反卷积软件projDeconv v2: 傅里叶变换、球滤波变分及MATLAB实现

[客户端][客户端]⎩SoftwareX 8（2018）11原始软件出版物使用傅里叶变换相位、101和102球以及滤波变分的反褶积Onur Yorulmaza，*，A. Enis Cetinb，1a电气和电子工程系，Bilkent大学，06800 Bilkent，安卡拉，土耳其b美国伊利诺伊州芝加哥市伊利诺伊大学电气与计算机工程系ar t i cl e i nf o文章历史记录：2017年11月22日收到2017年11月22日接受保留字：反卷积傅里叶变换相位1号球凸集投影a b st ra ct在这篇文章中，我们提出了一个反卷积软件的基础上，凸集构造的相位的傅里叶变换，有界的能量和能量的一个给定的图像。迭代反卷积算法是基于凸集投影的方法该方法的另一个特点是它可以在迭代反卷积算法上引入一个近似的总变差界，称为滤波变差界。本文的主要目的是介绍名为projDeconv v2的开源软件©2017由Elsevier B.V.这是一篇CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。代码元数据当前代码版本v2用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-17-00092法律代码许可证无使用git的代码版本控制系统使用MATLAB的软件代码语言、工具和服务编译要求，操作环境依赖性MATLAB 2016a with Image Processing如果有开发人员文档/手册链接无问题支持电子邮件yorulmaz@ee.bilkent.edu.tr1. 动机和意义反卷积是在许多图像处理应用中反转滤波效果的过程，滤波会降低图像质量（主要是模糊的来源可以从相机运动到图像捕获设备的光学特性而变化。因此，在许多图像处理问题中，在进一步处理之前对输入图像进行去卷积在 这 篇 文 章 中 ， 我 们 提 出 了 一 个 软 件 ， 使 用 投 影 到 凸 集（POCS）为基础的方法，以纠正高度模糊的焦点图像。在离焦显微镜和磁粒子成像（MPI）图像中，可能无法估计模糊过程的参数。在这种高度离焦的图像中，公知的去卷积算法不是非常有效。在这些成像问题可能无法估计对于大多数反卷积算法至关重要的点扩展函数（PSF）。然而，在某些情况下，可以假设psf相对于原点对称。因此，如果psf是对称的，则可以从观察到的图像估计输入的相位。我们的软件利用psf的对称特性，并从模糊图像中估计傅里叶变换相位。然后，软件对傅立叶相位、101和102球以及滤波变分使用迭代POCS方法，以便执行反卷积。基于POCS的去卷积首先由Trussel和Civanlar [1]开发该方法依赖于迭代投影到已知的凸性质的图像在空间/频率域。设观测图像y是原始图像x0的模糊版本，h是模糊函数。在许多问题y n1，n2也被噪声破坏对于给定的图像像素n1，n2，我们定义超平面如下：原文DOI：http://dx.doi.org/10.1016/j.dsp.2017.11.004。通讯作者。电子邮件地址：yorulmaz@ee.bilkent.edu.tr（O. Yorulmaz）。凌晨1Enis Cetin正在从Bilkent大学休假。https://doi.org/10.1016/j.softx.2017.11.0072352-7110/©2017由Elsevier B. V.发布Cn1，n2=阿姆斯壮|y[n1，n2]=k∑1，k2h[k1，k2]x[n1−k1，n2−k2]⎫⎬⎭（一）这是一篇CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx*12O. Yorulmaz，A.E. Cetin / SoftwareX 8（2018）11+[客户端]=12小时∑[][]=1-D TV函数是TV（x）集，定义如下：==−n|x[n] − x[n − 1]|. 有界FVC1=|x [n1，n2]|≤ ϵ{∑}因此，我们可以确定X的相位0 从Y（ejω）。的n1，n2因此，x0n1，n2的解必须在这些超平面的相交处：x0∈n1，n2Cn1，n2（2）投影到Cn1，n2上实质上等价于在超平面上作正交投影，因为卷积是一种线性运算。设xi为迭代反卷积算法的当前值。其在Cn1，n2上的正交投影xi1由下式给出x i+1=x i+λy[n1，n2] −（h<$x）[n1，n2]h，i=1，2，3，. . .（三）其中λ1表示正交投影，x1表示x0的估计值。POCS理论允许0<λ 2收敛[2，3]。当量（3）有点滥用符号，因为图像x和模糊h的大小可能不同。在加法运算之前，h向量应该用零填充但由于问题的不适定结构和噪声的存在，在集合Cn1，n2上进行连续的正交投影可能不足以重建原始图像x0因此，其他封闭和凸集限制到一个可行集的解决方案可能是必要的。Trussel和Civanlar在他们的基于POCS的反卷积算法中使用了基于正则化集的在我们的算法中，我们使用傅里叶变换的相位以及除了102球之外的101球、基于过滤变化的集合。在下文中，我们描述了可以在反卷积问题中使用的其他闭集和凸集其中，X i的相位被给定的相位ω X0（ω）代替。空间域图像x φi n1，n2将是F−1 Xφi（ejω） 哪里 F-1是逆傅里叶变换运算。最近，子-施加空间或稀疏性约束以减少搜索空间[9，10]。相位集也是一个子空间，减少了搜索空间。1.2. 全变差总变差（TV）是图像处理中广泛使用的成本函数[5，11有界电视机由[4，14]引入用于去噪问题：C TV= {x|TV（x）≤ λ}（10）其是TV低于给定阈值的图像集合。集合 CTV也是一个闭凸集。因此，它可以用于任何基于凸集投影（POCS）的反卷积问题。本文介绍了有界滤波变差（FV）集合，它基于以下成本函数：FV（x）=|x[n1，n2] −（g<$x）[n1，n2]|（十一）n1， n2其中G是低通滤波器。任何低通滤波器都可以用于等式（十一）、在1-DTV函数中，g∑[n]简单地等于oδ[n-1]，因为1.1.傅里叶变换相位在许多反卷积问题[1，4]中，模糊函数关于原点对称，即，h[n1，n2]=h[−n1，−n2]（4）例如，高斯模糊、盘形模糊和一些运动模糊核满足该条件[5]。这样的核不会使输入图像的傅立叶相位失真。这意味着观察图像和原始图像的相位是相关的，并且可以从观察图像估计原始图像的相位。任何迭代反卷积算法都可以通过在迭代期间对相位集执行正交投影来利用这种关系[6，7]。在没有噪音的情况Y（ejω）=H（ejω）X0（ejω）（5）C FV= {x|FV（x）≤ 10}（12）可以证明CFV也是一个闭凸集。我们以近似的方式分两步执行到集合CFV上的投影。设xk是我们想要投影到集合CFV上的当前图像。图像x k被分为其低通和高通分量x k，loXKg和x，k，hiXK分别使用低通滤波器G来计算x，k，lo。我们将高通滤波后的分量投影到B1球上，并获得：xk，hp=P1（xk，hi）（13）其中，P_1表示到P_1球上的正交投影操作最后，我们将图像的低通分量与xk，hp结合起来，以获得到集合CFV上的近似投影：xk+1=xk，lo+xl，hp（14）其中xk1包含原始Im的低通分量。如果模糊是对称的，则H（ejω）是实数。当H（ejω）>0时，ω1，ω2，<$Y（e jω）=<$X0（e jω）。（六）当H（ejω）0对于某个ω，ω，<年龄但it+s高通分量由101球调节。1.3. 有界能量集1-球和2-球都是图像处理中常用的集合12重建问题。101号球是<$Y（ejω）=<$X0（ejω）+π。（7）{∑}具有给定傅里叶变换相位的图像集是一个封闭的[28] [29][29] 因此，我们引入以下集合用于解卷积问题Cφ={x|<$X（e jω）=<$X0（e jω）}（8）而102号球是C2=|x[n1，n2]|2 ≤2（16）n1， n2它是其傅里叶变换相位等于给定相位的图像的集合。在傅立叶域中获得到Cφ上的投影设xφi是xi的投影。xφi的傅里叶变换Xφi由下式给出：Xφi（e jω）= |X i（e jω）|e j<$X0（ω）（9）图图中显示了R2中的1个101和102球。通过简单地缩放输入向量xj的系数来实现到x2球上的正交投影。 设αx jα2 = α2且α2> α2。xj在α 2球上的投影xj+1由xj+1 =α（α2/α2）xj（17）给出（十O. Yorulmaz，A.E. Cetin / SoftwareX 8（2018）1113+×NFig. 1. 101和102球。向量xj可以使用Duchi等人的"的方法[15]。但它也可以近似地投射到101球上，分两步进行。我们首先将当前的球投射到0.2球上，然后投射到0.1球上。对于第二步，通过上述等式获得的投影向量xj+1可以如下投影到x1球图二. 所提出的算法流程图。与本文中提到的其它公知的去卷积方法相比，在高度模糊的图像中图像质量更高。这些结果与软件的预期用途一致显微成像和多光子成像。2. 软件描述所 呈 现 的 软 件 DeconvApp v2 是 在 2016a 版 程 序 上 实 现 的MATLAB函数MATLAB是一个工程工具，有Windows，Linux和MAC环境的版本所编写的软件利用了图像处理工具箱的函数，如conv2和fft2，因此，xj+2=xj+1−∑xj+1[n1，n2]+n（十八）需要工具箱才能运行软件。为了与众所周知的在上述投影操作之后，xj+1的一些条目可能离开象限或RN我们把xj1的这些系数强制为零。1.4. 迭代反褶积法基于POCS的迭代去卷积算法以连续的方式使用上述投影操作。设xn是第n个素数。下一个n+1由下式获得：xn+1 =PFVP1P2P1 ，1P1，2...PL，MPφxn（ 19）其中PFV表示到CFV上的投影操作，P表示Wiener和还显示了这些算法的反卷积结果文中还给出了一个演示脚本，该脚本可以调用模糊图像和生成本文所述结果的软件也可以在Github中找到2.1. 软件构架应用程序以迭代方式运行作为输入，我们需要一个模糊的图像和模糊过滤器，以及迭代的限制。迭代次数限制用于在达到时中断迭代，但是如果连续迭代，我们也会停止迭代将投影操作发送到数据库2球，P2n1，n2代表是相似的相似性度量是在每次迭代中得到的图像的均方误差低于在超平面Cn1，n2上的投影运算 Pφ表示在超平面Cφ上的投影运算，图像的大小为L M。因为所有的集合都是闭的和凸的，所以迭代收敛到交集Cint=C1<$C2<$n1，n2Cn1，n2<$Pφ（ 20），而不管初始输入图像x1，只要集合Cint不是空的。在Eq中的投影顺序。（19）不重要。迭代的收敛速度可以通过线性组合正交投影来提高[14，16]。我们停止迭代，xn+1 −xn其中γ是预先指定的数字，或者我们在固定数量的步骤后停止迭代所提出的方法在各种数据集上进行了测试，结果见第3节。在测试中，观察到在较高频率下具有较不显著的傅立叶变换信息的平坦背景图像在恢复的图像质量方面显示出有意义的改善另外，给定阈值。我们还需要原始图像作为输入，以计算性能因子PSNR。该算法和相关软件的概要在图1中以流程图的形式给出。 二、程序首先从模糊图像中提取估计傅立叶相位信息原始图像的初始估计可以是随机图像。在此基础上，在傅里叶域中对模糊图像进行傅里叶变换相位恢复，并利用最小二乘球投影迭代恢复空域特征。3. 说明性实例在GitHub存储库[17]中，演示脚本'demo.m'被呈现。此脚本模糊测试图像“barbara.png”，并调用反卷积函数对生成的图像进行去模糊处理。AlternativelyprojDeconv可以直接调用任何模糊的灰度图像。当我们调用演示脚本时，会弹出一个窗口，如图所示。 3 a.n1，n214O. Yorulmaz，A.E. Cetin / SoftwareX 8（2018）11=-图三. （a）projDeconv输出，因为它是由MATLAB 2016a处理的。使用半径为9像素的圆盘过滤器对输入进行模糊处理。添加的高斯噪声具有σ0。01.(b)命令行打印提供当前SNR和PSNR的信息。表1不同半径r圆盘滤波器反卷积算法的峰值信噪比比较。前四张图像来自[18]中提供的数据集，最后两张图像是标准测试图像。r：所提供的软件（dB）维纳反卷积（dB）6px9px12px6px9px12px6px9px12pxIM122岁1420. 88十九岁7619.6617.9916.7220.2818.9117.75IM222.2521岁4820. 7721.9120.4719.5922岁5520.8519.84IM322.0421.2020. 2322.5320.9919.7423岁4321岁5220.06IM4二十五0123岁2922岁3521.6119.8918.6422.4420.4918.97芭芭拉21.6721.1520. 6521.4020.4119.7322岁2821岁3220.18莉娜24.5623岁8023岁0423.7122.2921.14二十五3023.5622.37在命令窗口中，可以跟踪当前迭代索引和反卷积的PSNR质量，如图所示。 3 B.为了模糊输入图像，我们使用了一个名为'blurIm- age'的函数，该函数也可以在GitHub中使用。我们使用此函数来裁剪生成的滤波图像，以防止卷积操作中自然发生的边界梯度。通过去除这种边界效果，我们可以更好地模拟真实生活中的模糊图像。这可能在去卷积问题中引入额外的复杂性。在诸如Wiener和Lucy-Richardson的公知的去卷积方法的结果中，可以观察到由裁剪边缘产生的困难。然而，我们的软件通过使用输入滤波器人工生成梯度来处理这个问题。我们测试了零噪声情况下的算法，如图所示。 四、为此，我们手动修改了代码此外，我们使用[18]和BSDS500数据集[19]测试了我们的软件。这些数据集用于去卷积和分割应用[20，21]。从[ 18 ]中获取的第一个数据集由四张图像组成。垫格式。这些文件包括灰度图像矩阵以及psf和模糊图像。BSDS 500数据集包括500张彩色图像，我们将其转换为灰度图像，以用作测试数据。我们从该数据集中选择了20幅图像，这些图像满足低噪声背景特征，这对于恢复有意义的傅立叶相位信息至关重要。一个低质量的例子图5中给出了这种情况。我们还针对Matlab的正则化滤波器去模糊功能（'deconv reg'）[22]测试了这些选定的图像。由于我们的零相位假设需要，我们需要将滤波器应用于数据集中的原始图像。我们对图像应用了具有变化半径/方差的圆盘和高斯滤波器。O. Yorulmaz，A.E. Cetin / SoftwareX 8（2018）1115==表2高斯形状滤波器反卷积算法的峰值信噪比比较。前四张图像来自[18]中提供的数据集，最后两张图像是测试图像。σ：所示软件（dB）维纳反卷积（dB）Lucy-Richardson方法（dB）471147114711IM121.3020. 05十九岁8421.7617.8716.4922岁3619.1516.94IM221.4420. 6220. 7522.2619.8819.3622岁3720.4819.61IM321.2120.1220. 1223岁1520.2319.5423.0620. 8020.07IM423.8022岁2422岁0223.6719.5818.2324岁0320.6018.09芭芭拉21.3420.7520. 7022.1620.2419.5222岁4121岁2020.53莉娜23.9923.1023岁0825.1421.9420.80二十五6023岁4121.96见图4。ProjDeconv输出零噪声模糊图像。使用半径为的圆盘滤波器对输入进行模糊9像素。注意，即使没有额外的噪音边界裁剪降低了傅里叶变换相位提取的质量。我们还应用了具有σ 0的高斯噪声。01.重要的是要注意，图像像素值范围是0到1。图18中给出了使用数据集[18]中的图像运行软件的示例。 六、我们比较了我们的算法与著名的维纳和露西-理查森反卷积算法 的 结 果 。 我 们 使 用 MATLAB 实 现 这 些 算 法 。 对 于 Lucy-Richardson，我们仅使用模糊图像和滤波器，对于Wiener情况，我们将噪声参数设置为0.01。表1中给出了Barbara、Lena和[18]的圆盘过滤器（圆盘尺寸为6、9和12）数据集的结果比较。图五. 具有高总变差值的图像的反卷积结果。所提出的软件的PSNR结果（20.40 dB）不如Wiener（20.60 dB）或Lucy-Richardson去卷积（20.51 dB）的结果。在这个图像中，背景包含“随机”对象。因此，图像的相位看起来是随机的。这可能是性能较差的原因。我们对来自相同集合的高斯模糊图像进行反卷积。这些去卷积测试的结果在表2中给出。对BSDS 500数据库中的选定图像进行了更大的测试。在这种情况下，我们比较了所提出的方法的结果与维纳，露西-理查森和正则化滤波器去模糊的结果。 对于最后一种方法，Matlab函数使用了'deconv reg'。表3显示了一小部分的扩展，13px半径圆盘型模糊滤波器的测试图像的结果16O. Yorulmaz，A.E. Cetin / SoftwareX 8（2018）11表3针对半径为13px的圆盘滤波器，对来自BSDS500数据集的20幅图像进行反卷积算法的PSNR比较图像编号在BDSD500数据集中软件介绍（dB）Wiener反卷积（dB）Lucy–Richardson method正则化滤波器反卷积（dB）309627岁。9825.9127.3120.211200321岁2017.4518.2814.081500121岁5117.2519.4612.901508821岁7219.5420.1015.291902121岁5421.1421.0115.122201321岁5414.2113.9813.382400420. 0419.6519.4415.572903023岁3819.4520.4215.863504924.4524岁6423.8918.274109621岁8620.2520.5915.3948017十七岁7517.6217.4712.946900020. 4818.0918.7513.576901523岁7821.6722.2517.0810000723岁8217.9220.1013.8310704521岁4320.0820.5816.8513503723岁0916.7019.2111.1115307724岁1821.3621.9713.2922602221岁9320.9421.0818.05260081十九岁6116.2717.1913.9330200321岁9520.5320.2710.79见图6。具有高斯噪声的ProjDeconv输出（σ= 0. 01）图像模糊。输入是来自BSDS500数据集的图像12003，其用半径=13 px的圆盘滤波器进行模糊处理表4给出了对不同类型和尺度的模糊psf进行的所有测试的统计结果。从表1和表2中，我们观察到，随着模糊量的增加，与其他两种公知的去卷积方法相比，因此，成功率似乎超过较大的psf。在表4中，我们看到，对于平坦背景图像，所提出的方法优于众所周知的去卷积方法。4. 影响本文提供的软件及其各种版本（我们开发的依赖于傅立叶变换相位的其他算法）在我们的小组中用于去模糊显微图像。最近，我们将类似的概念应用于MPI，其产生高度模糊的图像，如果没有适当的去卷积，这些图像是不可用的。我们观察到，即使众所周知的去模糊算法，如维纳和Lucy-Richardson方法可以在这种情况下使用，对于高模糊条件，相位条件的添加显示出很大的改善。因此，我们相信所提供的软件可能是更可取的高模糊反卷积问题，如MPI。所提出的方法和附带的软件旨在使用凸集投影（POCS）对模糊图像进行虽然在正则化目的中使用了101-102球投影和滤波变化，但是执行到傅立叶相位上的投影以校正迭代期间的任何相位变形。已知的零相位psf要求是软件正确进行的必要条件。然而，该算法可以扩展到非零相位的情况下，通过从观测图像中减去模糊函数的相位来估计原始图像的相位众所周知，具有高总变化的快速变化的图像在其傅立叶域对应物中具有类似噪声的行为，导致傅立叶域中的高频分量和噪声添加和剪切之后的随机相位信息在这种情况下，在傅立叶域中估计原始图像的相位可能并不总是可行的因此，建议在普通图像（包括微生物图像和MPI图像）中使用我们的软件。所提供的软件及其其他版本尚未在商业环境中使用。所提供的软件是唯一公开提供的版本。它是开源的，因此可以根据应用程序的需要修改代码。5. 结论在本文中，我们提出了一个POCS的反卷积软件，利用傅里叶变换相位特性的优势，O. Yorulmaz，A.E. Cetin / SoftwareX 8（2018）1117=表4BSDS500数据集的20幅图像的反卷积算法的平均PSNR比较盘式滤波器（dB）高斯滤波器（dB）分辨率：6pxr：9px分辨率：12pxσ：4σ：7σ：11建议的软件24岁1022岁9922岁1623.0421岁2320. 03Wiener反卷积21.8320.4919.5322.9620.6719.07Lucy–Richardson22.6721.1220.1723岁0821.0619.63规则滤波器反卷积19.6017.8615.6519.2417.1516.38对称模糊。我们还使用了在101和102球上的正交投影和滤波变分，以便在每次迭代中正则化此外，我们引入了一个计算效率高的方法来估计投影到101球，而无需复杂的排序操作。对图像数据进行排序是Order（N）排序操作，但是对于尺寸为L乘L的图像，是N L2。我们的近似投影包括两个步骤。首先，我们在102球上做一个正交投影，这基本上是通过一个常数来缩放数据。然后，我们做了一个正交投影到边界超平面上的x2球，这是一个几乎乘法自由的操作。实验结果表明，所提供的软件-执行众所周知的维纳和引用[1] Trussell H，Civanlar M. landweber迭代与凸集投影。IEEE transacoust语音信号处理1985;33（6）：1632-4.[2] 尤拉·丹·C，韦伯·海伍德.用凸投影法恢复图象：第1部分：理论。IEEE TransMed Imaging1982;1（2）：81-94。[3] 我是史达克·亨利用凸投影方法恢复图象：第2部分-应用和数值结果. 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