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+∈Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,348埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章凸度量空间上函数的凸性及其应用Ahmed A. Abdelhakim埃及艾斯尤特大学理学院数学系,邮编:71516接收日期:2015年8月29日;接受日期:2015年10月4日2015年11月28日在线发布本文证明了Takahashi关于度量空间上凸结构的思想是赋范线性空间,特别是欧氏空间中凸性的自然推广。然后,我们引入了基于凸结构的函数凸性的概念,称之为W-凸性。W-凸函数是线性空间上凸函数的推广我们提供说明性的例子(严格)W-凸函数,并致力于本文的主要部分证明各种性质,使他们非常适合与凸分析的经典理论正如预期的那样,缺乏线性迫使我们在度量或凸结构的条件方面做出一些妥协。最后,我们应用我们的一些结果的度量投影问题和不动点理论。2010年数学学科分类: 26A51; 52A01; 46N10; 47N10版权所有2015,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 引言和附录在线性空间之外,已经有一些引入凸性结构的尝试例如Kirk[1,2],Penot[3]和Takahashi[4]提出了度量空间中集合的凸性概念即使在更一般的拓扑环境联系电话: 2 01095087950。电子邮件地址:ahmed. aun.edu.eg同行评审由埃及数学学会负责制作和主办:Elsevier空间中有Liepiekovic[5]和Taskovic[6]的工作。Taka-Hashi[4]引入了度量空间中凸性的下列一般概念定义1[4]。设(X,d)是度量空间,I=[0,1]. 一个连续函数W:X×X×I→X称为X上的凸结构,如果对每个x,y∈X和所有t∈I,d(u,W(x,y; t))≤(1 − t)d(u,x)+t d(u,y)(1)对于所有u X.具有凸结构W的度量空间(X,d称为凸度量空间,记为(X,W,d)。一称X的子集C是凸的,如果W(x,y;t)∈C,只要x,y∈C和t∈I。是什么使高桥S1110-256X(15)00080-2 Copyright 2015,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.10.003关键词凸度量空间;W-凸函数;度量投影凸度量空间上函数的凸性及其应用349B B×B × →B1B12212球([4],命题1和2)。定义1中的凸结构W具有以下性质,该性质在[4]中未经证明地陈述。为了完整起见,我们在这里给出一个证明。引理1. 对于凸度量空间(X,W,d)中的任意x,y和任意t∈I,我们有d( x, W( x, y; t))= t d( x, y),d(y,W(x,y; t))=(1 − t)d(x,y).证据为简单起见,令a、b和c分别代表d( x, W( x,y;t))、 d( y, W( x, y;t))和d(x,y)利用(1)我们得到a≤t c和b≤(1-t) c。而c≤a+b,则由三角不等式给出. 所以c ≤ a + b ≤(1 − t)c + t c = c。 这意味着a + b = c。如果a,t,c<,那么我们就有a+b,c<,这是一个矛盾。因此,我们必须有a=t c,因此b=(1-t)c。QW上的条件(1)是度量空间(X,d)上凸结构的必要性为了说明这一点,假设(X,<$.<$X)是一个赋范线性空间。则映射W:X×X×I→X由下式给出:W(x,y; t)=(1 − t)x + t y,x,y ∈ X,t ∈ I,(2)定义了X上的凸结构。实际上,如果ρ是由范数<$.<$X导出的度量,则ρ(u, W( x, y; t))=<$ u−((1 − t) x+ ty)<$X≤(1−t)<$u−x<$X+t<$u−y<$X=(1 −t)ρ(u,x)+t ρ(u,y),<$u∈X,t∈ I.在具有欧氏度量和(2)给出的凸结构的线性空间R2中,图像变得更清晰。在在这种情况下,给定两个点x,y∈R2 和一个t∈I,z=W( x, y;t)是位于线段上的点,x和y此外,引理1暗示,如果xy=L,则xz=t L且zy=(1−t)L,并且我们得到一个有趣的初等三角学练习,证明对于平面上的任何点u,uz≤(1 −t)ux+t uy。(Hint:将勾股定理应用于下图中的三角形Δuyv、Δuvz和Δuvx,然后使用以下事实: xy≤xu+uy)。u证明了凸度量空间中的一个收敛定理据我们所知,这是第一次不动点迭代,而不是著名的皮卡迭代,被引入度量空间。后来,在凸度量空间中得到了许多强收敛结果(见[8]).根据定义1,在凸度量空间上识别凸函数是很有吸引力的。基于度量空间上凸结构的思想,定义了W-凸函数,并举例说明在W由(2)定义的线性度量空间中,W-凸函数与传统的凸函数一致。我们证明了线性空间上凸函数的许多主要性质都可由W-凸函数满足正如预期的那样,这些性质中的为了实现这样的性质,我们必须对凸结构W进行额外的假设。例如,当赋范线性空间上的中点凸连续函数是凸的时,中点W-凸性本身似乎不足以在凸度量空间中得到类似的结果。另一个例子出现在研究W-凸函数的局部有界性与局部Lipschitz连续性的等价性时。为了实现这个等价,我们要求凸度量空间满足在任何线性空间中自然满足的某种性质其他属性需要提供一个合适的框架来证明。例如,为了研究函数的W-凸性与其上图的凸性之间的关系,我们必须在乘积度量空间上设计一个凸结构,以便能够定义凸乘积度量空间并刻画其凸子集。最后,我们将我们关于W-凸性的一些结果应用于度量投影问题和不动点理论。为此,我们给出了严格凸度量空间的一个定义,它推广了Banach空间中的严格凸性,并把它与一类严格W-凸函数联系起来。2. 凸度量空间上的W-凸函数及其主要性质定义2. 凸度量空间(X,W,d)上的实值函数f是W-凸的,如果对所有x,y∈X和t∈I,f(W(x,y;t))≤(1−t)f(x)+tf(y)。我们称f为严格W-凸的,如果f(W(x,y;t))<(1 −t)f(x)+tf(y)对所有不同的点x,y∈ X和每个t ∈ I o=]0,1[.例1. 考虑欧氏空间R3 与欧盟-clideannorm设B是R3的子集,XZ T=zy1−txz=W(x,y;t) v y所有闭球B(n,r),其中心为n∈R3,半径r> 0.对于任意两个球B(R1,r1),B(R2,r2)∈ B,定义距离函数d B(B(R1,r1),B(R2,r2))= R1-R2 +|r1− r2|. 很容易高桥检查(,dB)是度量空间。让WB:I是由下式给出的连续映射:度量空间中的不动点理论(fixed point theory[7]参考文献其中)。它最重要的应用之一可能是-W( B(λ, r), B(λ, r);θ)=B((1−θ)λ+θ λ,度量空间中不动点的迭代逼近。关于不动点迭代有相当多的文献(参见。[8,9])。粗略地说,大多数(如果不是全部)已知不动点迭代程序的形成是基于Mann迭代[10]和Ishikawa迭代[11]作为其第一个推广。所有这些序列都要求周围拓扑空间是线性的和凸的。虽然Takahashi[12]利用它来构造一个不动点迭代序列,(1 − θ)r1+ θ r2), 则ri∈R3,ri> 0,θ∈ I.由于对所有θ∈I和任意三个球B(i, ri)∈B,i=1,2,3,dB( WB( B(r1,r1), B(r2,r2);θ), B(r3,r3))=dB( B((1−θ)1+θ2,( 1−θ)r1+θr2),B(3,r3))=(1 − θ)1+ θ2−3+|(1 − θ)r1+ θr2−r3|≤(1 − θ)(1−3+ |r1−r3|)+ θ(2−3+|r2−r3|)的方式=(1 − θ)d B(B(λ1,r1),B(λ3,r3))+ θ d B(B(λ2,r2),B(λ3,r3))。350A.A. Abdelhakim我的W我 It:1t ata1t btbfor I我◦−→◦−∈∈; ≤ −+; ≤ − +∞2=-;∈→ =∈≥=-||LL={; ≤联系我们∈=→−+; ≤ − +=∈.n+λdy,W(y,x; λ)--; −L=L==222∈则(B,WB, dB)是凸度量空间. 函数f:B→ R定义为f(B(r,r)):=+|R|是W B-凸的。实施例2. 设I是闭区间族[a,b],使得0 ≤a≤b≤ 1,并定义映射W I:I×I×I(i,j;)=( −)i+j,(−)i+ji=[ai,bi],Ij=[aj,bj]∈I,t∈I.如果dI是豪斯多尔距离,则(,WI,di)是凸度量空间。的该示例凸度量空间由Takahashi[4]给出。很容易证明勒贝格测度定义了(I,WI, dI)上的WI-凸函数。命题2(具有递增凸函数的复合)。假设f是凸度量空间(X,WX,dX)上的WX−凸函数。设g:f( X)R是递增的,通常意义上的凸。则g f是WX在X上凸的.复合gf是严格WX凸的,如果g是严格凸的,或者如果f是严格WX-凸的,并且g是严格递增的。证据给定x,y X和t I,根据定义2,从g的单调性可以得出:g f W x5. 如果f=max{f1,f2}都是W-凸的,则f = max {f1,f2}在X上是W -凸的.对于所有的x,y∈X和t∈I,我们有fi( W( x, y;t))≤(1−t) fi( x)+t fi( y)≤(1−t) f( x)+t f( y)这就产生了f(W(x,y t))(一)t)f(x)t f(y).6. 极限单调性的一个推论7. 设x,y∈M∈S. 则x,y∈Yn ,对所有n≥ 1, supnfn(x)<∞,且supernf n(y)<∞.修复不∈我且n≥1。由 Y n的凸性我们知道它包含W(x,y;t)。 因此W(x,y;t)∈S。到证明了它保持的M S到显示 的W(x,y;t)∈M. 这是由f n的W-凸性得 出 的,如f n(W(x,y t))(1 t)supnf n(x)tsupnf n(y)<。最后,调用实的完备性公理,后一个不等式意味supnfn (W( x, y;t))≤(1−t) supnfn(x)+tsupnfn(y)∞,证明了supnfn在M∈S上是W-凸.8. 假设有两个不同的点x,y∈X,( (X(,y;t)≤g((1−t) f( x)+tf( y))≤(1 − t)g(f(x))+t g(f(y))。证明了f( x) f( y)∈Xf( x)。 通过X的凸性,我们有W(x,y1)X.由于f是严格W-凸的,F. W(x,y;1)<<$1f(x)+1f(y)=inf x∈Xf(x)实施例3. 设(X,WX,dX)是凸度量空间,g:R → R是增的且(严格)凸的. 则函数f:XR定义为f(x):g(dX(x,x0))对于某个固定x0X是(严格)W X-凸的.函数g的示例包括g(x)=x,g(x)=x[0,∞[(x)x2,g(x)=x[0,∞[(x)x 2],|X|在凸性和g(x)ex 的 情 况 下,g(x)在严格凸的情形下,χ[0 ,∞[(x)xα,其中α > 1.3号提案 设(X,W,d)是凸度量空间. 然后1. X上的W-凸函数f对X的凸子集C的限制g也是W-凸的。2. 如果f是X上的W-凸函数,α0则α f也是X上的W-凸函数。3. X上的W-凸函数的有限和是W-凸的。4. W-凸函数的圆锥组合也是W-凸的。5. 有限个W-凸函数的最大值是W-凸的。6. W-凸函数列的点态极限是W-凸的。7. 设(Yn)是X的凸子集序列,fn是Yn上的W-凸函数,n ≥1. 设S =<$nYn,M= {x∈X:supnfn(x)<∞}. 则M∈S是凸的,且族(fn)n≥1的上限函数fsupnfn在其上是W-凸的.8. 若f:XR是非平凡严格W-凸函数,则f在X上至多有一个全局极小元。证据1. 通过C的凸性,f对C的限制是有意义的,并且g在C上的W-凸性由f在X上的W-凸性得出。2. 真,因为αf(W(x,y t))α((1 t)f(x)tf(y))(1t)α f(x)t α f(y)。3. 从定义2和求和算子的线性中可以明显看出。4. 从2和3得出。矛盾 Q3. W-凸性与连续性首先证明了凸度量空间中广义段上W-凸函数4号提案设(X,W,d)是凸度量空间.设x和y是X中两个不同的点。则集合(x,y)上的W-凸函数fW(x,y λ):0λ 1 是Lipschitz连续的,Lipschitz常数只依赖于x,y.而且如果|f(x)-f(y)|≤αd(x,y),对于某个α > 0,则|对于所有z,w ∈ L(x,y),≤ α d(z,w).|≤ α d (z, w)for all z, w ∈ L(x, y).在继续证明命题4之前,我们想对集合L(x, y)做一些评论。备注1. 如果X是线性空间,W由(2)定义,则W(x,y;λ)是X中的唯一向量,对于每个λ我和set(x, y)被称为([13])连接两个向量x和y的线段。显然,欧几里德几何证明了这个概念。在度量空间中,情况不同,对于λI o,W(x,y; λ)不一定是唯一点。事实上,定义1所要求的W在λ中的连续性应该从多值函数的连续性的意义上来如果λ X,距离d(λ,W(x,y;λ))应该被认为是 一个点集距离,但这只是个技术细节定理1保证了集合W(x,y;λ)中的每个点都属于S(x,(1λ)d(x,y))S(y,λ d(x,y))其中S(x0,r)是中心为x0且半径r> 0的普通球面。此外,在线性设置中,我们具有对称性W(x,y λ)W(y,x 1λ),这导致了对称性(x, y)( y, x).然而,从定义1和引理1推导出来,我们有D. W(x,y; λ),W(y,x; 1 − λ)<$≤(1 − λ)d. x,W( y, x;λ)Q凸度量空间上函数的凸性及其应用351=. (1 −λ)2+λ2<$d(x,y).352A.A. Abdelhakim.Σ∈L=LL2..ΣΣ==.=.⊂d)是d W( x, y;λ),W( y,x;1−λ)<2d( x, y),λ∈Io.康-Lipschitz常数(d(x,y))−1|f(x)-f(y)|. 不平等-d( x,y)d( x,y)因此,所有这些都可以在凸度量空间(X,W,证明了f在L(y, x)上是Lipschitz连续的,一般不假定n(x, y)是最后,观察(x, y)是闭的。事实上,从引理1可以得出,任何u(y,x)都可以写成uW(x,y,d(x,u)/d(x,y))。 所以如果(zn)是L(x,y)的元素序列,则zn=W(x,y,d(x,zn)/d(x,y)),n≥ 1。如果在n → ∞时zn→z,则利用d和W的连续性,形式上得到z=limn→∞W(x,y,d(x, zn )/d(x,y))=W(x,y,d(x,z)/d(x,y)). 由于d(x,zn)≤d(x,y),那么,通过极限,我们也有d(x,z)≤d(x,y)。这说明z ∈L(x,y).第(7)节也证明了该命题的第二个断言。Q推论5. 设(X,W,d)是凸度量空间.如果集合L(x,y)= {W(x,y;λ):0 ≤λ≤ 1}上的W-凸函数f使得f(x)=f(y),则f在L(x,y)上是常数。凸度量空间上的连续函数是W-凸的,只要它们在一定意义下是中点W-凸的。我们在下面的命题中证明了这一点6号提案设(X,W,d)是凸度量空间.每个连续函数f:X→R使得f(W(x,y;μ+v))≤1 f(W(x,y;μ))+1 f(W(x,y;v)),x,y∈X, μ,ν∈I,是2 2W-凸。yXW(x,y;μ)0≤ν≤μ≤1现在我们来证明命题4。证据固定x,y∈X使得d(x,y)> 0。设z, w∈L(y,x)使得z/=w.然后,通过f的W-凸性,我们有f( z) f Wx, y,d( x, z)d( x,y)证据设n为非负整数,令Λnm/2n,m0,1,. . . 、2 n. 通过对n的归纳,我们表明,f( W( x, y;λ))≤(1−λ)f( x)+λf( y),对每个x,y∈X,λ ∈Λn.(八)因为根据引理1,x=W( x, y;0)且y=W( x, y;1),所以当n=0时,(8)是有效的,因为Λ0= {0, 1}。假设(8)对任意λ∈Λk满足,其中k是自然数。现在设x,y∈X,并假设λ∈Λk+1。显然,存在s,t∈Λk使得λ=(s+t)/2。归纳假设意味着,f(W(x,y; u))≤(1 − u)f(x)+u f(y),u ∈{s,t}。(9)通过对f的假设,我们有≤。1−d(x,z)<$f(x)+d(x,z)f(y).(三)十一类似地d( x,y)d( x,y)f(W(x,y; λ))≤ 2 f(W(x,y; s))+2 f(W(x,y;t)).(十)使用(9)在(10)中,我们得到f(w)=f.W.x,y,d(x,w)≠1。d( x,y)≤。1−d(x,w)<$f(x)+d(x,w)f(y)。(四)f( W( x,y;λ))≤=2u∈{ s, t}(1−u) f( x)+u f( y)Σ考虑到(3)和(4),我们只有两种可能性。要么f( z)−f( w)≤(d( x, y))−1(d( x, w)−d( x,z))( f( x)−f( y))−12 2=(1 − λ)f(x)+ λ f(y)。这证明了(8)。设r∈I是任意的。因为集合Λ=n≥0Λn≤(d( x,y))或公司简介W(x,y;μ+v)2ǁ××ǁ×W(x,y;v)1−s+tf( x)+s+t f( y).Σ凸度量空间上函数的凸性及其应用353∈; ≤ −+∈≥|d(z,w)。|d (z, w).(五)d x z d x w f x f y是稠密的,那么存在一个序列(rn)Λ收敛到r。因此f(W(x,y; r))= f.W(x, y;limrn)= limf( W( x,y;rn))()−( )≤( (,))−1((, )−(,))(()−())n→∞n→∞(十一)≤(d(x,y))−1|f(x)-f(y)|d(z,w)。(六)在(5)或(6)的两边交换z和w,我们立即得到|≤(d(x,y))− 1| f(x)-f(y)|d(z,w)(7)|d (z, w)(7)通过凸结构W和函数f的连续性。因为rnΛ,则存在整数m0,使得rnΛm。通过(8), f( W( x,yrn))(1rn)f( x) rnf( y).从后一个不等式,极限和(11)的单调性,我们获得354A.A. Abdelhakimρ→≤ −−→∀ ∃N∀∈N≤+∈={∈ ≤}∈p××00西y,n;f( W( x, y;r))≤(1− limrn) f( x)+limrn f( y)X. 则存在r>0使得f在B(x0,r)上有界,且n→∞n→∞根据引理7,f是B(x0,r/2)上的Lipschitz。因为x是任意的=(1 −r)f(x)+r f(y)。则f是局部Lipschitz。 QQ备注2. 局 部 有界性假设W-下一个引理为命题8铺平了道路,在命题8中,我们证明了W-凸函数在某些凸度量空间上的有界性是它们连续的充要条件事实上,我们在本节其余部分的讨论限于凸度量空间(X,W,d),它们具有以下性质:引理7中的凸函数f,以及随后在命题8中的凸函数f,可以从上面减弱为局部有界。为了证明这一点,假设存在c>0,使得对于每个f∈B(x0,r),f(f)≤c,并且令x∈B(x0,r)。那么存在y∈X使得x0=W( x, y,1)。根据引理1,对于每两个不同的点x,y∈X和每λ∈]0,d( y, x)=d( x, x) r则y∈B(x2r)。 此外,W-1[存在n∈X使得x=W( y,n;λ)或存在η∈X使得y=W( x,η;λ).这个属性自然是令人满意的-f的凸性,2f(x0)≤f( x)+f( y).所以2f( x)−c≤ 2f( x)−f( y)如果X是一个线性空间,W定义为(2)。如果是那样的话λ=λ−1(x-y)+y和η=λ−1(y-x)+x。引理7. 设B(x0,r)是一个以x0为中心的开球,半径为r>0,包含在X中。如果f:XR是W-凸的,使得|M在B(x0,r)上的n f是2M|MonB(x0,r)thenfis2MLipschitz关于B(x0,rρ),0<ρr.证据 设x和y是B(x0,r)中两个不同的点.然后,通过我们对(X,W,d)的假设,存在 ∈Xsuchx=W(y,n;d(x,y) )或存在η∈X使得y=0 0f(x)= 0 |f(x)|≤ c +2 |f(x0)|.备注3. 回想一下,函数f:XR在x 0处是下半连续的,如果对每个t t,并且如果t> f(x0)x0 :f(x)1的情况下的证明中的困难,并解释为什么引理9的断言仅限于p=1的情况。由于同样的原因,度量d∞被排除在外我们当然我们可以简单地为这些情况构造反例,但这将使我们超出本文的范围对于1≤p<∞,我们利用以下事实:(i) WX和WY分别是X和Y上的凸结构。(ii) 映射x<$→xp在[0,∞[.(iii) (μ+ν)p≤2p−1μp+νp,对所有μ,ν≥0。然后我们看到,dp(( x3,y3),(WX( x1,x2;t), WY( y1,y2;t)=. d X(x3,W X(x1,x2; t))<$p +. dY( y3,WY( y1,y2;t))pX13(y,f(y))∈Epi(f),则(WX( x, y; t), WR( f( x), f( y); t))=W X×R((x,f(x)),(y,f(y)); t)∈ Epi(f).因此f( WX( x, y t))WR(f( x), f( y) t)(1t) f( x)t f(y),也就是说f是W X凸的。2. 设t I和x,y Sh(f)使得f(x)h和f(y)H. 因为f是W X凸则f( WX( x, y t))(1t)f(x)t f(y) h。因此W X(x,y; t)S h(f)和S h(f)是凸的。Q下面的定理是引理10和命题11的应用。定理12. 任意W-凸函数集合的点态上确界是W-凸的。证据 设(X,W,d)是凸度量空间. 让J是某个索引集,并假设{f}是 一个同事,. 根据第11号提案,≤。(1−t) d(x, x)+td(x,x)pX上的W我 i∈ J+。(1−t) dY( y1,y3)+tdY( y2,y3)pEpi(fi)是凸积度量的凸子集≤2p−1 (1 − t)p。d X(x1,x3)p+。dY(y1,y3)p空间(X×R,WX×R,dX+dR)。 如果 f:X→R是这样的,f( x)=supi Jfi(x), x∈X,则Epi( f)=+2 p−1t p。d X(x2,x3)<$p +. dY(y2,y3)ppi∈JEpi(fi)。∈根据引理10, 肾上腺素(女) 是的凸子集,=2 p−1<$(1 −t)p d p。(x1,y1),(x3,y3)当p = 1时,其给出期望的不等式(14)。 Q利用引理9,我们可以描述凸乘积度量空间的凸子集。定义3. 凸乘积度量空间(X)的子集ZX ×Y,WX×Y,d1)是凸的,如果WX×Y((x1,y1),(x2,y2);t)∈Z对所有点(x1,y1),(x2,y2)∈Z和所有t∈I.根据定义3,我们可以很容易地验证下面的引理10引理10. 凸乘积度量空间(X×Y,WX×Y,d1)的任何凸子集集合的交都是凸的.11号提案 设f是凸度量空间(X,WX,dX)上的实值函数. 然后1. 函数f是WX-凸的当且仅当Epi(f)是(十)R,W X×R,d XdR),并使用命题11,它如下f在X上是W-凸的。 Q5. 投影问题和不动点理论的应用设Y是凸度量空间(X,W,d)的非空子集. 距离地图(cf。[16])d Y:X → [0,∞[定义为d Y(x)= inf y∈Yd(x,y)。距离映射dY是W-凸的.事实上,如果x1,x2∈X,y∈Y和t∈I,那么根据dY的定义,我们有dY( W( x1, x2; t))≤ d( W( x1, x2; t), y)≤(1−t) d( x1,y)+t d( x2,y)对于每一个Y。因此,通过正齐性和次可加性的最小值,d Y(W(x1,x2; t))≤ inf.(1−t) d( x1,y)+t d( x2,y)≤(1−t) infd( x1,y)+t infd( x2,y)凸乘积度量空间的凸子集y∈Yy∈Y(X× R,WX×R,dX+dR),其中WR和dR分别是R上的凸2. 如果f是W X−凸的,则子水平集S h(f)是X的凸子集,对每个h∈ R。证据1. 设f在X上是WX凸的,设(x,s),(y,t)肾上腺素(f)。然后f( WX( x, y;λ))≤(1−λ)f( x)+λf( y)≤( 1−λ)s+λt对于所有λ I. 因此(WX( x, yλ),(1λ)s λt)肾上腺素(f)。即WX×R(( x, s),( y, t);λ)=(W X(x,y; λ),WR(s,t; λ))∈ Epi(f),λ ∈ I.因此Epi(f)是X×R的凸子集。相反,假设Epi(f)是凸的。固定x,y∈X和t∈I。由于(x,f(x)),凸度量空间上函数的凸性及其应用357.Σ= ∈ =/=∈→→∈→ ∞⊂∈=∈→ → ∞=(1 − t)d Y(x1)+t d Y(x2)。如果Y是凸的,则度量投影算子(也称为最近点映射)(参见图1)。[17])PY:X2Y由PY( x):y Y:d( x, y) dY( x)给出。如果对于每个x,Y(x),那么Y被称为邻近的。PY(x)是凸的([18],引理3.2),如果Y是闭的,那么它是邻近的。在这种情况下,Y的邻近性的证明是标准的,并且在赋范空间的设置中在许多书籍中给出(参见。[13,16])。我们在这里简单地勾勒一下。存在一个极小化序列(yn)Y使得d(x,yn)dY(x),xX,asn.所以序列(yn)是有界的,直到用一个子序列替换它,它收敛到y,比方说。因此,d(x,yn)d(x,y)为n。因此d( x, y) dY( x)。因为Y是闭的,所以y PY(x)。度量投影集PY(x),如果非空,不一定是单例的.如果PY(x)对每个x X都是单例,则凸集Y称为切比雪夫集。这是众所周知的(cf。[15])严格凸自紧Banach空间的每个闭凸子集都是Chebyshev集。358A.A. Abdelhakim∈2O∈∈∈联系我们∈ ={} ∈−/=∈→0我们想描述一个点x X在Y上有唯一投影的充分条件。本文首先给出凸度量空间中严格凸性的定义。定义4. 一个凸度量空间(X,W,d)是严格凸的,如果对每个x0∈X和任意两个不同的点x,y∈S(x0,ρ),且ρ >0,我们有W(x,y;t)∈B(x0,ρ),τt∈Io.备注4. 如果X是一个赋有引入度量d的范数的线性空间,W由(2)给出,则定义4在归一化和平移到原点之后,与严格凸赋范空间的已知定义一致[15]。定义5((严格)W-凸性相对于球)。 设(X,W,d)是凸度量空间。固定x∈X,ρ>0和σ∈]0,ρ[.X→ [0,∞[定义为f(x):= d(x,Tx)是严格W-凸的,在x ∈ X处有局部极小值。故,T是一个固定的点。证据根据命题3,点f是f的唯一全局极小化子.假设T=0。由于X是凸的,则W(T,T,t)∈X<$t∈I,并且由于f在X上是严格W-凸的,则对于所有的t∈Io,我们有f( W(n, Tn;t))(1−t) f(n)+t f( Tn)=(1−t) d(, T)+t d( T, T)≤(1−t) d(, T)+t d(, T)=d(τ, Tτ)=f(τ),(15)我们用f的非扩张性来估计 d(T),T2) ≤d(n, T)。 的 严格 不平等 (15)矛盾的事实 f(m)=minf(x). 因此,我们必须我们称B( x0,ρ)上的实值函数f为W-凸函数,球面S(x0,σ)如果T = Qx∈Xf( W( x, y;t))≤(1−t) f( x)+t f( y),<$x, y∈S( x0,σ),t ∈I,备注5. 函数f通过T的连续性而连续。因此,如果X是紧的,那么确实存在一个点x∈X使得f(x)=minx∈Xf( x),并且我们不需要做出这样的一个我们称它关于球面S(x0,σ)是严格W-凸的,如果f( W( x, y;t))(1−t) f( x)+t f( y),<$x,y∈S(x0,σ),其中xi=y,<$t∈I.下面的命题是定义4和定义5的直接结果。13号提案设(X,W,d)是凸度量空间.如果对于每个x0∈X和ρ > 0,函数f:X→[0,∞[定义为f(x):=d(x,x)对于球面S(x,ρ)是严格W-凸的,则假设F。引用[1] W.A. Kirk,非扩张映射的一个抽象不动点定理Math.Soc.82(1981)640[2] W.A. Kirk,非扩张映象的不动点理论II,Con-temp.18(1983)121[3] 杨文,不动点定理,国立台湾大学数学研究所硕士论文,1999[4] W. Takahashi,A convexity in metric spaces and nonexpansivemap-0空间X是严格凸的。0ping,Kodai数学. Sem等众议员22(1970)142[5] A. 《Liepipelet》,一首固定点上的小老虎的摇篮曲,《拓扑学》,下面的定理断言严格凸度量空间的闭凸子集是切比雪夫集。定理14. 设Y是严格凸度量空间(X,W,d)的闭凸子集。那么每一个x X在Y上有唯一的投影。证据由于Y是封闭的,那么P Y(x),x X通过上面的讨论。如果x Y,则P Y x。设xX有两个不同的投影y1,y2,Y.那么d(x,y1)d(x,y2)dY( x).让我0。由于Y是凸的,那么W(y1,y2;t)Y,并且由于X是严格凸的,那么d( W( y1,y2;t), x)(1−t) d( y1,x)+t d( y2,x)=dY( x),这是个矛盾 Q定理15. 设Y是严格凸完备度量空间的紧凸子集.如果f:Y是连续的,那么它在Y中有一个固定点。证据 因为Y是紧的,所以它是闭的,并且根据上面的定理14,它是切比雪夫集。其余的证明来自[18]中的定理3.4和推论3.5。Q定理16. 设(X,W,d)是凸度量空间,T:X → X是非扩张映射. 假设函数f:典型空间及其映射Riga,(1983)61[6] M.R. 张文,张文,等.[7] W. 林明,非线性泛函分析,北京:清华大学出版社,2000.[8] V. Berinde,迭代逼近固定点,数学讲义,卷。施普林格,柏林,德国,2007年。[9] C. Chidume,Banach空间的几何性质和非线性迭代,数学讲义,第1965卷,Springer,伦敦,英国,2009年。[10] W.R. 李 文 , 迭 代 法 中 的 均 值 法 , 中 国 科 学 院 学 报 。Math.Soc.44(1974)147-150.[11] S.张文,一种新的迭代方法,北京大学学报。Math.Soc.4(1954)506-510.[12] 丁祥平,凸度量空间中非线性映射的迭代过程,数学分析应用学报,132(1988)114[13] J.M. Borwein , A.S. Lewis , Convex Analysis and NonlinearOptimization,Springer,2006.[14] 室温罗克费勒,凸分析,普林斯顿大学出版社,1970年。[15] C. Zaalberlinescu,基因向量空间中的复杂性分析,世界科学,2002年。[16] A.张文,度量空间,凸性与非正曲率,中国数学出版社,2005年。[17] 李军,度量投影及其在Banach空间变分不等式求解中的应用,不动点理论,第5卷(第2期)(2004)285[18] I. 一致凸度量
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