没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
◦E理论计算机科学电子笔记100(2004)65-93www.elsevier.com/locate/entcs作为同伦的凯瑟琳·赫斯瑞士联邦理工学院Paul-EugeneParent加拿大渥太华大学安德鲁·唐克斯英国伦敦城市大学克日什托夫·沃里特凯维奇瑞士蒙特勒摘要我们展示了2-Cat上的模型结构,通过从sSet跨adjunction转移得到C2Sd2Ex2N2。 在这个模型结构中的某类同伦原来是在1对1的对应与强模拟之间的标记转换系统,形式化的几何直观的模拟变形。对应仍然保持在立方设置,表征模拟高维过渡系统(HDTS)。关键词:代数拓扑,模型范畴,2-范畴,立方和单纯集,标记转移系统,模拟,高维转移系统1介绍彻底了解具有协调活动的计算代理在时间上重叠,也称为并发进程,在当今的数字运算超级计算机和关键系统世界中至关重要处理并发进程的一种流行方法是用进程演算来考虑它们,进程演算是重写系统,它配备了代数规则,1571-0661 © Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2004.08.01666K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-∈、⇒⇒归纳/共归纳推理(c.f. [19])。这种方法,本质上是对推广λ-演算的尝试,确实澄清了令人印象深刻的许多问题,尽管是从一个非常具体的角度来看,与正式的语法紧密相连。因此,有必要制定一个更普遍的方法。这项工作探讨了潜在的代数拓扑技术在经典并发理论。具体地说,我们采用了Quillen的范畴同伦理论,它是基于模的概念(c.f. [22][1 5][1 4])。为了固定这些想法,我们首先关注标记的转换系统(参见。[20])。后者已经从分类的角度进行了广泛的研究(参见。例如[16]),那么哪个类别和哪个模型结构(cf. [22])的同伦的标记转移系统?本说明是基于我们最近发现的一个模型结构的范畴2-猫(c.f.[17])。 关于这个模型结构的同伦概念与具有特定但不太普遍的模拟特征的相关实例相一致(参见。[12])。一旦一维的情况下,我们处理一般情况下,即。高维跃迁系统HDTS的。直观地说,后者是表现出不同程度的协调的计算代理设cSet是三次集的范畴。HDTS的范畴例如,考虑HDTSa,,α,β,zaJsJ、、αβaJJβ,α北京赛车PK10B由2个具有从状态a到状态b的不协调平行活动(2-立方体)的主体组成,由αβ标记,并具有适当标记的中间层(1-立方体),整体通过面关系而连贯取自L的标签表示活动的性质。 观察到,如果智能体协调,2-立方体将丢失,即该自动机的标准立方体同源性在维度1中将是非平凡的。HDTS的模拟后者是上述一维情形的立方形式。本文件的结构如下。第2节提供了一些背景材料,特别是关于重心细分以及2-范畴及其(2-范畴)神经。第3节介绍了标记迁移系统K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-67······和他们的模拟。后者和oplax之间的联系转换注意到Hermida的解释。第4节进入了问题的核心。描述了一种新的2-Cat模型结构。一个模拟,然后表征为一个右同伦。不熟悉模型范畴知识的读者,在这一点上可能希望参考[15]的前两章,以便熟悉术语。第五节将这一方法推广到三次集和三次2-范畴。第6节作了一些结论性的评论。22-类别我们从[25]中以相当长的方式介绍一些与2-categories主题相关的事实和术语。这不是一个标准的方式来呈现2-范畴,但它允许更好地理解,特别是2-范畴化的过程将在第4节中介绍。2.12-图定义2.1设A是范畴。A中的前球对象A是一个N-索引序列domi−1AiAi−1代码i−1对象和态射服从恒等式domidomi+1=domicodi+1codidomi+1=cod icodi+1A是n截尾的,如果i y∈S.x→αy<$$> Y J∈SJ.xJ→JαyJ<$yσyJ这是一个模拟,如果也持有。iσiJ定义3.7设S和A B是范畴。A是B的一个S-骨架子范畴,如果它的一个(因此所有)骨架同构于S。设λ是单纯范畴,即有限序数和单色调映射的范畴。在下面的定义3.8中,有限序数被看作指向0的图定义3.8设P pGrph是一个骨架子范畴。点图h:G→H的一个态射是开的,如果h0是满射且h∈RLP(P1).命题3.9以下是等价的(i) 点图h:G→H的态射是开的;(ii)h0是满射的,对每个H3f:x→y和a∈G,当h(a)=x时,存在G3u:a→b使得h(u)=f.命题3.10设S和SJ是跃迁系统。有一个模拟S~SJ当且仅当存在可交换正方形R,R1G,s、、、、,r2,zHS,,SJ在pGrph中,r1打开。z,sΣ·注 意 命 题 3.10 中 的 平 方 是 pGrph/i·的 跨 度 。 命 题 3.10 是 Joyal , WinskelNielsen(c.f.[16])。3.3关系结构注意,先不考虑初始状态的问题,标记转移系统S =(→S×S×S)的通常表示相当于一个索引关系集(αS S)α∈S。 给定集合和关系Rel的2-范畴(实际上是一个由包含关系排序的homsets的范畴),它、、76K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-→→0cv1一AAJACA不难看出,(→α<$S×S)α∈<$给出幺半群S的态射:<$<$Rel(S,S)。这个态射也可以看作是一个(2-)functorS:函数S.另一方面,预模拟条件为相当于α ∈→α<$σop<$σop<$$> →Jα(<$)Claudio Hermida使用这些观察结果来描述预模拟的特征(参见[12])。定义3.11设A是2-范畴,f,g∈ A1。(i) 从f到g的lax平方(u0,u1,α)由下图给出:Xu0 yα,gFJJXJu1 yJ(ii) 从(u0,u1,α)到(v0,v1,β)的柱面(θ0,θ1)由下图xv0θθ,Ccu0Jzfβ_,yO约翰,X, g1θ 、u1JzyJ其中(g<$θ0)·α=β·(θ1<$f)命题3.12设为2-范畴。 有一个由数据给出的2-范畴yl()(i) 对象:A1(ii) 箭头:lax方形(iii) 2单元:圆柱体配以一个2-函子群,cod_n:Cyl(A)→ A × A.对于JeanB'enabou,我们称之为Cyl(),即圆柱体的2-c顶点(参见。[2])。这个名字来源于2-细胞的“几何”。 请注意,Cyl()是熟悉的箭头类别的定义3.13设F,G:A → B是2-函子。一个oplax转换α:FG由数据(i) 对每个x∈ A,有一个态射B3αx:F(x)→G(x);OK. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-77BCop(ii) 对于每个态射A3f:x→y,F(x)αx G(x)F(f)J sccacfrG(f)JF(y)αy G(y)符合相干条件(i) αfJ·(G(θ)<$αx)=(αy<$F(θ))·αf,对每个2-胞腔θ:f<$fJ:x→y;(ii) (αg<$F(f))·(G(g)<$αf)= αg<$f对于每个f:x→y和g:y→z。B′enabou最初在双范畴和lax函子的更一般的设置中引入lax和oplax变换是根据分类器,即,圆柱体的双类别(c.f. [2])。在这里的2-分类设置中,我们将其描述为特征:命题3.14以下是等价的(i) 存在一个oplax变换α:F<$G;(ii) 存在一个2-函子σ:A →Cyl(B)使得西耳哦,、、、、、、J上下班A< G,F > B× B现在,表达预模拟条件(条件)的一种简洁方法是定理3.15(Hermida)设S和T是转移系统。以下是等效的(i) 有一个模拟S~T;(ii) 有一个oplax变换TS。4模拟的同伦刻画引理4.1设F:C → A是函子,A∈ A. 转让A<$→ A(F(),A)确定一个函子F:A →设定C操作。如果A是余完全的,则F具有左伴随F!和F∗通过F!通过Yoneda嵌入y:∗C→设置。如果存在,F!=LanyF是F沿y.、、78K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-∈def的|→设置C操作,F!y布雷兹CFA因此,A是余完备的条件是充分的,但不是必要的,然而它在大多数感兴趣的情况下都得到了验证,包括本文中遇到的情况。4.12-神经和2-歧化。定义4.2令[n] δ n和δn是由数据给出的推导方案(一)|δn|int n = nums(n);def(ii)δn2和={i,j,k|0 ≤ i 作为符号和那些在W弱eequivalen ceswith −→asnotation. 也有一种习惯,FW非循环函数和C W非循环函数。给定g:Top,函子将一个正四面体赋值给[n],def几何实现|K|一个简单的集合K由下式给出:|K|克!(K)(比照引理4.1)。众所周知,sSet是具有弱等价的模型范畴,这些弱等价恰好是那些在几何实现下诱导同伦群同构的单纯映射,并且上构都是monos。定义4.10设M是一个余完备范畴,I ∈ M1。(i) 设λ为序数。M中的(λ,I)-族是上连续函子λM使得它在态射上的所有值都在I中。(ii) AM相对于I是小的,如果存在基数κ使得协变的hom-functorM(A,)对于所有正则基数λ ≥ κ保持所有(λ,I)-套的上极限。(iii) 如果I相对于I来说是小的。定义4.11一个模型范畴M是一致生成的,如果存在允许小对象论元的态射集合I,JM1,和F W=RLP(I)F=RLP(J)I被称为生成余函数的集合,而J被称为生成非循环余函数的集合,这是因为命题4.12 I中的态射是上构,而J中的态射是非循环上构。众所周知,sSet是一致生成的。根据标准的n-def单形[n] =[n, [n]),很容易看出它有一个非-def退化单纯形n nn n=(0,.,n)在维数n和精确的n + 1非-退化单形k =(0,...,n)\(k)在n−1维中。n边界K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-81⟨ ⟩ ⟨ ⟩∈你好,∈[n]是 n 当第k个角Λk [n]是k[n]时,删除. sSet的生成构造集{n[n]<$→ n [n]}n∈N而sSet的生成非循环构造集.Λk[n]<$→[n]0≤k≤nn∈N\{0}4.32-Cat的局部可呈现性。定义4.13设C是一个范畴,M ∈C1是所有mono的集合。如果e∈LLP(M),则epi e是强epi. 进一步假设C有余积。由集合I索引的对象族(Gi)i∈I是强生成元族,[f]i∈I,f∈C(Gi,C):i∈I,f∈C(Gi,C)dom(f)→C每个C C都有一个很强的epi。这样的族被称为生成元,如果它是由单例集索引的。引理4.14设 22是2-范畴FX2 2是2-Cat中的强大生成器。....αzyCzG定义4.15一个上完备范畴C对于正则基数α是局部α-可表示的,如果它有强生成元族(Gi)i∈I,使得协变同伦函子C(Gi,)对所有i I保持α-过滤余极限。这种情况下的最小α称为C的可表示秩,记为π(C)。 C称为局部可表示的,如果它对于某个正则基数α是局部α-可表示的。命题4.16 2-Cat是局部可表示的,其中π(2-Cat)= π0。2-猫是由命题2.13共同完成,并有一个强生成元引理4.14。 很容易看出,2-Cat(2 2,)保留了过滤的大肠菌群。命题4.17设C是局部可表示范畴。 存在一组对象G C0,使得82K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-GGEA B A → B(i) 协变hom-functorC(A,)保持每个的滤波余极限,A∈ G;(ii) C中的每一个对象都是G中对象的一个滤余限。集合 通常不同于所需的强系列发电机的定义。然而,它是从后者通过一个transfinite构造获得的,该构造完成了(由确定的全子范畴)关于正则基数α>π(C)的α-极限彼得·加布里埃尔(Peter Gabriel)和弗里德里希·乌尔默(FriedrichUlmer)在他们1970年代的论文中介绍并广泛研究了局部可呈现的类别(参见1970年的《局部可呈现的类别》)。[5])。他们成为非常流行的同伦理论家在20世纪90年代以来, 一个局部可表示的范畴每个对象相对于任何态射集合都是小的。4.42-Cat上的一个双稳态模型结构。定义4.18设M是一个模型范畴,L,cCMR是一个附加物。 R在C上创建一个模型结构,如果在C上存在一个模型结构使得FC= R−1(FM)和WC= R−1(WM)。命题4.19设M是一致生成的模型范畴,J是生成非循环一致的集合,L R如定义4.18所示,另外C是局部可表示范畴。进一步假设(i) R保留滤过的大肠杆菌限度;(ii) 对任意f∈J和L(f)的任意推出g,R(g)是弱等价的.然后R在C上创建一个一致生成的模型结构。命题4.19的一个稍强的版本出现在Tibor Beke定义4.20设A和B是2-范畴s.t. 一个大的。A是2-筛,如果对任意a∈A0(i) cod(f)=a∈f∈A1,对所有f∈B1;(ii) 对于所有的α ∈ B2,cod_dom(α)=(cod_dom)(α)=a_dom α ∈ A2. 2-共筛有双重定义。定义4.21Let2-Cate是2-category和正规lax函子的c at egory。设和为2-范畴。包含i:<$是弱浸入,如果K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-83→(i) A是2-筛;(ii) 存在一个2-共筛W,使得A ≠ W ≠ B;(iii) i:A<$→ W允许收缩r;(iv) 存在正规的Lax函子ε:[1]× W → W使得Wi0[1]×W,i1,W、、,,,, εidW,,Jirz,sWc在2π-Cat中是可换的,并且ε|[1]×A是严格的且ε(0≤1,ida)=对所有a ∈ A都有id a。定义4.22设M是一个模型范畴。M中的弱推出方是交换方,使得来自内接推出的比较映射是弱等价:A BB+,sACJ......,zJC D引理4.23沿着任意2-函子的弱浸入的推出方在N2下的像是弱推出方。定理4.24例2在2-Cat上创建一个模型结构.证据众所周知,2-Cat是完全可呈现的,而Ex则是过滤的colimits。很容易看出,N2保持过滤余极限,因此仍需建立命题4.19的条件(ii)。设ik,n:Λk[n]<$[n]是一个角状夹杂物。可以证明C2(Sd2(ik,n))是sSet中的弱浸入,N2C2(Sd2(ik,n))是sSet中的弱等价,因此断言由引理4.23通过3取2得出。Q显然,引理4.23是这里的我们称定理4.24的模型结构为2-子模型结构(参见[17]),因为它在概念上类似于Cat上的模型结构(参见R.W. [26])。4.5同伦模拟。定义4.25设M是一个模型范畴。(i) P是B上的路径对象,如果有一个可换图、、84K. Hess et al. / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100(2004)65-、、、一AA.- 是的 Σ∪∪∈∈^别,∼B,p、、、zB×B(ii) 给定f,g:A→B,存在右同伦fg如果B上有一个路径对象,使得f,g通过p因式分解:,P,p,JAf,g> B×B回想命题3.12,Cyl()是B'enabo的“2-category of cylinders”,它对oplax变换进行了命题4.26Cyl()是一个路径对象,在2-Cylason模型结构中。定义4.27设S和T是变迁系统。设pRel是点集和点关系的2-范畴。2-范畴S,T如下给出。(i) 对象:点集(S,ιS)和(T,ιT)(ii) 态射:由S(α)α<$T(α)α<$pRel(T,S)0(c.f.(第3.3节)(iii) 2-细胞:由pRel(T,S)1产生T的自同态是转移关系,因而不具有指向性。引理4.28下列等式等价(i) 有一个模拟S~T;(ii) 有一个σ:Σ→Cyl(σS,T)使得Cyl(Cys,T)σ,、、、、ˆ ˆ斯,特J×S,T上下班我们现在能够精确地将模拟描述为同伦。定理4.29下列等式等价(i) 有一个模拟S~T;(ii) re是2-单调结构模型中的右同伦T^S^、、∗Σ
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
cpongm
- 粉丝: 5
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 展开
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
最新资源
- C++标准程序库:权威指南
- Java解惑:奇数判断误区与改进方法
- C++编程必读:20种设计模式详解与实战
- LM3S8962微控制器数据手册
- 51单片机C语言实战教程:从入门到精通
- Spring3.0权威指南:JavaEE6实战
- Win32多线程程序设计详解
- Lucene2.9.1开发全攻略:从环境配置到索引创建
- 内存虚拟硬盘技术:提升电脑速度的秘密武器
- Java操作数据库:保存与显示图片到数据库及页面
- ISO14001:2004环境管理体系要求详解
- ShopExV4.8二次开发详解
- 企业形象与产品推广一站式网站建设技术方案揭秘
- Shopex二次开发:触发器与控制器重定向技术详解
- FPGA开发实战指南:创新设计与进阶技巧
- ShopExV4.8二次开发入门:解决升级问题与功能扩展
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功