Journal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，3埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章时标上动力方程的概周期解张洪涛a，b，李永坤b，*a昆明理工大学应用数学系，云南昆明650093，中华人民b云南大学数学系，云南昆明650091，中华人民接收日期：2012年5月10日;修订日期：2012年9月27日;接受日期：2012年2012年11月17日在线发布本文首先提出了时标上概周期函数的概念，并研究了它们的基本性质。然后利用李雅普诺夫泛函研究了时标上概周期动力方程概周期解2010年数学学科分类：34N05、34C27、34D202012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍近年来，许多研究者研究了时标上动力方程周期解的存在性[1然而，关于时标上动力方程概周期解的存在性的研究却很少。事实上，概周期解、渐近概周期解、伪概周期解的存在性是微分方程和差分方程定性理论中最有吸引力的课题之一，因为它们在生物学、经济学和物理学中有着广泛的应用[9因此，研究时标上动力方程*通讯作者。电子邮件地址：yklie@ynu.edu.cn（Y. Li）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier基于上述考虑，本文提出了时标上概周期函数的概念，并研究了时标上概周期动力方程周期解的存在性本文的结果包含了文[11本文的组织如下：在第2节中，我们介绍了一些符号和定义。第三节研究了时标上概周期函数的一些基本性质。第四节利用时标上概周期函数的性质和Liapunov泛函，研究了一般时标上概周期动力方程概周期解的存在性.2. 预赛在这一节中，我们将回顾一些基本的定义，引理，这些引理将在下文中使用。设T是R的非空闭子集（时标）. 向前和向后跳转操作符r; q：T！T和1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.10.004关键词概周期函数;概周期解;时标;动力学方程;李雅普诺夫泛函4H. Zhang， Y.李！¼D半] ¼fð Þ！2[001pdf1st-31files]22ð Þ þ2-p2-2½ ×];不定义2.3.我们说函数ft2Ct;En是颗粒度l：T！R的定义分别为：rtinffs2T：s>tg;qt supfs2T：s< tg和 我不知道你在说什么一个点t2T称为左稠密的，如果t>infT和q（t）=t，左散射的，如果q（t）t，右稠密的，如果tsupT和r（t）=t，和<如果r是回归函数，则广义指数函数er定义为：ert;ss ssexp. Znlsrsds;fors;t2TS用柱面变换如果r（t）>t，则是右散射的。如果T有左离散极大值m，则Tk<$Tn fmg;否则Tk<$T。nhzLog1hzH如果h若T有右离散极小值m，则Tk<$Tn fmg;z（如果h为1/4）：否则TkT。一个函数f：TR是右稠密连续的，只要它在T中的右稠密点处连续，并且它的左极限存在于T中的左稠密点处。如果f在每个右稠密点和每个左稠密点上连续，则称f在T上连续。我们定义C J;R u t上连续J}，且C1J;RuDt在J}上连续.对于y：T R和tTk，我们定义y（t）的delta导数yD（t）为具有以下性质的数（如果存在）：对于给定的e>0，存在t的邻域U，使得jrt-ys]-ytrt-s]jejrt-sj对于所有的S2U。对于每个t2T，设N是t的邻域.然后，我们去-定义2.11.我们说时间尺度T是周期的，如果存在p>0，使得如果tT，则t pT。对于备注2.1.根据上面的定义，如果时间尺度T是周期性的，则sup T<$1 ， 并 且 l （ t ） 必 须 有 界 ， 并 且 对 于 任 何t2T;l<$t<$6p; l <$t <$p <$$>l <$t <$。实施例2.1. 设q>1，考虑时间尺度T^fqn：n2Zg [f0g. 显然，这不是一个周期性的时间尺度，我们有n2½m²1;1 µg²qm²1²q m ²1²qm²M求广义导数（或Dini导数）D+uD（t），如果t1/4q 2T和r（0）=0。所以我们得到这意味着，给定e>0，存在右邻域NecN，使得urt-usDuDtelt;s<对于s N e，s> t，其中l（t，s） “r（t）s。如果t是右离散的，u在t处是连续的，这就简化为rtqt 为所有t2T并且因此ltrt-tq-1t为所有 t2T：因此，l（t）fi 1为t fi 1。在本文中，我们始终使用T来表示周期性时间尺度，使用En来表示Rn或Cn，并使用以下符号：杜杜urt-ut：Þ ¼rðtÞ -tT1/4。fnp：n 2 Zg;若T是周期为p的周期时标;对于V CrdT Rn;R;D<$VDt;x t，e>0，存在一个右邻域N∈CN，使得1lt;s½Vrt;xrt-Vs;xrt-lt;sft;xt] t，其中l（t，s）“r（t）s。如果t是右散列的，并且V（t，x（t））在t处连续，则这简化为R;如果T¼R：为了方便起见，我们用a表示序列{an}，如果序列b^fbng是a^fang的子序列，Taf（t）=limnfi1f（t+an），如果极限存在。 会聚模式将在每次使用符号时指定。11.第十一章设A<$B<$R，我们说A相对DVDt;xt¼Vrt;xrt-Vt;xt：rt-t稠密的，如果存在一个正数l，使得对于所有a2B我们有如果y是连续的，则y是右稠密连续的，如果y在t是δ可微的，则y在t是连续的。设y是右稠密连续的。如果YD（t）=y（t），则我们通过下式定义delta积分：Zt一 ysdy t-y a：1/2a;al]B\A其中是空集，[a，a + l] B=[a，a + l]B l称为包含长度。函数r：T！R称为回归的，如果1lrt对于所有的t2Tk.所有回归函数和rd-连续函数的集合将用R表示。我们定义R的所有正回归元素的集合R，R=0，R=1，R = 2，R = 1，R =为所有 t2Tg：几乎周期的，如果对任意给定的e>0，Tf;e;Tfs2Tp：jfts-ftje;8t2Tg<在Tp中相对稠密;也就是说，对于任何给定的e>0，存在l=l（ e ） >0 ， 满 足 每 个 长 度 为 l 的 区 间 包 含 至 少 一 个s/se2Tf;e;T，使得j fts-ft j 0和D中的紧集S，存在l=l（e，S）满足每个长度为l（e，S）的区间包含s，使得jf ts;x-ft;xje;8t;x 2T ×S：0，紧集S和序列a0，存在子序列aca0使得函数序列{f（t+an，x）}中任意两个函数之差的范数小于e，对t;x 不S.根据柯西收敛原理，这表明，{f（t+an，x）}在T×S上一致收敛.现在我们证明g（t，x）在T×D上是连续的。设g（t，x）在点<$t0;x0<$2T×D处不连续，则存在一个数e0>0，序列{dm}，{tm}，{xm}，其中dm>0，且dmf0asmf+，0tm+x0xmdm使得jgt0;x0-gtm;xm jPe0：3：1设X={xm}[{x0}，则X是D中的紧集.因此，存在正整数N=N（e0，X）使得对于n>N，以下不等式对于m一致成立，e0级jftmbn;xm-gtm;xm j3：23：24<此外，对于n>N，我们有e0级jft0bn;x0-gt0;x0j3：3：3<由于f t;x CTD;En当m足够大时，dm可以任意小，对于足够大的m，我们有为了介绍时标上一致概周期函数的判别准则和性质，我们首先建立了时标上一致概周期函数的jft 0bn;x0-fte0级mbn;xm j3：03：440，存在l=l（e/2，S）使得每个长度为l的区间包含一个e/2-平移数。因此，我们认为，为任何序列0¼a0nTp，存在sn2Tp和cn2Tp，使得a0n<$sn<$cn，其中sn2Tf;e=2;S;T和cn2{0，p，·· ·，nl p}，nl p6l.因为集合{0，p，. ，n l p}是有限的，则必须有无限个cn等于某个c2 {0，p，. ，nl p}。设{an}是所有a0n的集合，使得cn=c。则对于任意两个整数p，m和任意nt;x<$2T×S，我们有由式3.2、3.3和3.4，很容易得到与式3.1相反的结果。因此，g（t，x）在TD上是连续的。最后，对任意紧的ScD和任意给定的e>0，取s2T<$f;e;S;T <$，则对于所有的t;x<$2T×S，我们有jftbns;x-ftbn;x je：<由此，设n=1，我们得到：jgts-gt;xje; 8t;x 2T×S：<因此，g（t，x）也是一致概周期的。H引理3.2. 设f∈t;x∈ 2C∈ T×D;En∈.设对任意序列a0 <$Tp，存在子序列aca0使得T af（t，x）在T S上一致存在，其中S是任意紧的 设置在D。则f（t，x）是一致概周期的。证据假设结论不成立。则存在一个e0>0和一个紧集S0cD，使得对于任意大的l>0，我们可以找到一个长度为l的区间，它不包含f（t，x）对于x2S0的e0-平移数。6H. Zhang， Y.李ΣΣ⊂. .ΣΣþ×ð Þ 2 ð ×Þ22---ð Þð Þ 2 ðÞ2ð Þ ð Þ 2 ð ×Þ接下来让 a2;a22ja01j2ja02j×.rts-ts.-ft;xr-t½frt;x-ft;x]。ΣΣ>n现在我们取一个数a012Tp，设1/2a1;a1<$2ja01j]是一个不包含 任 何 e0- 平 移 数 的 区 间 ， 其 中 a12Tp 。如 果 我 们 设a021/4a1ja01j，则a16a02-a016a12 ja01j，因此a02-a01不能是e0-平移数。是一个区间，其中包含不存在任何e0-平移数，其中a22Tp.设a03¼a2ja01jja02j，则很容易看出a03-a01和a03-a02都在a2 中;a22ja01j2ja02j。因此，a03-a01和a03-a02不是e0-平移数。同样，我们可以定义（ii）若F <$r; x<$2 C <$R× D; En<$对x2 D在r上一致概周期，则F（t，x）在T × D上也是连续的，对x 2 D在t上一致概周期.证据（i）假设f<$t;x<$2C<$T×D<$是几乎周期的，t为x2D。我们在R×D上定义函数F（r，x）为：8>ft;x;为 r/dt和x2D;04;05;. 所以a0i-a0j是一个e0-><如果t是右稠密;翻译号码对于任何i和j，inj，Fr;x¼>ft;xr-t½frt;x-ft;x];对于 r2½t;rt= 0且x2D;supJf.ta0;x-f. ta0;xjrt-t：如果t是右离散：t;x¼supJJf.ta0j-a0i;x我-f ∈t;x ∈ jPe0;显然，F（r，x）在R×D上是连续的，并且F（t，x）=f（t，x），T × D. 接下来，我们证明函数F（r，x）定义为t;x也就是说fta0n;x不能包含任何一致收敛的子序列。这与定理的假设相矛盾。因此，f（t，x）必须一致几乎是周期性的。引理3.2的证明是完整的。H作为引理3.1和3.2的直接结果，我们得到：3.1号提案f t;xCTD;En是一致概周期函数当且仅当对任意序列a0Tp，存在子序列aca 0使得Taf（t，x）在TS上一致存在，其中S是D中的任意紧集.此外，极限序列也是一致概周期函数。由于几乎周期函数可以看作是一个特殊的周期函数，一致概周期函数的一个例子，从Propo-第3.1章一个人上式是在r中几乎周期的，对x是一致的D.由于f（t，x）在t中几乎是周期的，对于x D是一致的，对于任何给定的e>0和任何紧集ScD，存在l（e/3，S），使得任何长度为l（e/3，S）的区间包含s，jfts;x-ft;xje=3;8t;x2T×S：<如果t是右稠密的，F（r，x）=f（t，x），其中r=t，则jFrs;x-Fr;xje=3e： 3：5<<如果t是右散射的，t6r（t），则t+s6r+srr（t）<<+s.注意06 rt 0，则商f（t）/g（t）-frt;x]-½fts;x-ft;x]gj0，其中ScD是任意紧集，则商f（t，x）/g（t，x）也是一致概周期的.提案3.4.（i）若f<$t;x<$2C <$T×D;En<$对x2D在t上几乎一致周期，则存在函数F<$r;x<$2C <$R×D;En<$r对x2D几乎 一 致 周 期 ， 使 得 F （ t ， x ） =f （ t ， x ） 对 x<$t;x<$2T×D;p使得T aF（t + an，x）在R × S上一致存在，其中S是D中的任意紧集. 因此，T_af（t + an，x）= T_aF（t+an，x）在T_S上一致存在.根据引理3.2和定义2.9，这表明f（t，x）是一致概周期的。H根据命题3.4，3.5号提案(i) 若f <$t<$2 C<$T;En<$是概周期函数，则存在一个概周 期 函 数 F<$ r <$2 R<$;En<$ ， 使 得 F （ r ） = f（t），其中t2T;时标上动力方程的概周期解7ð Þ 2×ð Þ 2 ðÞð Þ 2 ðÞð Þ 2 ðÞ. Σ⊂.- 是的Σ¼ 2ð Þ 2 ðÞð Þ 2 ðÞ1 1×2½ fg快看！ 11你好！12⊂你好！1n⊂⊂nn(ii) 如果FrCR;En是概周期函数，则F（t）是T上的概周期函数。注3.1. 若Fr CR;En是周期函数，则不能得到F tT En也是周期函数.例如，F（t）= sin t在R上是周期的，但在Z上仅是几乎周期的而不是周期的。类似于命题3.4的证明，我们可以很容易地证明，3.6号提案(i) 若ft CT;En是渐近概周期函数，则存在渐近概周期函数F<$r<$2<$R;En<$，使得F（r）= f（t），因此，我们得到TabftttaTbft在T上一致成立：相反，由式（3.7）我们知道，对于任何序列c0Tp，存在一个子序列ccc0，使得Tcf（t）存在于每个t2T上。通过命题3.1，它足以证明Tc f（t）在T上一致存在。否则，必须存在e0>0，子序列a0cc，b0cc和序列s0¼s0np，使得jfs0na0n-fs0nb0njPe0>0：03：8由式（3.7）可知，存在连续性a00ca0，s00cs0，使得Ts00a00t在t2T上保持：我们取b00cb0，使得b00，a00和s00分别是b0，a0和s0的公共子序列。由式（3.7）可以得出，存在连续性bcb0和aca0，使得t2T.nTftTft在t2T上保持：(ii) 如果F<$ r<$2 C<$R;E<$是渐近概周期的，sbs B函数，则F（t）是T上的渐近概周期函数。作为上述命题的直接结果，我们得到了下列结果，它们对应于连续情形的结果（见[14，23]）。3.7号提案 若f<$t; x<$2 C<$T× D; En<$在t上是几乎周期的，则f（t，x）在T × S上是有界的且一致连续的，其中ScD是任意紧集.3.8号提案 如果f<$t; x<$2 C<$T× D; En<$x对x2D在t中一致概周期且p（t）是概周期函数使得p（t）cS对所有的t2T，其中ScD是任意紧集.我们取aca00，使得a，b和s分别是a0 0，b00和s0 0的公共子序列。因此，我们有TsaftTsTaft在t2T上保持：由于Ta f（t）=Tb f（t）=Tc f（t），因此，TsaftTsbft在t2T上成立;也就是说，对于每个t2T，limftsnbnlimftsnan;如果我们取t0T，则与公式3.8相矛盾。 这就完成了证明。H3.12号提案f<$t;x<$2C<$T×D;En<$是T×D上的一致概周期函数当且仅当对任意序列则f（t，p（t））在t中几乎是周期的。3.9号提案若f t CT;En是渐近概周期函数，则其分解ftptqt是唯一的，其中p<$t<$2C<$T;E<$是一个概周期函数，且limtfi 1q（t）= 0。3.10号提案f∈ t<$2C<$T;En<$是渐近概周期函数当且仅当对任意序列a02Tp，使得a0n>0且a0n！如果n=1，则存在一个子序列a0Tp和b0Tp， 那里 存在 子序列 ACA0和bcb0，Tabft;xt; x t;xt在T×S上一致成立;3：9其中S是D中的任意紧集。4. 时标上的概周期动力方程考虑以下时间尺度T上的概周期动力学方程：Daca0使得Taf在T∞：<$T\½0;1 ∞上一致存在.3.11号提案如果0 2T.则f∈t∈ 2C∈ T;En∈ T是T上的概周期函数当且仅当对任意序列a0∈Tp和b0∈Tp，存在连续性aca0和bcb0使得对任意t2 T，Tabft：3：7证据 设f t CT;En是T上的概周期函数。则存在R上的概周期函数F（r，x）使得F（t）=f（t），对所有t2T.对于任意序列a0<$Tp，b0 <$Tp，存在子序列aca0，bcb0使得TabFrTaTbFr在R上一致成立：X 1/4f/t;x/t;14：1m其中0 2T;f<$t;x<$2C<$T×D;R<$T对x 2 D 是一致概周期的，D表示R或R的开子集.引理4.1. 设f（t，x）是一致概周期的，gH（f）.则存在一个序列aanp，则n为且T a f（t，x）=g（t，x）在T上一致S对任意紧集Sc D.证据由于g H（f），存在序列a0Tp使得Ta0ft;xgt;x在T上一致S. Ifa0nasnf，则我们通过令a=a0 来 完 成 。否则，设en=1/n，并选择r0n2½-a0nn<$n;-an n<$k<$l<$en <$]，. ftr0n;x-ft;x。61=n对于所有T;xT2T×S：8H. Zhang， Y.李×我的天！11ð Þ ¼ ð Þ ×222ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ22⊂2⊂1/snam0n-/snak0nð Þ 2 ð× ×ÞZ在T×S上均匀分布的1/4g？t;x？t：然后它遵循f<$t<$r0n;x<$一致收敛于T×S上的f（t，x）作为n∈1，即，Tr0ft;xft;x在T×S上一致：根据命题3.11，对于序列a0和r0，存在连续性aca0和rcr0，使得假设f（t+an）在T上不一致收敛为n∈1。则对于某个e0>0，存在序列s01/fs0ngTp;fm0ngZ和fk0ngZ，使得m0n！1个;k0n！ 1作为n！1个;而Tarft;xlrTaft;xlr0Taft;xlTaft;xlTa0ft;x。00。通过选择r0<$r0n，a0n<$r0是微不足道的！1作为nf1.因此，通过用a+r替换a0，这是一个子然后根据命题3.11，对于序列fs0ng;fam0ng，和fak0ng，存在fsngf0ng;famngfamng，以及fakngfak0ng这样的a0+r0的 序 列，我们可以满足这个要求。H定义4.1. 如果g2H（f），我们说，Tsam和g/t;x/¼Tam Tst;xxD¼g/t;x是式（4.1）的壳方程。定理4.1. 若f（t）是（4.1）在T∞上的渐近概周期解，则（4.1）有概周期解.证据由于f（t）是渐近概周期的，所以它具有分解/;其中p（t）在t中几乎是周期性的，q（t）fi0为tfi1。 在Lem-ma4.1中，存在一个序列a0a0nTp使得a0n作为n文件，且Ta0ft;xgt;x在T上一致S. 通过Prop-位置3.1，存在序列aca0，使得Tap（t）= w（t）在T上一致。由于Taft;xl^Ta0ft;xl^gt;x 在 TS 上 一致 ， 我 们得 到 Ta/（t）=T ap（t）=w（t）是相应的壳方程xD¼g/t;x在T。设T-ag（t，x）=f（t，x）在T×S上一致，T-aw（t）=p（t）在T上一致，则p（t）是（4.1）的概周期解.H定理4.2. 如果对每个gH（f），壳方程xD（t）=g（t，x（t））在S中有唯一解，则这些解是概周期的.特别地，系统（4.1）在S中有一个几乎周期解.证据设f（t）是xD（t）=g（t，x（t））在S中的唯一解，其中g为H（f）.对于任意给定的序列a0Tp，我们将证明存在一个子序列ac a0使得 Taf（t + an）在t2 T上一致存在，因此由命题3.2我们得出结论f（t）是概周期的.注意gH（f）是一致概周期的，通过引理2.1. 那么对于给定的序列a0Tp，我们可以选择a c a0，使得T a（t，x）=h（t，x）均匀对T·S。简单地说，h2H（g）cH（f）。由于{f（t+an）} 2S，我们可以选择a的子序列，再次用a表示，使得别说了！/ωt 在T的任何有限区间上：显然，f*（t）是DTsakgt;xt;xt;xt在T×S上保持一致。另一方面，存在一些函数u（t）和w（t），使得在任意区间上，T.由于Tamgt;x<$$>Takgt;x<$ht;x，我们有Tsamgt; xT sakg t; xT s h t; xl t; x对于某些lH（h），必要时取子序列。因此，u（t）和w（t）都是S中的解，xDtl t; xtt：注意lH（h）c H（g）c H（f），通过假设我们必须有u（t）“w（t）。然而，从公式4.2可以得出：ju0-w0jPe0：这是一个矛盾。因此，f（t）是xD（t）=g（t，x（t））在S特别地，由于f H（f），我们得出结论：（4.1）有一个概周期解 H第二十四章. 设y，f2C rd和p2 Rrd，则DyDt6ptytft为所有 t2T意味不对于所有的t2T，y=0， y =6，y=0，t= 0的t0其中t02T.现在，我们利用时标上的Liapunov函数，研究了方程（4.1）的概周期解的存在性，该解在整体上是一致渐近稳定的，也就是说，在未来D中的每一个解都以t ∈ F的形式逼近概周期解。为此，对于系统（4.1），我们考虑它的乘积系统：xD¼ft;x;yD¼ft;y：4：3定理4.3. 设存在一个李雅普诺夫函数V t;x;y CTDD;R满足 的 以下条件：(i) a（x，x，y）6V（t，x，y）6b（x，x，y），其中a;b2Kx¼h t; xh：其中K<$fa2CR：a=0且a在增加};的时间0：04：20时标上动力方程的概周期解9--2221×我的天！1--1/2f22-662¼¼2-CDDK- - 2 RM2L22MKK22(ii) <$V（t，x1，y1）v（t，x2，y2）<$6L[<$x1x2<$+<$y1y2]，其中L>0是常数;在f（t，x）在t中是周期的情况下，x，p（t+x）也是（4.1）的一个解，它留在S中。通过(iii) D VD2014年4月3日其中-c2 R= 0且c> 0.解的唯一性，我们知道p（t + x）= p（t）。这就完成了证明。H此外，如果存在（4.1）的解x（t），使得x（t）S，其中ScD是紧集。则存在唯一的一致渐近稳定的概周期解p（t）。此外，如果f（t，x）是周期的，周期为x，则p（t）是（4.1）的周期解，周期为x。证据设anTp是一个序列，使得a0n为f（t，x）= f（t，x）在TS上一致。假设/（t）c S是式（6.1）对tT≠ 0的解。则f（t+an）是动力学方程的解xDftan;x;也是在S。对于给定的e>0，选择一个整数k0（e），如果mPk>k0（e），我们有b2Be-cak;0ae=24：4<和jfta;x-fta;xjcae;4：5<实施例4.1.考虑以下时间尺度T上的动力学方程：xD¼atfxpt;4：7其中a（t），p（t）在T上几乎是周期的;f<$x <$x是单调递增的并且f（-1）=-1，f（+1）= +1。设lω超级测试 Lt若存在常数a，b使得f0（x）Pa>0，a（t）6b0<和2 l*ab>0，则有前-是（4.7）的唯一一致渐近稳定的概周期解。证据我们首先证明了（4.7）在T ∞上有界解。用F（t，x）表示（4.7）式的右边，很容易看出，存在一个常数M0> 0，使得F（t，M0）<0，f（t，-M0）>0，对t2T≠ 0。因此，式（4.7）的解在初始值为（0，x0）时满足<$x（t; 0，x0）<$ M0，我们得到集合X ={x（t）：x（t）是（4. 7）和对于2 T g - ;ndx（t）0且c≠ 0，因此条件(iii) 第4.3章也满足了因此，利用定理4.3，存在唯一的一致渐近稳定的概周期解（4.7）。证据是完整的。H致谢本工作得到了中华人民共和国国家自然科学基金项目10971183的资助10H. 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