三维扫描的鲁棒配准：基于特殊欧氏群与李群的方法

5885三维特殊欧氏群Uttaran Bhattacharya*马里兰大学计算机科学系College Park，MD 20740，美国uttaranb@cs.umd.edu电气工程印度科学研究所Bengaluru 560012，印度venug@iisc.ac.in摘要我们提出了一个强大的，快速和准确的方法，用于注册的三维扫描。使用对应关系，我们的方法优化了刚性运动的内在表示上的鲁棒成本函数，即，特殊欧氏群SE（3）。我们利用李群的几何性质以及迭代加权最小二乘优化提供的鲁棒性我们还将我们的方法推广到一个联合多视图方法，同时解决了一组扫描的配准。我们的方法显着优于国家的最先进的鲁棒的3D注册方法的基础上，在速度和精度方面的线处理。我们表明，这种线处理方法是我们的原则几何解决方案的一个特殊情况。最后，我们还提出了基于特征对应的全局配准失败但基于我们的鲁棒运动估计的多视图ICP成功的情况。1. 介绍消费者深度相机的可用性已经允许3D场景或对象的容易且可靠的扫描[32，42，51]。 为了构建几何一致的3D重建，我们需要解决在全局参考系中对齐或配准所有扫描的关键问题[40，44，20，30]。 有各种各样文献[17，28，24，11，52]中3D配准问题的解决方案。所有这些方法都涉及速度和准确性之间的权衡。最近，[52]提出了一种基于线处理鲁棒性的3D扫描快速全局配准（以下称为FGR）这种方法已被证明优于现有的方法在速度和准确性方面。[1]这项工作是在作者还是印度科学研究所的学生时完成的。部分由科学和技术部科学和工程研究委员会印度政府†通讯作者。如在[52]中，给定一组3D特征对应，我们将配准问题作为求解刚性欧几里得运动的问题之一，该运动使鲁棒成本函数最小化。然而，与他们的方法不同，我们的解决方案系统地利用了3D运动的基本李群表示的丰富几何结构，即，特殊铕原子群SE（3）.在这种情况下，我们通过迭代加权最小二乘（IRLS）方法实现本文的关键观察结果是，我们将刚性欧几里得运动的几何形状与IRLS的鲁棒性进行了特定组合，使我们的方法能够显著优于[52]的快速全局配准方法，而无需求助于参数调整。此外，我们证明了[52]中提出的解决方案是我们更一般的解决方案的特殊情况。在这个过程中，我们证明，我们可以获得理论的洞察力，以及通过利用刚性欧几里得运动的底层几何表示此外，我们的工作还涉及两个重要的考虑因素。首先，为了实现鲁棒性，用于优化的一些损失函数具有需要先验提供或原位估计的参数。这是[52]的情况，其使用Geman-McClure损失函数。我们认为，3D注册的统计效率（即准确性）的权衡固有的所有强大的估计的问题，可以解决使用损失函数是参数自由。这避免了在优化过程中估计任何参数其次，我们认为，使用三维点特征对应的三维配准有一定的局限性。虽然当相机运动很小时可以可靠地获得这样的特征对应性（等效地，在扫描之间存在显著的重叠对于这种情况下，我们demonstrate，多个3D扫描的准确联合配准可以通过将我们的鲁棒运动估计的方法，如ICP到本地的方法。5886||ω||2. 文献调查虽然3D配准的文献是广泛的，本文其余部分用In表示n×n的恒等矩阵）。一个刚体欧几里得运动（R，t）可以用一个4×4矩阵来表示在下文中，我们仅关注直接与我们的方法有关用于使用点对应来配准3D扫描的大量方法具有两个关键方面，（a）用于建立点对应的方法Σ ΣM=R|不0|1（一）以及（b）在给定足够数量的这种对应关系的情况下用于估计运动的方法。我们可以根据方法是否使用固定的点对应集合来进一步分类方法[11，52，45，21]。或者更新它们[30，37，2，12，7]。在前一种情况下，我们使用不变的特征表示来找到一对扫描之间的点对应，然后将其用于运动估计。在后一种方法中，我们交替地使用最近邻和运动估计来更新点对应直到收敛，诸如在ICP及其变体的经典方法中（参见[37，7，9，49]和其中的参考文献）。独立于建立对应关系的方法，我们需要一种方法来鲁棒运动估计给定的一组对应关系。本文的主要研究内容是如何解决运动估计的鲁棒性问题。运动估计问题的最小二乘解决方案是Umeyama的经典方法[47]。然而，最小二乘解在存在异常值的情况下失效。通常使用RANSAC [30，24，2，35，38，33，36]或运动聚类[30，12，39]的其他类别的方法基于分支定界框架[17，22，27，14，48]。然而，所有这些方法通常需要昂贵的迭代并且收敛缓慢。基于使用扫描的高斯混合模型表示的期望最大化的相对有效的另一种方法是执行对运动之间的成对运动的鲁棒平均。其中t ∈ R3. 矩阵R和M满足以下性质的矩阵组，也形成光滑，微分流形，即。，它们是李群 。因 此 ，R∈SO （3 ）和 M∈SE（ 3） ， 其中 SO（3）和SE（3）分别是特殊正交群和特殊欧氏群我们注意到R和M分别有3和6个自由度。李群：SE（3）的李群结构在我们的公式中起着重要的作用。在[10，41]中给出了关于这种表示的几何性质的对于我们的目的，只要注意到有限维李群（矩阵群）的乘积和逆运算是可微映射就足够了。李群中的每个点都有一个局部邻域（切线空间）称为它的李代数，它具有向量空间的性质。对于R∈SO（3）和M∈SE（3），相应的 李代数记为[ω]×∈SO（3）和m∈SE（3）. 这里[ω]×∈so（3）是轴角旋转表示ω的s ke w对称形式。在此表示中，R表示旋转角度||ω||绕轴线ω。此外，我们可以从李群利用对数映射和指数映射，将其映射到其李代数，反之亦然。因此，R=e×p（[ω]×）和[ω]×=lo g（R）。类似地，我们具有M=eXp（m）和m=log（M），其形式为Σ Σ[ω]|u扫描[19，46，3]，或使用姿势图优化的变体[11]，以产生紧密配准的扫描。又一m= log（M）=×;0|0方法是使用IRLS [23]来优化鲁棒成本函数[1]。最近的快速全局配准方法[52]利用了稳健估计和线性估计之间的对偶性，M= exp（m）=Σ∞k=0Σ ΣmkR|不k！ =0| 1.一、（二）流程[6]以开发快速的全球注册方法。这种方法已被证明是迄今为止在速度和准确性方面最好的结果。3. 欧氏运动的李群结构我们的方法利用李群的几何结构，特别是特殊欧几里得群SE（3）的几何结构。在这一节中，我们提供了一个非常简短的描述群结构和相关的李群性质。两个3D扫描之间的欧几里得运动由旋转组成，一个故事和一个翻译。 虽然旋转可以用多种方式表示，但我们将它们表示为3 × 3正交矩阵R，即，RR=I 3，且|R| =+1（此处和此外，我们注意到，SO（3）和SE（3）的e×p（·）和log（·）映射具有可以有效实现的封闭形式表达式，如等式n所示。7在[18]中。4. 鲁棒运动估计给定S≥3对点对应{（ps，qs）|1 ≤ s ≤ S}，我们可以求解对齐扫描对所需的运动M。在全局方法的情况下，其中运动可以潜在地是大，这样的点对应通过匹配几何特征（如FPFH [38]）获得，而在迭代方案（如ICP）中，点的对应通过在第二次扫描中找到最近邻匹配来5887ees在第一个问题上得一分。由于各种各样的误差来源，对应对不是完美对齐的，或者可能是非常不正确的，即，，es=ps−Mqs/=0，es（M（ k））=ps−（I4+ m（k））M（k−1）qs（六）其中es表示配准中的差异的范数对于第s个对应对（ps，qs），当我们假设单个误差具有零均值iid高斯分布时，M的最佳估计通过最小二乘最小化获得然而，由于通信可能是高度不正确的=Asv−bs其中As和bs是适当的矩阵。As和bs的显式形式的推导在附录的A 中获取更新第k次迭代，我们现在优化成本C（M（k））=在实践中，代替最小二乘公式，我们将运动估计作为鲁棒成本函数的优化ΣSs=1 ρ（e s（v））w.r.t.v，得到，ρ′（es）（As）Asv=ρ′（ es）（A）（b）（7）minΣSC（M）=.ΣΣSρps−Mqsesesρ（ es（M））M∈SE（3）s=1s=1（三）其中ρ′（·）=ρ是鲁棒损失ρ（·）的影响函数。WE还可以的其中ρ（·）是鲁棒损失函数。我们也注意到，单个误差项es（M）是运动的函数M.稳健估计器的使用在统计学中作为M-估计问题得到了很好的研究，并已成功用于各种视觉问题[29]。 不过除了鲁棒性，在Eqn中。3我们要求我们的解决方案满足表示w s= ρ（e），其是符合等式n中的第s个等式的相对权重。7.第一次会议。将每对对应关系（ps，qs）获得的所有此类关系收集到一个单一的方程组中，我们有AWAv=AWb（8）M∈SE（3）的几何约束。几何约束下的稳健估计的这些要求是对我们的解决方案感到满意。其中A=.的1。. .ASa，b=ΣB1。. .BS，以及4.1. 建议的成对配准解决方案W=诊断 w1I 3，. . .，wS13。我们建议最小化方程中的成本函数C（M）。3以迭代的方式。 假设在第（k−1）次迭代时M的估计值表示为M（k−1）。在第k次迭代中，让我们通过k（k）更新运动矩阵，即，，M（k）=<$M（k）M（k−1）.注意，这里矩阵乘法不是可交换的，我们的公式使用了SE上左不变度量（3）[34，50]。使用运动更新矩阵的一阶近似，我们有M（k）等 式 8 是 一 个 加 权 线 性 方程组 ， 其 解 为 v=（AWA）−1AWb。 然而，应当注意，每个单独的权重ws是函数误差e s取决于v，因为e s=<$Asv−bs<$。在Eqn中，8，等价关系为A<$W（v）Av=A<$W（v）b。 该方程组的解是众所周知的迭代式重加权最小二乘法（IRLS）[23，43]。 在IRLS方法中，在每次迭代中，基于v的当前估计来估计权重ws。鉴于这些.=C（M（k））=ΣSs=1Σ.Σρ ps−M（k）qs重，则v被重新估计。重复这个过程直到收敛。给定v的一个解，我们可以估计出v ∈M（k）=e×p（v∈（k）），其中“帽子”算子v ∈ n v将估计的ΣS=s=1.ρps−（I4+m（ k））M（ k−1）qsΣ.（五）表示m（k）。我们在这里强调，虽然在Eqn。4，我们假设一阶近似，我们将估计的v（k）映射到李代数矩阵∆m（k）编码6个参数我们需要估计更新的k（k）。我们可以使用“v ee”运算符i来获得这6个参数的向量表示。e. ，v=m=ω你好。因为我们在方程中使用一阶近似。4、成本C（M（k））是线性的。 我们同样注意到它也是线性的-在v（k）中的耳朵。 因此，我们重写了各个误差项es（M（k））as5888莫辛更新岛e. ，<$M（k）=e×p（v<$（k））∈SE（3）. 换句话说，中间体中的一阶近似步长并不意味着实际成本函数是近似的。 映射m（k）=e×p（v× m（k））确保估计的运动M（k）总是SE（3）组的有效成员。我们现在陈述我们在算法1中的鲁棒运动估计的解决方案。58891NIJIJIJesIJ2µ+x2IJIj算法1成对3D配准的IRLS估计输入：{（p1，q1）···（pS，qS）}（跨扫描对的S输出：M∈SE（3）（鲁棒运动估计）初始化：M=I4而||v||公司简介1. 计算{（As，bs）|s∈[1···S]}，使用等式6其中=Σv· · ·vΣ整理每个李代数矩阵的相应向量表示mi（k），并且As和bs被构造为类似于等式n。六、第k次迭代中的后续更新然后类似地从以下关系式获得：AW（）A=AW（）（12）的2. 计算权重ws=ρ（e），由s s定义其中A，n和W（n）对应地 整理所有Aij，bij等式7秒3. 将v估计为方程的IRLS解。8WS=ρ（eij）。如前所述，系统的解决方案IJ4. 更新M←exp（v）Mend while在Eqn的方程。12是IRLS方法，其中我们估计-使配重与W S匹配 以及整理的矢量表示算法1是具有嵌套迭代的迭代算法。外部循环由while 语 句 定 义 ， 我 们 将 其 迭 代 次 数 表 示 为Kouter。内部循环由算法1中第3行的IRLS步骤组成，因为IRLS本身是一种迭代方法。 我们将IRLS步骤的迭代次数表示为K IRLS。4.2. 对联合多视图配准的扩展在算法1中，我们提出了两次扫描的配准解决方案这种方法可以扩展到一组扫描的同时或联合多视图配准。为此，我们定义一个视图图G={V，E}，其中vi∈ V表示第i次扫描的欧几里得运动（相当于相机）和边缘（i，j）∈ E表示第i个和第j个可以根据可用的匹配来确定扫描。此外，我们将扫描次数表示为N = N。|V|.我们现在可以如下定义要针对联合多视图配准交替迭代直到收敛。给定一个解，我们可以对每个i∈[1···N]估计<$Mi（k）= exp（v<$i（k）），从而将M（k）的 每 个 成 员 更 新 为 Mi （ k ） <$<$Mi （ k ） Mi（k−1）。还应当注意，在多视图配准中，集合M的全局参考系的选择是任意的。 对于我们的实现，我们将其固定到第一次扫描，即我们设置M1=I4，并且在整个优化过程中不更新M1详细算法见附录中的算法B.15. 结果我们在损失函数ρ（·）的3种不同的选择上测试了我们的算法，即 L1：ρ（x）=|X|，L1：ρ（x）=|X|、和缩放的Geman-McClure：ρ（x）= µx2，其中µ为比例因子。[52]的FGR方法仅使用缩放的Geman-McClure损失函数，并在每次迭代中以固定步长进行退火为了进行比较，我们在使用缩放的Geman-McClure的测试中以相同的方式对µ进行ΣΣSij . ¨损失函数我们目前的结果对两个成对和多-¨ΣC（M）=（i，j）∈Es=1ΣΣSij=ρ<$Mips−Mjps<$（九）ρ（es（M））tiview注册测试。对于成对和多视图测试中，我们分别使用= 10−5和=10−7终止我们报告的所有运行时间都是在2.30 GHz的英特尔至强（R）E5-2650 v3处理器上的单线程上测量的（i，j）∈Es=1其中M ={M1···MN}表示N次扫描中的每一次的绝对运动的集合w.r.t.和Sij是第i次和第j次扫描之间的对应的数目我们再次使用迭代方法来最小化等式11中的成本函数C（M）9 w.r.t. M.在第k次迭代中，我们通过下式更新每个运动矩阵MiMi（k），即，Mi（k）=<$Mi（k）Mi（k − 1）<$i ∈[1···N].对每个更新矩阵使用一阶近似Mi（k），我们有es（M（ k））=<$（I4+<$mi（ k））Mi（ k−1）ps5.1. 成对配准我们在[52]提供的合成范围数据和Choi等人提供的增强ICL-NUIM数据集中的4个室内序列上展示了我们提出的成对配准的性能。[11]第10段。在我们所有的成对检验中，我们使用KIRLS= 2。 我们比较了我们的方法的3个版本与以下先前方法给出的配准误差：Super4PCS [30] 、GoICP [48] 、Choi等人。[11]，FGR [52]和DARE [26]（使用作者建议的超参数）。配准误差包括两个点之间距离的统计测量值，伊日- （I4+ ∆mj（k））Mj（k−1）ps伊伊（十）对准后扫描对之间的地面实况点对应。我们还报告了轨迹误差，=¨As¨−bs¨（11）ij ij包括关于旋转误差和5890222表1：对于合成范围数据集上的每个噪声水平σ，方法σ= 0。0025Md.RAEMd.TNEMn.RMSEMx.RMSE超级4PCS [30]0.8640.0080.0140.029GoICP [48]1.2070.0110.0320.133Choi等人[第十一届]0.7780.0060.0080.022FGR [52]0.7490.0050.0040.011[26]第二十六话1.8510.0130.0350.176我们的L120.5450.0040.0040.011我们的L10.5660.0040.0040.011我们的总经理0.7250.0050.0040.011方法σ= 0。005Md.RAEMd.TNEMn.RMSEMx.RMSE超级4PCS [30]1.4680.0120.0170.095GoICP [48]1.7360.0190.0370.127Choi等人[第十一届]1.5330.0150.0350.274FGR [52]1.1460.0080.0060.017[26]第二十六话2.0050.0250.0540.312我们的L120.9590.0080.0060.017我们的L11.5160.0110.0070.017我们的总经理1.1460.0080.0060.017照相机对（对应于给定扫描）之间的平移范数误差w.r.t.地面实况摄像机对，所有的方法。合成范围数据集：我们在给定的高斯噪声水平σ = 0下，对他们的5个合成数据集中的每一个进行了[52]中描述的一组受控实验。0025和σ= 0。005（对于每个模型，σ以表面直径为单位）。将该尺度的高斯噪声添加到合成范围数据集中的一对扫描足以在该对之间由于深度相机在实践中产生噪声扫描，因此这是增加合成扫描的点对应中的离群值百分比的现实方式。表1列出了每种方法和每种噪声水平的对齐地面真实值对应关系对于这两种噪声水平，我们的方法与L1损失函数达到最低的配准误差与FGR。表2报告了数据集中5个模型中每个模型的每种方法的运动步长。我们的方法的L1比所有先前的方法平均快3倍以上，并且L1版本快5倍我们在附录的C节中提供了[31]的合成数据集上的更多成对结果。增强ICL-NUIM数据集：Choi et al.[11]由室内场景的2350到2870次扫描组成。此外，以平滑的时间序列提供给定的扫描，即，在时间上接近的扫描对彼此也具有足够的视图重叠。这反过来又导致可靠的FPFH特征匹配。表2：合成范围数据集（K= ×1，000）中每个模型的每个方法数据集是说#点超级4PCS[30]GoICP[48]Choi等[11]FGR[52][26]第二十六话我们L12我们L1我们的总经理Bimba9,41616,2301,55065011.99203.92.55.5儿童11,14818,4101,62089016.89604.83.38.0龙11,23220,5201,84097017.61,0905.03.48.2天使12,07229,6403,0001,09019.11,7705.33.88.9兔子13,35738,4705,5301,17021.63,3107.45.19.9是说11,44524,6502,71096017.41,6105.33.68.1在这样的对之间。因此，我们针对每个序列中的所有扫描对（i，j）测试了所有方法的性能，使得|i−j|≤10。表3列出了所考虑的各种方法为在每个数据集和相应的方法中，我们列出了恢复的成对相机运动的中值旋转角误差和中值平移范数误差，以及对这些对的平均计算时间。我们的方法的L1版本也可以看出它比[52]的FGR方法快得多。5.2. 联合多视图配准我们提出了我们的联合多视图配准算法在增强ICL-NUIM数据集中的4个序列上的性能，特别是在Choi等人为每个序列提供的47到57个场景片段上。[11]第10段。我们使用K IRLS= 3进行多视图配准，因为联合优化变量及其对应的搜索空间是都是la r ge（∈R6（N−1）inEqn. 12对于N个相机）。首先，我们计算片段接着是SE（3）上的稳健运动平均步骤，其类似于[8]中用于旋转平均的步骤。该两阶段方法的输出用于初始化等式11中的联合多视图优化9.第九条。仅使用两步方法进行全局配准的主要它只考虑局部点对应，然后平均出成对运动估计所产生的误差。相反，联合多视图方法处理全局设置中的点对应，并求解全局成本函数。在两阶段方法之上使用联合多视图方法获得的重建误差的相对改善见附录中的表C.2。我们将我们的结果与Choi等人的结果进行比较。[11] ， FGR [52] 和 Super4PCS [30] 作 为 性 能 最 好 的RANSAC变体。虽然我们知道其他方法，包括封闭形式的方 法，多视图 注册例如，Bartoli et al.[4]和 Bergstr ¨ metal. [5]，其中，使用不扩展到大规模数据的封闭形式SVD解决方案计算插值像Fitzgills5891222表3：增强ICL-NUIM数据集中每个序列的每种方法的运动步骤的中位旋转角度误差（RAE）（以度为单位）、中位平移范数误差（TNE）（以米为单位）和平均方法客厅1客厅2办公室1办公室2Md.RAEMd.TNEMn.TimeMd.RAEMd.TNEMd.TimeMd.RAEMd.TNEMn.TimeMd.RAEMd.TNEMn.Time超级4PCS [30]1.1040.039368,0300.6160.033344,7200.9320.038367,9800.8440.027345,460GoICP [48]1.3360.07135,1100.9920.05833,4201.3650.06634,4501.1040.04732,530Choi等人[第十一届]0.9410.04114,7400.5510.03113,8500.8110.03614,7200.7650.02913,990FGR [52]0.7930.0292720.4820.0211810.7070.0202720.6690.016177[26]第二十六话1.3050.04421,5001.1720.05920,3201.7160.03721,1101.2860.06820,920我们的L120.5950.023610.3800.017500.4740.014590.4370.01145我们的L10.9640.025330.4190.019270.5690.017330.5240.01325我们的总经理0.7930.0291180.4820.021870.7070.0201180.6690.01689表4：增强ICL-NUIM数据集中每种序列片段的每种方法的平均配准误差（MRE）（单位：米）和等人[16]使用基于LM的方法，该方法缓慢并且不利用问题的几何形状。表4列出了通过每个序列上的每个比较方法实现的来自地面实况表面的平均配准误差以及完成执行所花费的时间。为了估计平均配准误差，我们使用来自www.example.com的云比较http://www.cloudcompare.org。同样，我们的方法的L1版本执行在配准误差方面总体上是最好的，并且明显快于[52]的FGR方法。此外，我们的L1方法是最快的所有方法中的一个轻微的下降，准确性相比，我们的L1方法。最后，图1显示了从L1产生的增强ICL-NUIM数据集对序列livingroom 2的完整重建 我们的多视图方法的版本。一个完整的版本2以及其他序列的重建见附录图C.1、C.2、C.3和C.46. 讨论正如我们在第5节中所展示的，我们在算法1中的运动估计方法既快速又准确。更图1：从增强ICL-NUIM数据集重建客厅2序列，如我们的方法与L1损失函数所具体而言，我们的方法在速度和准确性方面优于[52]的最先进的FGR方法。考虑到它们的强烈相似性，在第6.1节中，我们研究了[52]的方法和我们在算法1中的方法的关系。随后，我们讨论了使用FPFH进行特征匹配的局限性，以及我们在6.2节中克服这些局限性的方法6.1. 与FGR比较[52]在[52]中，要最小化的成本函数与等式n的成本函数相同。3.然而，为了最小化该成本函数，他们使用线过程优化。最初在[6]中开发用于建模不连续性，可以证明线过程优化等效于优化鲁棒估计量回想es=ps−Mqs，我们定义一个成本函数ΣSE（M，L）=（es）2ls+n（ls）（13）s=1其中，L=[l1···lS]是每个对应对（ps，qs）的线过程ls的集合，并且k（·）是每个线过程的惩罚项这里，n（l）是单调的设计递减函数，使得当l= 0时，ψ（l）为方法客厅1客厅2MRE时间MRE时间超级4PCS [30]0.13221,1600.1482,640Choi等人[第十一届]0.048,9400.073,360FGR [52]0.051310.0681我们的L120.04710.0549我们的L10.07620.0940我们的总经理0.05880.0670方法办公室1办公室2MRE时间MRE时间超级4PCS [30]0.09112,4300.11100,720Choi等人[第十一届]0.034,5000.044,080FGR [52]0.03690.0548我们的L120.03420.0432我们的L10.04360.0628589222一个固定的非负常数，当l= 1时，n（l）= 0。因此，在区间[0，1]中改变线过程l允许我们在最小二乘和鲁棒状态之间移动。[6]的作者已经表明，对于每一个损失函数ρ（·），则存在一个等式ρ（·），使得方程（n）中的极小化13的解与14的解相同。等式3. [52]的FGR方法利用线过程的鲁棒性来估计期望的M∈SE（3）。使用运动更新的一阶近似，[52]得到高斯-牛顿解（方程10）。8 [52]）。可以很容易地证明，这个解与求解Eqn中的方程8在我们的笔记换句话说，在求解更新步骤v（k）时，[52]的FGR方法隐式地执行算法1的第3行中的IRLS步骤的单次迭代相比之下，我们执行IRLS步骤的K IRLS> 1次迭代以实现更好的收敛。虽然我们的方法与[52]的方法之间的差异仅在于内部IRLS步骤的迭代次数，但其含义是重要的如果我们在向量空间中解决一个单一的IRLS问题，这种差异将是无关紧要的。然而，我们注意到，在我们的两种方法中，更新v（k）的线性解与非线性运动更新M←e×p（v）M，导致解M（k）在SE（3）群上的轨迹显著不同 具体在我们的例子中，通过迭代IRLS步骤来收敛我们在每个中间步骤中获得v（k）的最佳可能估计，这反过来又导致估计M（k）的最佳改进（等价于第k步中的成本函数C（·）这两种方法之间另一个值得注意的区别是是运动表示的参数化的选择。 我们在中使用m（k）的几何正确形式，等式4，i. e. ，v=ω请参阅我们的更新步骤。然而，对于他们的更新步骤，[52]的作者使用外部图2：不同KIRLS的线过程解决方案与我们的方法的比较。为了便于可视化，我们只显示2到10次迭代的性能。表5：每种方法达到每种收敛标准所需的迭代次数K外ǫLP[五十二]我们的，KIRLS=12310−1222210−2554410−313138610−4211811810−52724131010−63332191410−763462518Geman-McClure损失函数，因为它具有比例因子，该比例因子在实践中以大值初始化并且在优化期间必须逐渐退火。换句话说，我们使用L1是因为它不会改变两个优化例程的基本属性，同时时间足以清楚地说明我们的论点。我们还注意到，在图2中，我们将成本C（M）表示为一个函数的迭代次数K外，它运动参数化的形式，即、你好. 虽然我们的被描绘在日志10上规模 为了便于可视化，我们参数化在几何上与李群理论一致，我们可以从等式（1）中认识到。7在[18]中，[52]中的选择近似接近于我们对小运动的表示，即，，u→t当且仅当θ→0。 相反，对于足够大的θ，近似配偶表示法tΣ明显不同于精确表示se（3）形式的唯一性在那里-因此，每次迭代的成本函数的改进，与我们的单次迭代IRLS形式相比，[52]的方法更低结果是[52]的方法收敛较慢。我们在图2中强调了来自增强ICL-NUIM数据集的一对扫描的这两个差异。为了说明的目的，我们考虑在[52]中提出的生产线过程优化例程以及我们的优化例程的L1损失函数我们不认为只显示迭代范围的图[2，10]。与在该图中，表5报告了每种方法达到由指定的不同收敛准则所采用的迭代次数K外。我们从表5中观察到，首先，尽管线过程在概念上等同于我们的具有单个IRLS步骤的过程，但是[52]的建议的优化例程比我们的具有单个IRLS步骤的实际过程需要更多的迭代来收敛到相同的收敛标准这是因为外部（近似）参数化[52]中使用的t，而不是正确的李代数表示ω你好。其次，它从图2和表5中可以清楚地看出，随着IRLS步数的然而，应该注意的是，增加IRLS步骤的数量也会使我们的优化例程的每次迭代变慢因此5893µ+x2222必须在每次迭代的速度和收敛所需的迭代次数之间取得平衡在实践中，我们已经发现，使用2 IRLS步骤每迭代成对注册和3 IRLS步骤每迭代联合多视图注册产生我们想要的结果。在任何情况下，关键的观察是，FGR的单次迭代是不够的，并产生较差的收敛性相比，我们的配方。损失函数的选择：损失函数ρ（. ）是我们估算过程中的一个关键因素。 所有的损失函数都达到了鲁棒性通过与统计效率（即准确度）的折衷来确定。在实践中，所选择的损失函数可达到的精度取决于误差分布的经验性质。 如前所述，在[52]中，作者使用Geman-McClure损失函数ρ（x）=µx2。在这里，每-关键取决于选择一个好的μ值，反映所用数据固有的离群值分布。在[52]中，作者从一个大的μ开始，并在每次迭代中以固定的数量逐步减少它然而，如果数据集中的扫描规模变化很大，这种固定的退火过程可能不会产生最好的结果。为了克服Geman-McClure方法的这一局限性，我们还对L1和L2进行了测试。 如第5节所示，并证明后者2提供最佳性能。 除了改善每-在性能方面，使用L1的一个重要的期望性质是它完全无参数，因此我们不需要遵循任何额外的退火过程。 我们可以骗-可以通过确定Lp（. ）= 0。p为0

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