个主要目标：（1）提取接近真实Pareto前沿的非支配前沿（收敛），以及（2）保持沿着所得Pareto前沿的解的多样性其中，mr i是第i个种群对的质量比（图1）。①的人。换句话说，mri是静止和移动的粒子群的质量比，其值大于1。在所提出的MOCBO算法中，这被计算为：ð6Þ52A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）49图1.一、MOCBO中的交配过程图二、MOCBO算法的流程图对1Xn+1X1对2Xn+2X2对nX2nXnA. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）49531/21/21/261/31/3P111i¼2i121211/32表1数学测试功能。函数d边界目标函数ZDT 130[0，1]F1¼x1;F2¼g1-pF1=g;g<$19Pdxi=10d-10dZDT 330[0，1]F1¼x1;F2¼g½1-pF1=g-F1 =gsin10pF1];g<$19Pd我xi=10d-10dZDT 410x12½0;1]xi2½-5;5]i¼ 2;.. . ; d.F1¼x1;F2¼g½1-pF1=g];g<$110d-1Pd1/2 x2-10cos4pxi]ZDT 610 [0，1]F1/4-expand-4xexpand-6xexpand-4x expand-4x expand-6xexpand-6;F1/4g/1- 1/2F=g/2];g/1/9/2Pd零点二十五分x=10d-1]2F111/4=2x1x21g;F21/4=2x11-x21g;F31/4=21-x11 gg100½10Pdxi-0：5F 1 ¼ 31微克铯x 1微克p=2微克铯x 2微克p=2微克铯; F 2 ¼ 31微克铯x 1微克p=2微克铯x 2微克p=2微克铯F 3 ¼ 31微克铯x 1微克p=2微克铯;DF11 223 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 68 8 9 9 10 10 1111 10 1111 1011111xi-0：5xi-0：5表2所有算法的参数设置。参数算法SPEA2NSGA-IIMOPSOMOCBO交叉概率（pc）0.90.9––突变概率（pw）1/d1/d0.5–种群数量（N）10010010050外部存档大小（nrep）100100100–自适应网格数（ngrid）––3030惯性重量（x）––0.4–表3测试函数的不同优化方法的结果的均值（和方差）问题度量算法SPEA2NSGA-IIMOPSOMOCBOZDT 1GD0.09726（0.02689）0.05625（0.00696）0.00857（0.00298）0.00490（0.00112）S0.01379（0.01302）0.00538（0.00450）0.00588（0.00068）0.00289（0.00017）SP0.93882（0.01562）0.71375（0.11560）0.99529（0.00350）0.99770（0.00061）ZDT 3GD0.05068（0.01149）0.04583（0.01206）0.01974（0.01510）0.00737（0.00158）S0.01274（0.01028）0.00951（0.00500）0.01406（0.00753）0.02064（0.00818）SP0.87266（0.00969）0.65134（0.11338）0.90142（0.01886）0.87301（0.06852）ZDT 4GD1.80204（0.60866）1.37588（0.05149）1.36851（1.19047）0.00904（0.00202）S2.76859（3.78815）0.00918（0.00212）0.01227（0.00436）0.01777（0.01754）SP0.93378（0.35639）0.76206（0.01898）1.00523（0.48230）0.99691（0.00278）ZDT6GD0.04333（0.03131）0.10794（0.09963）0.47975（1.18272）0.00513（0.01317）S0.08039（0.11257）0.19886（0.19108）0.14881（0.13069）0.00485（0.00041）SP0.96264（0.02055）0.95268（0.18296）0.94769（0.50052）0.99650（0.01259）DTLZ1GD21.62238（9.20021）7.61469（2.62614）0.00782（0.00137）0.09859（0.15295）S40.56597（15.3632）0.34408（0.13343）0.01382（0.00098）0.14898（0.28486）SP0.58251（0.30189）0.98467（0.19702）0.99180（0.01315）0.99989（0.00013）DTLZ2GD0.05407（0.01143）0.01693（0.00374）0.08344（0.00658）0.00697（0.00035）S0.04520（0.01610）0.03553（0.00288）0.04442（0.00544）0.01054（0.00562）SP0.99957（0.00113）0.97136（0.02561）0.95127（0.01891）0.99999（0.00005）DTLZ4GD0.06809（0.01545）0.01506（0.00242）0.08520（0.00813）0.00999（0.00013）S0.05347（0.01112）0.03466（0.00310）0.04837（0.00825）0.02021（0.00144）SP0.98105（0.01971）0.99254（0.03651）0.96254（0.02590）1（0）表4122DTLZ112[0，1]DTLZ212[0，1]DTLZ412[0，1]54A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）49测试函数每次运行所需的平均时间（秒）问题算法SPEA2NSGA-IIMOPSOMOCBOZDT 1367.5514.140.310.1ZDT 3367.2559.437.18.1ZDT 4365.7487.942.49.4ZDT6353.8529.336.97.8DTLZ1727.41131.4264.941.5DTLZ2726.7948.9274.738.3DTLZ4719.7961.8274.525.8A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）4955TruePFMOCBO杨先生1-i;i¼ 1;.. . ;n10然后，质量比随着对秩的增加从n该方程表明，与高排名种群相比，低步骤8.在计算群体的新速度之后，如标准CBO算法中所描述的计算群体的新位置（等式2）。（6））。步骤9.从步骤2开始重复优化，直到满足终止标准。许多停止准则，如最大迭代次数或外部无改进10.80.60.40.20 - 1个0 0.2 0.4 0.6 0.8 1真实PFOF1F1（a）（b）10.90.80.70.60.50.40.30.20.10TruePFMOCBO0 0.2 0.4 0.6 0.8 1F1（c）第（1）款10.80.60.40.20真实PFMOCBO0 0.2 0.4 0.6 0.8 1F1（d）其他事项图3.第三章。真实的和由MOCBO在双目标测试函数上得到的帕累托前沿：（a）ZDT 1，（b）ZDT 3，（c）ZDT 4，（d）ZDT 6。F2F2F2F21.21MOCB0.80.60.40.20-0.200.20.40.60.81-0.4-0.6-0.856A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）49图四、在三目标检验函数DTLZ1，DTLZ2，DTLZ4上，用MOCBO方法得到了Pareto前沿的真值和结果0.60.50.40.30.20.1000.20.40.600。0.20.4F20.60.8F1F3A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）4957档案，可用于提出的方法（阿卜杜勒·卡达尔·&Baskar，2018年;马蒂，加西亚，Berlanga，Molina，2016年; Rudenko&Schoenauer，2004年）。在MOCBO算法中，为了确保所提出的算法之间的公平比较，函数评估的最大数量被认为是停止标准。所提出的MCBO算法的流程图如图所示。 二、4. 数值算例在本节中，七个基准测试函数的例子和两个良好的研究桁架结构从以前的优化文献中被用来研究所提出的方法的效率测试函数示例之前已经使用各种其他多目标算法求解，这是有用的验证了该方法的有效性和鲁棒性桁架结构的优化问题也解决了以前使用不同的单目标优化算法。算法用MATLAB语言编写结构分析采用直接刚度法。优化过程由CoreTM 2 Duo 2.53 GHz计算机执行，并且所有计算的时间以时钟时间进行评估。4.1. 性能度量在本文中，我们利用三个最重要的指标来评估所提出的MOO算法的性能，如下所示（Deb等人，2002年; Zitzler，Deb，&Thiele，2000年）：图五. 空间120杆穹顶桁架示意图，带有设计变量指示。58A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）49.X我.XX1¼MMaxMaxminmin22F最大值-F最小值小于所选算法所需的时间。 这是¼mi1我我● 代间距离（GD）：衡量真实（PF真实）和结果帕累托前沿（PF已知）之间的距离。该指标表示如下：和凹可扩展的单模型MOO问题。每个问题的变量界限和变量数（d）也在表1中描述。为了进行比较研究，这些测试也GD¼1NPFnpfi¼112第二季ð11Þ使用强度帕累托进化算法2（SPEA2）（Zitzler等人，2000）、非支配排 序 遗 传 算 法 II （ NSGA-II ） （ Deb 等 人 ， 2002;Nestoro vic′ ，Trajkov，&Garmabi，其中npf是PF中已知的非支配解的数量，di是PF中已知的解i与PF中的最近解之间的欧几里得距离。GD的值越小，表示收敛性越好。● 间距（S）：该度量提供了沿已知PF集分布的解决方案的均匀性的指示：12015）和多目标粒子群优化（MPSO）（Coello等人，2004）算法。对于这些算法，我们使用了与原始论文相同的参数设置。表2总结了这些算法和建议算法的参数设置。对于所有算法，迭代次数设置为500，这些示例是独立的优化。20倍的雾。1NPFSnpfi¼1ðdi-d¯Þ二号！2哪里民族进步阵线d¯npfi¼1di 12表3给出了使用比较算法和建议的MOCBO算法获得的三个性能指标的平均和标准划分结果。最佳平均其中di是解i和它的已知PF中最近的连续解。S值越小，所得到的非支配解分布越均匀最大扩展（MS）：该度量基于PFtrue和PFknown中观察到的极值函数值测量边界解决方案之间的距离，定义如下：每个度量和问题的结果以黑体显示。它可以可以看出，最好的结果为所有度量的ZDT 1，DTLZ 2和DTLZ 4的问题得到的MOCBO。对于其余 的 例 子 ， MOPSO 和 NSGA-II 得 到 的 结 果 在 某 些 指 标 上 优 于MOCBO。应该注意的是，所提出的算法和所选择的算法的拟合函数评估的数量分别被设置为50，000和25，000。所有算法和示例2“#31MS1/4 1 X最小值;Fi马可-马克西米连斯基;FiÞ5ð13Þ可以得出结论，MOCBO所消耗的时间其中m是目标的数量，fmax和fmin是极值由于实现了简单的非记忆公式化，在MOCBO中，i imaximin函数PF中第i个目标的值已知。Fmax和Fmin是极值图3和图4显示了真实的帕累托前沿曲线和最佳帕累托前沿曲线。我我PF中第i个目标的值为true。MS的值越大，表示实现了溶液的更好分布。4.2. 数学测试函数已经从文献中选择了具有已知帕累托前沿的几个非约束基准测试函数（Deb等人，2002; Zitzler等人，2000年）。这些例子包括四个双目标和三个三目标优化问题，具有不同的PF特性。这七个问题的公式如表1所示。在这一节中，我们分别选取了四个双目标例子：ZDT 1，ZDT3，ZDT 4和ZDT 6作为凸、不连通凸、非凸和非一致不连通非凸MOO问题。另外，三个双目标示例：DTLZ1、DTLZ2和DTLZ4分别被选择为线性可分离多模态、凹可扩展多模态用MOCBO算法分别对两个和三个目标的例子得到了eto前集。这些数字证明，MOCBO是能够找到解决方案附近的全球帕累托前沿更好的解决方案的扩散。4.3. 桁架结构实例在下文中，MOCBO的效率将在优化两个结构问题，考虑两个冲突的目标函数进行测试。基于第4.2节中的结果，可以得出结论，MOCBO，MOPSO和NSGA-II从GD，SP和MS的角度来看产生了竞争性的结果，并且这些算法所消耗的时间远远少于SPEA 2所需的时间。因此，这些问题是解决使用MOCBO，MOPSO和NSGA-II算法。人口数量被认为是1.110.90.80.70.60.50.40.30.20.1010000 30000 50000 70000 90000 110000 130000 150000重量（lb）图六、以120杆穹顶桁架为例，用MOPSO、MOCBO和NSGA-II算法生成Pareto阵面MOCBOMOPSONSGA-II位移（in）！●也记录在表4中。根据表3所示的结果，¼A. Kaveh，V.R.Mahdavi/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）4959CC>：我Rip<我2Cy3我8Cc我8C我MOCBO和MOPSO都是50迭代次数也设置为300。在结构MOO问题中，主要目标是在某些设计约束下最小化结构的重量和位移（Kaveh Laknejadi，2013）。桁架结构的MOO问题可以表示如下：求X1/4/2x1;x2;x3; 。 . . ;xn]，以最小化fW<$X<$;U<$X<$g，60; j 1; 2;. ;mgj是m个不等式约束中的第j个约束。此外，xlmin和xlmax分别是设计变量向量的下限和上限。在这项研究中，我们利用外部罚函数法考虑约束的结构优化问题作为一个无约束的问题（Deb，2000）。当某些约束在特定的解决方案中被违反时，罚函数通过取大于1的值来放大所有目标函数4.3.1. 桁架结构的设计约束根据AISC ASD（1989）规范，许用拉应力和压应力计算如下：xl最小值6xl 6xl最大值14mm其中，所有设计变量被收集在具有n的向量X鲁伊 ¼0：6FyR-I为 Ri 均p0为 Ri 60ð15 Þ未知数;W（）和U（）是分别的重量和关于R-I 根据细长比评估为：8>h。1-k2Fi. .53k-k3为K

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