离散时域区间系统中的降阶方法

阵列14（2022）100155一种适用于降阶方法Amit Kumar Choudharya，*，Praveen Kumara，Santosh Kumar Verma ba印度贾坎德邦丹巴德828123 BIT Sindri电气工程系b印度阿萨姆邦Sivasagar 785697阿萨姆邦能源研究所电子仪器部A R T I C L EI N FO保留字：离散时域区间系统阶跃响应变换技术A B S T R A C T已知用于将连续时间域转换为离散时间域以及将离散时间域转换为连续时间域的各种转换技术，其中只有两种技术在应用中被频繁使用。本文试图访问这两种技术提出了一个适当的后果，他们唯一的重要性。这两种技术的评估的基础上计算的离散时间间隔系统的降阶模型。转换后获得的近似模型导致相同的反应，结果有利于一种技术。作为一个结论，适当的转换是数学上优于另一个基于其简单性和易于计算。并附实例进行了比较。最后，本文的评估将有助于数学家，数学教育工作者和研究人员在该领域的模型降阶1. 介绍离散化是一个重要的数据处理任务，并包括许多优点;它是不太容易从小碎片数据的估计方差;正在考虑的数据量减少，因为冗余数据可以识别和忽略;提供更好的性能的规则提取。从连续时间域到离散时间域的转换有很多方法，反之亦然，可以在参考文献中访问。[1 但众所周知且容易获得的是i）欧拉正向微分法，ii）欧拉反向微分法，iii）零阶保持（ZOH）法，iv）具有频率预扭曲或双线性变换的Tustins方法，以及v）匹配的极点-零点映射。所有这些变换都属于频域。此外，时域变换是脉冲不变性和步进不变性方法。每一种转变都有其自身的实践和理论意义，彼此之间存在差异，研究时将是漫长而详尽的。同样，他们的个人研究超出了本文的范围。然而，试图提出一个适当的转换技术，其广泛的应用程序在离散时间域的降阶方法。到目前为止，据作者更适合于获得降阶模型。这就决定了本文试图通过对离散时间区间系统的降阶，基于两种变换方法的简单性和易计算性，找出它们之间令人信服的区别。此外，这种经常使用的转换技术的评估将有助于研究人员谁的高阶系统，以改善系统的性能。此外，本文并没有提供任何新的结果，但试图提供一个坚定的理由，在某种程度上直接针对这两种转换技术是要使用。在这个探索中，重点是两个经常使用的离散化技术，这是从计算的角度来看不同。第1节简要介绍了本提交文件中的讨论结果，第2节介绍了文献调查，以了解使用不同转换技术减少订单的方法。在第3节中，报告了在所示示例中选择用于实现或评估的两种转换技术。第4节包括整个讨论中所需的证明文件，以验证所得出结论的证明陈述。本节分为两个小节：a）使用的还原方法和b）通过两个转换获得的结果的性能测量。第五节通过不同的变换给出了一些数值例子来巩固研究结果。评估和* 通讯作者。电子邮件地址：www.example.comamit.ee @ bitsindri.ac.in（A.K.Choudhary）。https://doi.org/10.1016/j.array.2022.100155接收日期：2021年9月25日;接收日期：2022年2月17日;接受日期：2022年4月1日2022年4月6日在线发布2590-0056/© 2022作者。爱思唯尔公司出版这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的开放获取文章。可在ScienceDirect上获得目录列表阵列期刊主页：www.sciencedirect.com/journal/arrayA.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001552=1-（T/2）w2=+转变不 z+122通过高阶系统的阶跃响应和所获得的降阶系统的阶跃响应对所获得的结果的验证与计算的误差一起在第6第7节讨论了在本文结果的调查结果中发现的局限性。最后，在第8节中提供了两种方法之间的主要差异，作为未来可能范围的结论。2. 文献调查具有巨大参数的系统通过有限差分方程来表示，导致整体高阶系统传递函数。然后，它成为预期的研究人员表示这样的模型，一个适当的模型较低的顺序。这里，提出了降阶的思想，即用一个较小的模型来估计原大系统，通过对降阶后的模型进行积分，在数值上恢复原大系统的信息。简化模型也保留了较少的动态特性，如时间矩，马尔可夫参数和稳定性。文献中的参考文献[5-由于时间跨度和数字信号和系统的容易访问，离散时间系统在控制和分析方面获得了对模拟系统的考虑。因为，在其原始形式的高阶系统的研究和分析是不容易的，他们也要求他们的订单减少，以方便访问。文献中的降阶技术展示了连续时间域中的降阶技术直接到离散时间域的进步，无论是对于非区间还是区间系统。这类算法包括Pade逼近、平衡截断、直接截断、聚集等.除此之外，连续时间域中的Routh近似算法不能直接应用于离散时间域。参考文献[12]中包含大量基于Routh近似的算法这就需要一种适当的离散化技术，使离散时间系统离散化为连续时间系统，反之亦然。 准确地说，变换修改的离散时间系统的连续时间系统，降阶方法的应用，最后，一个适当的逆变换的结果在离散时间域中所需的减少模型。从现有的文献来看，转化技术被广泛使用，对于离散时间非区间或区间系统，分别是Tustin或双线性或梯形方法[13在最近的文献中，Ruchira [26]使用双线性变换，Potturu和Prasad [27]使用线性变换。在2020年，Deveerasetty和Nagar [28]提出了使用线性和双线性的图1.一、双线性或Tustin或梯形变换（w域）。图二、正向差分或线性变换（p域）.3.1. 双线性或tustin或梯形变换（w域）在z平面上，频率表现为zejωt，其响应失去了对数图的简单性。应当注意，z变换将s平面左侧的主带和互补带映射到z平面中的单位圆中.因此，常规的频率响应方法不适用于z平面。为了克服这一困难，将z平面中的脉冲传递函数变换为w-飞机 w-相变态z=（1+（T/ 2）w），其中T是相同的pling期间。 逆变换是w = 2。z-1）。可用的文献库代表了研究人员在采用哪种转化技术以获得更好结果方面可能面临的困境。本条可能是解决以下问题的一个可能办法：这样的研究者。通过z变换和w变换，s平面左半部分的主带首先映射到z平面中的单位圆内，然后映射到w平面的整个左半部分的z平面中的原点映射到w平面中的点w=-2当s从0→jωs 沿jω不轴，z从1变化到-1沿3. 转化技术从离散时间域到连续时间域的转换是重要的，z平面中的单位圆，并且w沿着w平面中的虚轴从0到1变化。s平面和w平面的区别在于，s平面中的频率范围-1ωs≤ω≤1ωs映射到以一种方式将连续时间算法应用于离散时间系统。如引言所述，有许多变换技术，但本文只考虑其中的两种，即Tustin和Forward差分变换技术，因为它们广泛应用于离散时间系统的降阶，如第2节所述。在这里，他们被选中建立他们在离散时间间隔系统领域的伟大，说明彼此之间的显着差异。为了更好地理解这两种技术，本节对这两种技术进行了简短的讨论[29]。它们的积分近似分别见图1的双线性或Tustin或梯形变换（w域）和图2的前向差分。w平面，其中v是虚拟频率。因此，存在频率标度的压缩。虽然w平面在几何上类似于s平面，但w平面中的频率轴是失真的.3.2. 正向差分或线性变换（p域）Tustin变换在应用于滤波器设计时遇到了困难，因此需要匹配z变换，其中z=ept。这是成功地实现和数字控制系统中使用这在最终的扩张中。 这种转变具有特殊的A.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001553（）=n（）=k1-w。）（）=n（）（）（）下一页- -在音频和电话网络设计中的重要性。3.3. 基于稳定性的技术比较在稳定性方面，从z域到w域或p域的转换可以通过下面的图更好地理解。图3和图4分别示出了正向差分和梯形近似在复z平面上映射的稳定性区域Re（s）0<通过前向差分近似，将稳定域映射到复z平面上1左边的半平面上。因此，通过前向差分近似，稳定的离散时间控制器可能被不稳定的连续时间控制器近似。双线性变换（梯形或Tustin近似）将左半S平面映射到单位圆盘。因此，稳定离散（连续）控制器是近似的通过稳定 连续不稳定连续（离散）控制器和不稳定连续（离散）控制器映射到不稳定离散（连续）控制器。在实践中，Tustins近似（双线性变换）是将连续时间（离散）控制器转换为离散时间（连续）控制器的首选近似。4. 预赛本节分为两个小标题，通过a）用于评估的简化方法和b）基于误差计算和阶跃响应的所获得系统的性能分析来理解论文的发现。4.1. 降低法到目前为止，有许多降阶方法可用于连续时间以及离散时间域，从非区间系统到区间系统。可以选择任何流行的简化算法来导出简化模型。这里考虑的方法可从文献中获得，Gamma-Delta近似[13]。减少冰毒的欲望见图4。 双线性或Tustin或梯形变换（w域）。T zCn（z）Dn（z）其中Cn（z）=[C-1，C+1]zn-1+[C-2，C+2]zn-2+... +[C-n，C+n]Dn（z）=[D0-，D+0]zn+[D-1，D+1]zn-1+. +[D-n，D+n]R zCk（z）Dk（z）其中Ck（z）=[c-1，c+1]zk-1+[c-2，c+2]zk-2+... +[c-k，c+k]Dk（z）=[d0-，d0+]zk+[d1-，d1+]zk-1+... +[dk-，dk+]（一）（二）下面描述的路线考虑一个高阶系统（1），它的降维等效模型（2）将被导出，其中kn。<此外，图5中的流程图中所示的算法规则逐步提出所有相似性，除了变换技术，w域中的z=1+w和p域中的z=1+p以及它们各自的逆。如图所示，高阶系统和降阶模型的本质被理解，这里对两种变换技术执行所采用的近似方法的说明性解释。4.1.1. 双线性变换（W域）对（1）的上述变换导致高阶区间系统为：T wNn（w）Dn（w）其中Nn（w）=[n-0，n+0]wn+[n-1，n+1]wn-1+. +[n-n，n+n]Dn（w）=[d0-，d0+]wn+[d1-，d1+]wn-1+. +[dn-，dn+]（三）现在，使用Dn w将表1和表2的前两行n n w 分别为Tn w。来自表1和2的第三行的系数通过劳斯算法计算，其中i=2; 3且j=0; 1;2。[d-d+][d-d+][di-2，0，di+2，0][di-1，j+1，di+1，j+1]-di+（四）图3. 正向差分或线性变换（p域）.i，j，i，j=i-2，j+1，i-2，j+1 --一种[di-1，0，-1，0]A.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001554z+1- --（）下一页]+d-=（）=kT（（13W1-w[客户端]-------我知道-我知道二、二人表1图五、Gamma -Delta近似算法规则流程图。。z-1）。分母的劳斯表[d-n，d+n]=[d-0， 0，d+0， 0][d-n 2，d+n2]=[d-0， 1，d+0， 1][dn-4，d+n 4]=[d0-，2，d+0， 2]4.1.2. 欧拉正向差分变换（p域）对于通过此转换进行的分析，将z替换为较高的[d-n 1，d+n 1]=[d-1， 0，d+1， 0][d-n 3，d+n 3]=[d-1， 1，d+1， 1][dn-5，dn+5]=[d1-， 2，d+1， 2]通过z=1+p对传递函数（1）进行排序，并通过算法进行- -…+- -从（3）到（11）的步骤，并应用逆变换p=z-1以得到[d-n-1， 0，dn- 1， 0][d-n，0，d+n， 0]表2分子的劳斯表[n-n，n+n]=[n-1， 0，n+1， 0][n-n 2，n+n2]=[n-1， 1，n+1， 1][nn-4，n+n 4]=[n1-，2，n+1， 2]z域中的系统4.2. 性能分析为了保持降阶模型与高阶系统相似的动态特性，采用了Gamma-Delta近似步骤回应， 一 共同 分析 工具 和 积分平方 错误，大多数- -[n-n 1，n+n1]=[n-2， 0，n+2， 0][n-n 3，n+n3]=[n-2， 1，n+2， 1][nn- 5，nn+5]=[n2-， 2，n+2， 2]实践的性能测量（两者都可在文献中获得）用于- -…- -对两次变换后得到的简化模型进行[n-n 1， 0，n+n1，0]由于本文研究的是离散时间区间系统，因此，[n-n，0，n+n，0]在一个固定的时间间隔内，由系统的瞬态响应之间的误差确定，高阶系统和低阶系统，表示为：[n-n+][n-n+][n-i2，0，n+i2，0][di-2，j+1，di+2，j+1]-di+（5）∑i，j，i，j=i-2，j+1，i-2，j+1 --一种[di-2，0，-2，0]J=k=0 [yn（k）-yk（k）]2（12）完成这两个表的公式，朝着所需的kth通过保留表1和表2的前k行的γ δ期望的间隔参数γ′s和δ′s分别从表1和表2获得其中yn（k）和yk（k）是高阶Tn（z）的阶跃响应和降阶系统Rkz。当J最小时，保证所得到的降阶系统是近似的.对于这种分析，高次系统和降次系统被认为是：1）仅具有下限的传递函数和2）[][dk-10，dk+10][][nk-0，nk+0]只有上限的传递函数此后，计算J对于两个传递函数，k，k 为[dk-，0，dk+，0]KKk-，0，（六）k，0下限和上限的误差列，如中的表所示第6款. 所述部分还提供了较高的阶跃响应其中k为1，2，3，关于计算的γ的适当替换δ参数，简化模型被观察为降阶区间系统5. 实验结果R wNk（w）Dk（w）与（七）这里提供了两个具有相同归约方法但在变换实现方面不同的例子，以巩固在前几节中所做的观察。这将有助于理解这两种技术之间的差异。Dk（w）=w2Dk-2（w）+[γ-k，γ+k]Dk-1（w）（8）示例1：考虑三阶区间系统为Nk（w）=[δ-k，δ+k]wk-1+w2Nk-2（w）+[γ-k，γ+k]Nk-1（w）（9）[3. 二十五，三。35]z2+[3。五三65]z +[2. 第八条、第三条]3[5]。四五5]z3+[1，1. 1]z2 +[1. 五，一。6]z +[2. 一，二。第十五章】其中D-1（w）=1，D0（w）=1，N-1（w）=0，N0（w）=0.考虑方程（7）(a) Tustin变换（w-域）z =. 1 +w）导致得到的模型是T（w）=[-2。85-24]w3 +[1. 三二35]w2+[-9。05- 8 9]w +[9. 55、10]R1（w）=wδ-1、δ+1+[γ-1，γ+1]3（十）[3. 65，4]w3+[19. 八二十45]w2+[9. 十五，九。8]w+[10，10. 三十五]（十四）[δ-δ+]wR[γγ+][δ-δ+]∞γ-γ +和δ-、δ+=、、[dA.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001555+-二，二一，一区间参数γ′s和δ′s计算如下：2（w）=w2+[γ-2，γ+2]w+[γ-2，γ+2][γ-1，γ+1]（11）在w域中计算的简化模型通过实施逆Tustin变换w=[γ-1，γ+1]=[1. 02，1。13];[γ-2，γ+2]=[0. 51，0。69][δ-1，δ+1]=[0. 97，1。09];[δ-2，δ+2]=[-0. 63，-0。四十九]A.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001556+[][]（）=2p（）=8（）==+1-w(b) 正向差分或线性变换（p域） z=1p变换（13）至（15），以及相应的γ′s和δ′s，参数为表4示例1的二阶错误。T（p）=[3. 二十五，三。35]p2+[10，10。35]p+[9.55、10]（十五）3[5]。四五5]p3+[17。二，十七。6]p2+[19.七二十3]p+[10，10.三十五][γ-1，γ+1]=[0. 49，0。53];[γ-2，γ+2]=[1. 十二，一。18]δ-1、δ+1=[0. 47，0。51];δ-2，δ+2=[0. 57，0。60]在替换上面在（11）中获得的参数时，得到具有不同变换的简化z域模型，表5示例2的第二阶错误。变换误差下限上限Rz[-0。137，0。244]z2+[0.85，1。107]z+[0.995，1。376]（十六）w-域0.1158 0.13522w（）=[2. 032，2.464]z2+[-0。958，-0。447]z+[0.834，1。266]Rz[0. 568，0。601]z +[-0. 475-0402]z2+[-0.881-0820]z+[0.550，0。619]（十七）p-域0.0016 0.1724图1和图2中示出了E x样本1和2的简化模型和高阶系统的阶跃响应。分别为6和7。重示例2：考虑八阶间隔实时系统，实线表示高阶系统的响应，其他虚线表示简化模型的响应，T zC7（z）D8（z）哪里（十八）这两种转换技术分别。从图如图6和7所示，可以观察到，通过两个变换，两个示例的高阶和降阶系统的阶跃响应几乎相同。同样，表4中的错误C7（z）=[1.6484，1.7156]z7+[1。0937，1.1383]z6+[-0。2142，-0。2058]z5+[0.1490，0。1550]z4+[-0.5263，-0。5057]z3+[-0。2672，-0。2568]z2+[0.0431，0。[0449]z+[-0。0061，-0。0059]D8（z）=[23.52，24。48]z8+[-1。7156，-1。6484]z7+[-1。1383，-1。0937]Z6+[0.2058年，0。2142]z5+[-0。1550-01490]z4+[0.5057，0。5263]z3+[0.2568，0。2672]z2+[-0。0449，-0。0431，]z+[0.0059，0。0061]在相应的变换后，γ′s和δ′s参数在表3中。此外，使用所计算的参数，在逆变换到z域之后，获得各个域中的降阶模型为：和5分别是相对最小的，并且可以相应地考虑。因此，上述结果和对方法的全面观察表明，p域离散化技术非常简单且易于变换，使得其优于w域技术以产生类似的简化模型。简而言之，所获得的简化模型的验证进行最小误差计算和近似跟踪的阶跃响应的基础上。7. 限制R2WRz[0. 0332，0。0400]z2+[0. 0070，0。0102]z +[-0. 0345，-0。0246][1. 3645，1. 4733]z2+[-1。9224，-18902]z +[0. 6204，0。七二九二][0。0302，0。[0394]z +[-0。0358，-0。0250]（十九）（二十）开发的可行查询或关于所提供评估的限制是其与基于模型简化的性能比较的相关性，因为结果可能取决于简化技术。2p（z）=z2+[-1.6665，-1。5683]z+[0.6080，0。七二三二]6. 评估和鉴定本节试图根据通过不同变换技术获得的高阶和简化低阶模型之间的误差和阶跃响应计算来评估变换技术。从第5部分获得的EX样品1和2的误差相应地示于表4和5表3w-域和p-域γ-δ参数参数w-域p-域niques以及数值例子。答案是：是的，它们是需要考虑的主要因素，但在大规模简化中，可以直接应用线性变换以获得可接受的结果。8. 结论分析了这两种变换技术各自的优缺点。主要目标是检查它们中的哪一个提供更方便的离散化与轻松成功地执行。总的来说，前向差分法具有每一步都简单易行的优点。主要原因是它的线性形式，即z1p而不是使用有理形式作为z=。1+w）。这些观察表明这两种技术中的任何一种都可以使用;因为它们都会导致[γ-1，γ+1][0. 1190，0。1313][0. 1189，0。一三一四][γ-2，γ+2][0. 3257，0。[0. 3335，0。4317][δ-1，δ+1][0. 0107，0。0121][0. 0107，0。0121][δ-2，δ+2][0. 0297，0。0380][0. 0302，0。0394]转型误差下限上限W-域0.08220.0116p域0.00110.0441A.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001557几乎等价的简化形式，但为了方便和易于计算，p域证明是优越的。所取得的成果被认为是在该领域的离散时间到连续时间的转换，反之亦然的进一步工作的基础。总的来说，结论是，A.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001558图第六章Ex样品1的第二系统阶跃响应。图第七章Ex样品2的第二系统阶跃响应。后一种技术简单得多，匹配与前一种技术一样多的时刻，因此似乎比前一种技术更好。最后，本文所作的尝试，相信对从事高阶系统研究的工作者有一定的帮助。未来的工作发展，从这个提出的讨论是其实际的方法，对物理系统模型利益申报表作者没有利益冲突需要声明。A.K. Choudhary等人阵列14（2022）1001559（）下一页（）下一页（）下一页（）下一页（）下一页（）下一页∈ {+ -×{[]}附录区间a=[a-，a+]={a∈：a-≤a≤a+}b=[b-，b+]={b ∈：b- ≤b ≤b+}区间系统a-，b-的下限区间系统a+，b+算术运算，其中，a b a b/a a，b b算术运算的终点公式a+b=[a-+b-，a++b+]a-b=[a--b+，a+-b-]a×b =[minC，maxC]，C=[a-b-，a-b+，a+b-，a+b+]a/b=a×（1/b）;1/b=[1/b+，1/b-]，0scin∈b高阶系统的阶数n高阶区间传递函数高阶分子区间多项式Cnz高阶分母区间多项式Dn zw域中的高阶区间传递函数T n wp域中的高阶区间传递函数Tn p降阶系统的阶数k降阶区间传递函数Rk（z）降阶分子区间多项式Ck（z）降阶分母区间多项式Dk（z）w-域上的降阶区间传递函数Rk（w）p-域Rkp中的高阶区间传递函数修正加权误差和J高阶区间传递函数的阶跃响应Tn（z）yn（k）降阶区间传递函数的阶跃响应Rk（z）yk（k）通过w域的二阶降阶模型R2w（z）基于p-域R2p（z）引用[1] 陈CT。模拟与数字控制系统设计：传递函数、状态空间与代数方法。Philadelphia：Harcourt Brace Jovanovich CollegePublishers; 2006.[2] Franklin GF，Powell JD，Workman ML.动态系统的数字控制。Addison-Wesley; 1980.[3] 豪根湾文章：模拟器，滤波器和PID控制器的离散化。TechTeach;2010.[4] 绪方湾离散时间控制系统恩格尔伍德悬崖，新泽西州：佩伦蒂斯-霍尔国际公司;一九九五年[5] 青木大系统估计与控制的几种近似方法。 IEEE TransAutomat Control 1978;23（2）：173-82.[6] 安图拉斯角大规模动力系统近似方法综述。Annu Rev Control2005;29（2）：181-90。[7] GugercinS，Antoulas AC. 平衡截断模型降阶综述及一些新结果。J. 2004;77（8）：748-66.[8] Bosley MJ，Lees FP.从高阶状态变量模型导出简单传递函数的综述。Automatica1972;8（6）：765-75.[9] BultheelA，Barel MV. 线性系统理论中模型降阶的Pade技术：综述。计算应用数学杂 志1986;14（3）：401-38.[10] Genesio R，Milanese M.关于降阶模型的推导和使用的注记。IEEE TransAutomatControl1976;21（1）：118[11] 彭兹尔·T大型动态系统的模型降阶算法。线性代数应用2006;415（2-3）：322-43.[12] Choudhary AK，Nagar SK.通过劳斯近似的降阶技术：一个关键的调查。IETEJRes 2018. https://doi.org/10.1080/03772063.2017.1419836.[13] 陈文，李文，等.离散区间系统的Gamma-Delta逼近.北京：机械工业出版社，2000，24（3）：100 - 101. 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