量子光学中的SU（2）和SU（1，1）群的物理系统生成方案

¼Journal of the Egyptian Mathematical Society（2011）19，39埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems审查文件李群实现的量子光学态阿卜杜勒-沙菲·法赫米·奥巴达Department of Mathematics，Faculty of Science，Al-Azhar University，Nasr City 11884，Cairo，Egypt2011年11月9日在线发布摘要我们从Heisenberg-Weyl代数开始，在Fock态的定义之后，我们给出了这个群的相干态的定义。接着阐述了SU（2）和SU（1，1）代数及其相干态。从那里我们继续描述二项式状态及其扩展作为SU（2）群的实现。其次考虑负二项式态和一些压缩态作为SU（1，1）群的实现。基于物理系统的生成方案提到了其中一些状态。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍随着60年代开始的量子光学领域的进步，群论开始在这个分支中渗透。包含SU（2）和SU（1，1）等简单李代数的群及其简单推广已被用于研究量子光学的不同方面。然而，群论在量子力学中的应用始于该理论的早期。魏尔在物理学的各个分支中，更广泛的维度从群论的使用中受益本文评述了在量子光学领域中作为SU（2）或SU（1，1）群我们开始电子邮件地址：asobada@yahoo.com1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.09.013制作和主办：Elsevier通过对构成Hesenbeg-Weyl代数角点的湮灭算符、产生算符和数算符的一些描述，定义了它们的介绍了SU（2）和SU（1，1）代数。第三节介绍了SU（2）的几种量子态的实现.第四节讨论了SU（1，1）群的实现态。对其中一些态通过物理过程的产生给出了一些评论。2. 预赛2.1. 谐振子在谐振子的研究中，引入了湮灭算符a^，产生算符a^y和数算符n^是啊。它们满足交换关系1/2a;ay]1 /4I;1/2n;ay] 1/2y;½n;a] ¼-a：101数算符n^的本征态被称为Fock态或数态。它们满足n^jni <$njni：12关键词李代数;量子态40阿卜杜勒-沙菲·法赫米·奥巴达--nmXp你好！p12323131231X2yz.X12ffiffiffiffi20非负整数n可以看作是处于该状态的粒子数。 当n=0时，我们称n =0为不存在粒子的真空态。†算子Ja是群SU（2）的生成元。角动量相干态由旋转算符a和a在n上的运算由下式给出一个一个n1jn 1i：32001年。Σ ΣppRbh;/h/ hhe-i/J-ei/J-;11这些状态{n}形成一个完整的集合，并解决了统一性Xjn ihn j¼I：400在州政府的支持下，j.角动量相干态Δh，/Δf由下式给出：njh;/i <$Rbh;/jj;-ji <$cos12jXjs。这是一个很好的例子。1谭he-i/ 吉吉·古姆jj;mi：2.1.1. 相干态相干态α可以看作是一种本征态，2m¼-jjm2ð12Þ运算符A使得ajai <$ajai：500它们用total解析空间上的恒等算子角动量j如下2j1Z2pZp此外，它可以通过应用芒硝置换来生产真空态上的幺正算符4p0辛hdh d/jh;/ihh h;/jI：130[2，3].jai <$Daj0i <$expaay-aωaj 0i：这是Heisenberg-Weyl群的相干态这种状态是无限系列的福克态的叠加，它们的分布是泊松分布。它是由它在数态中的展开式给出的，1aja i <$Cnjn i;Cn <$e-2jajp：160n¼0这种状态在很大程度上描述了相位固定而数量不固定的激光场。这些州已经结束了--R2.3. SU（1，1）群相干态的概念可以推广到任何服从李代数的算符集合。SU（1，1）是具有单李代数的最简单的非交换非紧李群（对于全面的评论，我们可以参考[6]和最近的评论书[7]）。SU（1，1）代数由满足交换性的三个算子K1，K2，K31/2K;K] 1/4-1 K;[001pdf1st-31files]1/2K;K] 1/4 K：通过使用算子K±=K1±iK2，1/2K3;K] 1/4K和1/2K;K-] 1/4-2K3：1/14Casimir算子C2 1/4 K2-K2-K2具有值2.2. 角动量（SU（2）群）定义为^r×p^的角动量和自旋由满足对易关系的三个算符Jx、Jy和Jz描述<$=1）1/2Jx;Jy]1 /4iJz;1/2Jy;Jz] 1/4iJx;1/2Jz;Jx]1 /4iJy;1/7m与J2¼J2J2J2;C2= k（k1）I对任何不可约表示. 因此，代表，信号由称为巴格曼数的参数k确定。相应的Hilbert空间由C2和K3的本征态的完全标准正交基{k，n∈}所张成，使得hk;njk;mi¼d和1jk;nihk;nj¼I：n¼0文[5]给出了算子K±和K3在k，n上的运算。其与每个组件交换。通过以下关系引入升、降运算符：J¼ Jx iJy：K k;n n1 2k n k;n1K-jk;ni <$pn2kn-1jk;n-1iKj k; ni <$ k nj k; ni3：1500因此，对易关系式（7）变为1/2Jz;J] 1/4J和1/2J/m;J-] 1/2J/m：1/8J/m文[5，6]给出了算子Jz和J2的同时本征值，记为[j，m]J2jj;mi<$j1jj;mi和Jzjj;mi <$mjj;mi;9其中m是<$6j，j是半整数。J+和J-在m上的运算由下式给出：J j;m j m j m1 j;m1J-jj;mi< $pjmj-m1jj;m-1i：基态k，0满足K-k，0=0，jk;mi<$sC2kKmjk;0i：有两组与SU（1，1）群相关的相干态，即：(i) Perelomov相干态。利用幺正算符DPernexpnK-nωK-;在基态下，k，0π，得到[2]Hnj/pjaihad2a完备，满足I.你好！2000年2月22日李群实现的量子光学态41n/n！C2k02Σ-2y2iz2-22ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi{q-n，n}。可以生成此状态，q1f1naf2nbXXn参考文献[9、10]。ja;ki 每 ¼D每n那么，ωw（t）ω=Uωj，-jω是相干态（12），其中h= 2 Bt和/1/4-p。其中n=<$n<$eih，a=（tanh <$n <$）eih。(95)(ii) Barut-Girardello相干态定义为本征态[7]3.2. 有限维对相干态它可以被称为双模式二项式状态n，q，n。它可以K-ja; kiBG 1/4aja;kiBG;被定义为运营商的本征状态。aybnq1abyq阿奎！Þ其可以表示为sa2k1X1an我是一个和（a<$a+b<$b），其中a、b是两种模式的湮没算子。状态满足本征值方程[9]。2ja;k iBG¼22k-1n¼0 你好！C.aybnq1abyq！jn;qi <$njn;qi;ayabyjn;qi <$qjn;qi;20Im（x）是第一类修正贝塞尔函数。阿奎！Þ并采取形式在快速回顾了这些数据库之后，在SU（2）和SU（1，1）的实现的某些状态Qjn;qi <$Nnnsq-！jq-n;ni;N-2¼Xjnj2 nq-n！：2111组Qn¼0问！你好！Qn¼0问！你好！3. SU（2）实现这是一种纠缠态，我们发现（qn）个粒子处于第一模式，（n）个粒子处于第二模式。当我们定义我们来看看一些可以被看作是现实的状态SU（2）群的一种Jx¼ aybaby;J¼ayb-aby;J¼aya-byb3.1. 单模二项式态这些国家的形式[8]XM s。ffiffiffiffiMffiffiffiffiffiΣffiffiffiffin¼0n它们是SU（2）群的生成元。因此，升降算子为J+=Jx+iJ y=a<$b，J-=J x iJ y= ab<$。因此，态（21）是SU（2）的相干态，当我们标记q=2j，并将状态{mj，m-jm}标识为状态MZ2000，g C，2000，20000它们具有光子数分布（找到n个光子），3.3. 非线性双模二项式态对早期状态的扩展是通过引入我的天M jgj2n1-jgj2<$M-n;非线性有限维对相干态作为本征态满足二、的1·1 bb bbq3y2它们是算符的本征态[7]B¼gayaq1-jgj2pMI-ayaa;具有特征值gM，即，Bj M;gi¼g Mj M;gi：10194f1naabf2nbn和na用通常的符号。阿奎！Þ5jn;qif<$njn;qif;23我们可以注意到真空、Fock和相干态是这种态的极限情况[7，8].它在两种模式的Fock态中展开为[10]nsq-！快一点！正如我们在第2.2节中提到的，jn;qif<$Nqn你好！问！去你的！我的天！jq-n;ni; n24SU（2）表示，角动量算符J满足关系式（7），SU（2）相干态定义为转动算符（11）对基态的作用。因此，Eq.（12）是SU（2）相干态。因此当我们取g/sinhe-i/，取n=j+m，M=2j，电话：+86-021 - 88888888f（n）！=f（0）<$f（1）f（n）且f（0）=1。为了将这些态与SU（2）群实现联系起来，我们引入了算符f1naayfnnbaf-1nabyf-1nb2二项式态j2j; sinhe-i/i是SU（2）Jx 1/42ð25Þ2组f1naayfnnbb-af-1nabyf-1nbn^-n^可以通过以下方案生成此状态Jy¼12;Jz¼aB在经典磁场B下的原子具有相互作用哈密顿量H=-J<$B，场沿x方向。满足关系[Jx，Jy]=iJz，[Jy，Jz]=iJx，[Jz，Jx]=是的。注意，Jx和Jy都不是厄米特的，因此我们定义2n2个月-njM·g i¼g1-jgj2jni;18也就是二项分布QQ;22我2;42阿卜杜勒-沙菲·法赫米·奥巴达在此哈密顿量下，状态j，-j演化为二项式1 1J ¼fð nÞ ay fð nÞ b;J¼ a by;1B一2状态演化算子U（t）由下式给出：þ1一个2B-FnfðnÞ因此[Jz，J±] =±J±，[J+，J-] =2Jz.李群实现的量子光学态43---n2Xj2 j11624.^j j42;K-1/2;K3/2一个一个2MI-1^;K-1^与kMIn^a;Kz2In^;274.4††1¼aya1þz2F22þ-Xj i <$ji340jzj这些算子可以被认为是扩展SU（2）群的生成元.当我们取2j=q，{\displaystyle{\frac {n}}}}j}对应于{qn，n<$}，则得到了一个类似于方程（1）的扩展SU（2）相干态。（24页）。这些态的一些性质可以在文献[10]中找到，也可以在一个生成方案中找到.4. SU（1，1）实现在2.3节中回顾了SU（1，1）群，有大量的态可以被称为SU（1，1）群的实化这里我们态（28）是通过应用4.1节的D（g）得到的，但使用了（29）给出的算符，在真空态上，它是非线性负二项式态（28）的SU（1，1）实现。非酉f的情况也被认为是在参考。[12]第10段。4.3. 单模压缩真空和第一激发态压缩真空态被定义为具有高值零和高值2的算符m它的膨胀提到其中一些国家。4.1. 负二项状态联系我们1n¼0第2章你好！ffi2nn！1n1- jnj4j2ni;30这种状态被定义为Fock态展开[11]。其中n = tanh re i/，l = cosh r，m = sinh re i/。而压缩的第一激发态作为本征态jM;niN1/4×1我的天啊！nn操作员b2的状态，egien值为0。它的形式n¼0你好！米！JNI1/4×1p21！nn这种状态遵循负二项分布，光子数分布1n¼02nn！j4j我的天啊！jnj2n 1- jnj2M 1：这可以被转换为SU（1，1）群的实现，以ay2a21.y1态e和相干态e（nf0，Mf，Mfnnf2），因此它被称为中间态。SU（1，1）实现可以通过引入算子来实现这里的卡萨米尔算子C2C¼kk-1I¼-3I：与k1相关的状态空间是偶数Fock子空间。3ypp空间{2n4¼是个奇怪的现象它们是SU（1，1）的上升、下降和生成元Fock子空间{}。幺正算子（unitary operator）挤压操作符）是：组 因此，酉演化算子D（g）=exp（gK+-g*Szz K-zωK=exp. 1zay2-1zωa2：K-）可以施加在真空状态上以具有状态Dgj0i expnK1-jnj2]M1exp-nKj0ir2中国-2 2SU（1，1）相干态是单模压缩态。对于k1，我们有压缩真空[1/21-jnj2]M11nnn¼0在那里，G.jg j你好！ nM;n;米！你好！N.n;1个Szj0 i jni，共130个n<$ztanhjzj;对于k1/4，我们有压缩单光子态4.2. 非线性负二项态. n;3个Snj1i jni31131：引入了对上述状态的非线性扩展[12]第10段。它相当于将运算符a变形为A=af（n），其中f（n）是一个算子值函数。因此，状态由下式给出：4.4. 非线性压缩态X1n2M1rM！ffi使用以下运算符12jM：n iNf<$Nfn¼0 n1- jnj2米！你好！快去吧！jni：2016Kfy12019年12月22日星期一：33：00对易关系½A;Ay] ½afn;fynay]n1jfn1j2-njfnj2：对于f（n）= f，它变成[A，A]=1对于酉算子函数ff（n）=f-1（n），我们有.ΣK对于酉算子f（n），定义了下列SU（1，1）生成元在这些算符下，我们得到了非线性压缩算符KayfynpMIn;K¼pffiMffiffiffiffiIffiffiffiþffiffiffiffinffiffifðnÞa;K¼MIþn:ð29ÞSz exp 1zAy2-zyA2;其中A¼afn：米！你好！M= 0的特殊情况是帕斯卡分布或热分布。分布状态（26）在纯热状态之间插值。K：1320Ka1-1 （n）即酉算子。：322þ-244阿卜杜勒-沙菲·法赫米·奥巴达nnLI¼2i/2X-n222221- jn j2-4我的天啊！nj2 ni.ði：0- j j1-j iBG ¼ jiBG因此14F1X1p2！ffin12nn！ja;n;mi <$SnDajmi <$Da0Snjmi;其中a0=aCoshr+a* sinhr ei/=la+ma*，n=rei/。它在Fock状态空间中的扩展在那里给出[18]。jn;3i1-jn23X1p2n1！ffi我不知道！n j2 n这里S（n）是酉算子，可以表示为（1）群的生成元，定义在4Fn12nn！当量（32）.非单一f的情况已经被考虑和dis-”[15]《明史》卷15。4.5. 单模压缩相干态这些状态是特征值问题的解[16]bjbi <$lamayjbi <$bjbi;其中l=coshr，m=sinhr ei/。如果我们写n-m-ei/tanhr，那么状态jb i <$jb;n i <$ja;r i24.8. 双模压缩真空态这些态是用非简并双模算符S2n nn∞expansion-n ay bynω abn;在真空状态下- - 0 1，0 2 π，其中n = r e i /。这些状态以双模Fock态的形式表示[6，7]1 Xi/njni<$Snj0;0tanhrejn;ni：3612011-01 -2400：00：002212科什河实验室 1 .一、jbj2jnj2bee-i/×1每平方米1M好啊！ffi这些状态被认为是一类纠缠态，两种模式中的量子数在每个分量中相等。bq1n2嗯@p-2n Ajmi;35这种态可以看作是SU（1，1）作为这个群的相干态的实现这是通过如下定义生成器来实现的其中b=la+ma*。当我们对算子Ki使用表示（32）时，K- ayby;K13½2a科隆湾第1集： 37集K3，状态（35）可以作为操作符Casimir算子S-nωK-nωa2-nωa2n;C 千分之一1 K K KK1n-n-1]：在表格的状态栏上（6）。因此我们有23-2--约4.5升a bjn;bi <$Snjbi <$SnDbj0i：在利用压缩算符的解纠缠并将其应用于态- b之后，我们得到表达式（35）。我们可能因此，具有k^q= 1，q=0，1，2，.的不可约表示。 . . 是（na-nb）的特征值，因此状态m，k是）n+q，n=0，1，2，. .使用关系. n;k1个月X11n¼0n2q11snq！nnn你好！问！q;n38因此我们得到jn;bi <$SnDbj0i <$DaSnj0i也就是说，我们移动了压缩真空，或者压缩了相干态[6]。4.6. 非线性压缩相干态当q = 0时，其减少到（36）。SU（1，1）（Barut-Girardil- lo）的另一个相干态是算符K -的本征函数，即：Ka;ka a;ksjaj2k1X1an非线性算子A定义为A=a f（n）和A<$=f<$其中算子值函数f（n）是酉算子，）ja;kiBG¼I2k-1 2012年12月22日n¼0 你好！C托 尔 ， 即 ft=f-1 。 在 这 种 情 况 下 ， 我 们 发 现 [A ，A<$]=I。SU（1，1）的算子K±，K3定义为（33）。这种情况下的非线性实现在[17]中给出。随着函数f（m）的出现，表示非线性的影响。并讨论了非酉非线性函数的情形。4.7. 压缩位移Fock态这些状态被定义为压缩算符和位移算符在Fock状态矩阵上的应用，形式如下[18]。j104jn;SzD bDaSz，带1/4lbmbω;¼2¼-j j2J þÞ-李群实现的量子光学态45¼¼4.9. 非线性双模压缩真空态如前所述，我们有A=af1（na），B=bf2（nb）和它们的厄密共轭，因此½A;Ay] <$na1f1na1fyna1-nafy1naf1na;39有一个类似的公式[B，B<$]。对于酉情形fyif-i1，）fifyiI，非线性压缩算子将是酉算子，并且我们有jni2f<$S2f<$n<$j0; 0i <$expansion-nAyBy <$nyAB<$j 0; 0i：40非统一处理的情形也在[17]中讨论过。46阿卜杜勒-沙菲·法赫米·奥巴达X111. -是的！14.10. SU（1，1）智能态对于两个自伴算子A，B，得到了不确定性关系2 212hkDAihkDBiP4jh½A;B]ij：一个状态被称为智能状态（IS），如果它满足严格的等式。这样的状态必须满足本征值方程A-ik Bk是正实参数，g是复数。当[A，B] =cI且c为常数时，最小测不准态（MUS）与IS重合。对于SU（1，1），ISK1-ikK2 jw i <$gjw i;或a1K-在基εn中，k∈Eq.的SU（1，1）。（15）然后，给出通过角模二项式态，有限维对相干态，以及它们的非线性变体。然后是负二项式态、单模压缩真空、压缩相干态、压缩位移Fock态以及它们的非线性变体。讨论了双模压缩真空态及其非线性对应态.最后提到了智能状态。这篇文章的扩展版本出现在其他地方。6. 致敬这 是 对 已 故 教 授 的 一 点 敬 意 贾 迈 勒 ·MAbd AlKader（1963他的友谊和平易近人的性格，使我以及他的许多同事和学生非常怀念。愿真主以他的仁慈接纳他。引用[1] H. Weyl，《群论与量子力学》，Dover，New York，1950。[2] 上午 佩雷洛莫夫， 广义 相干 国 及其联系我们n¼0cnjn;ki：应用，施普林格出版社，柏林，1986年。[3]P.J. Kral，J.Mod. 选购配件37（1990）889;P.J.Kral，Phys.Rev.A42（1990）4177.系数cn可以计算为与Pollaczek多项式相关[19，20]BNGcn<$aPnpab;k[4] A. Wunsche，J. Opt. B Quant.第73集73.[5] W.H.陈文辉，辐射的量子统计性质，北京，1997。[6] G.J. Milburn，D.F. Walls，《量子光学》，Springer，柏林，1991年。[7]V.V. Dodonov，V.I. Mann1. bn。Cn2kn.ig！Light，Taylor Francis，London，2003.21/4a你好！C12k22F1-m;kpab;2k;2：[8] D. Stalley，B.E.H. Saleh，M.C. 345.第345章大结局111ð43Þ[9] 答-- S.F. Obada，E.M. Khalil，Opt. Comm. 260（2006）19. [10]E.M. Khalil，J. Phys A 39（2006）11053.[11] A. Joshi，S.V. Lawande，Opt. Comm. 70（1989）21.在[20]中讨论了一些特殊情况。举例来说(i) 一种模式的实现包括作为特殊情况：巴鲁特-吉拉迪略国家，佩雷洛莫夫C.S.，以及非线性压缩相干态。(ii) 双模实现包括两种特殊情况：作为关联SU（1，1）CS的对相干态和非线性实现。5. 结论在这篇文章中，我们试图回顾一些量子态及其与一些代数群的关系。文中还介绍了李代数及其算符和表示的关系，特别是它们的相干态。作为这些群体的认识，讨论包括罪-[12] M.S. Abdalla，A.S.F. Obada，M. 372.第374章一夜情[13]C.C. Gerry，Phys.Rev.A35（1987）2146;G.S. Agarwal，J. Opt. Soc. Am. B 5（1988）1540.[14] M.M.涅托Truax，Phys. Rev. Lett. 71（1993）2843。[15] 答-- S. F. Obada，M. Darwish，J. Opt. B 7（2005）57;答-- S. F. Obada，G.M. Abd-Al-Kader，Eur.第189章.[16]H.P. Yuen，Phys.Rev.A13（1976）2226;B. Schnmaker，Phys.众议员135（1986）317.[17] 通用汽车Abd-Al-Kader，A. S. F. 115.第115章：你是谁？[18] M.V. Satyanarayana，Phys.Rev.D32（1985）400; P. Kral，Phys.Rev.A42（1990）4177。[19] C. 阿拉戈内湾Guerri，S.Salumo，J.L.Tani，J.Phys. 第149章一夜情（下[20] 通用汽车Abd-Al-Kader，A. S.F. Obada，Phys. Scip. 78（2008）0345401。