双曲型Bloch和Q-K空间中的自然度量及其叠加算子的性质

1/4f 2 jJGJournal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，507埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章作用在Bωl和QωK阿拉·卡迈勒塞得港大学，科学系，数学系，塞得港42521，埃及接收日期：2014年6月3日;修订日期：2014年10月16日;接受日期：2015年1月3日2015年3月25日在线发布本文在双曲型Bloch空间和Q-K-型空间中引入了自然度量，并使这些空间关于它们是完备的。此外，从双曲Bloch型空间到双曲Q-K-型空间的Lipschitz连续、有界和紧的叠加算子S /被刻画为只依赖于解析符号/的条件.2010年数学学科分类：46E 15; 47B 33; 47B 38; 54C 352015作者制作和主办：Elsevier B.V.埃及数学学会的代表这是一篇CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍1979年，Yamashita[1]首次提出了系统双曲函数类的概念.随后，这个概念已经研究了双曲Hardy，BMOA和Dirichlet类（参见，例如，[1，3在过去的几十年里，史密斯[8] 研究了双曲型小布洛赫类中的内函数。Li[9]和Li etal.[10]第10段。另一方面，Ca′mera和Gime′nez[11，12]研究了Bergman空间A p，即所有Lp函数（关于Lebesgue面积测度）在单位圆盘内解析的空间。他们证明了S/ApAq当且仅当/是a电子邮件地址：alaa_mohamed1@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier多 项 式 的 次 数 至 多 为 p=q ， 其 中 S/ ： Lp<$D< $ ！Lq<$D<$是叠加算子。后来，Buckley和Vukotic[13，14]从Besov空间Bergman空间和Besov空间中的单叶插值。此外，在[15]中，Alvarez等人刻画了Bloch空间和Bergman空间之间的叠加算子。最近，徐文[16]研究了Bloch型空间上的叠加算子。设X和Y是单位圆盘DzC：z1上解析函数的两个度量空间.<假设f表示平面C中的复值函数。X上的叠加算子S/定义为：S/mm/mm/mm/mm;f2X：如果f∈f2Y，则我们说f通过从X到Y的叠加作用.如文旭[16]中所述，如果X包含线性函数，则f必须是解析函数。设H<$D <$是D上的解析函数类。同样，B<$D <$表示D上所有解析函数的类，使得对于所有z2D，jf<$z <$j1。<很明显，BDHD。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.01.0031110- 256 X？ 2015作者。制作和主办：Elsevier B.V.埃及数学学会的代表这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词叠加算子;Lipschitz连续性;紧凑性Bωl;508A. Kamalð Þ¼0½Þ！的12BZ1千美元jZ0Ba<$f2HD：kfka<$sup1-jzj2jf0zj1;具有以下特性：不单位圆盘D上解析函数的双曲导数。以下条件在Q-K空间的研究中起着至关重要的作用：fωzjf0<$z<$j1-jfzj2 （参见[17]）。1DS/s1解析函数的空间，已经活跃地出现了-在数学科学的不同领域，如动力学，cal系统，半群理论，概率，数学Kids1：February2009=t在<$0; 1 <$k上不减。一0jzj！1-1 1吉吉对于所有t 2 <$0; 1 <$，均为C K1<$P K <$t<$。在100; 1上，空间B和B0称为Bloch空间，如果 对于tP1，我们也有Bloch空间，分别记为B和B0（见[21]）.在0 ; 1上的正连续函数l称为正规函数，如果有三个常数0 6d<1和0 =t在<$0; 1 <$k上不减。因此，条件（1）不成立。在2000年1月1日，[1]。如果K1在K0;1上可微。lz1-jzj2a其中a>0，空间Ba-Bloch空间，记为Ba。成为g对于t P 1，hK1tK11。双曲l-Bloch空间定义如下：定义1.3[23]。f2B的集合，定义1.4（见[25]）。 设一个函数K：1/20;1 π！ 半个;1个。空间QK定义为：Bωl 1/4。f：f在D中解析，且supljzjfωz<1：QK¼。f2HD：supZjf0zj2Kgz;adAz1：z2D小双曲Bloch空间Bωl;0 是Bl ω的子空间，如果一个2dD由所有的f2Blω组成，使得limljzjfωz0：Lim supaj！1-a2DDjf0zj2Kgz;adAz0;jzj！1-在[23]之后，作者定义了一个自然度量，那么f2qK;0.很明显，如果K不等于p，那么QK1/4夸脱双曲l-Bloch空间Blω的一个例子：df;g;Bωl：1/4dBωlf;gkf-gkBljf0-g0j;哪里Li等人[10]定义双曲QK型空间QωK为如下定义1.5. 让K：1/2;1/2！ 半个;1个。双曲空间z2Dz2DBBL叠加算子50922一个2d1 -jfzjð ÞdBωlf;g：¼sup.ωf0z2-g0z二、ljzjQωK由函数f2B<$D<$组成，其中ZkfkQωK¼sup布拉夫0有一个一个2dD吉·菲·吉·吉·吉Lim你好！1f z- fmzK1-juazj dAze;ðf ðz ÞÞÞþðjfz jK gz;adA z一个二维Z2..此外，我们说f2QωK属于空间QωK;0，如果这产生，Limaj！1-fωDjjfjjQωK62j jfmjjQωK 2002年e：其中dA是D上的归一化二维勒贝格测度;g=z;a= 1/4log1是D的格林因此f2QωK。 我们也发现了fn！f关于我的天<$Qω;d<$和<$Qω;d<$的度量是完备度量空间。的uaza-z是与点K相关的莫比乌斯变换1-a′z了 dna注意双曲类不是线性空间，因为它们由D的自映射函数组成。对于f;g2QωK，我们定义它们的距离为：df;g;QωK：<$dQωKf;gkf-gkQKjf0-g0j;哪里第二部分的断言如下。本文的目的是研究双曲空间B ω l和Q ω K之间的叠加算子S /的Lipschitz连续性、有界性和紧性。 H2. 主要结果dQωKf;g：1/4。超Z12jf ωz-gωz j2K gz; a dA z：首先，我们研究了双曲空间Bωl之间的叠加算子S/的 和QωK现在，我们介绍以下完整度量空间Bωl和QωK.提议1.1. 类Bωl具有完备度量。此外，Bωl;0是B ω l的闭（因此是完备）子空间。证据命题1.1的证明与[10]中命题2.1的证明非常相似。H提议1.2. 类QωK具有完备度量空间。此外，QωK;0是Q ω K的闭（因此是完备的）子空间。拥有完整的度量空间。在本节中，我们假设/ω>0;8z2D：103米现在，我们给出以下结果。定理2.1. 设f是从D到自身的非常数解析映射，设K：0;0;。假设（3）满足。那么以下语句是等价的：(i) S/：Bωl！QωK有界;(ii) S/：Bωl！QωK是Lipschitz连续的;证据 设f;g;h2QωK. 那么显然（i）dωf;f;QωKω1 / 40。(iii)supDjf0zj2拉吉夫兹·拉吉夫2Kgz;adAz1：<(ii)df;g; QωKP0且df;g; QωK< $0蕴涵f<$g。(iii)df;g;QωK;dg;f;QωK(iv)df;g; QωK6df;h; QωKd h;g; QωK。证据为了证明（i）（）（iii），首先假设（iii）成立，对任意f2Bωl，且jf<$z<$j有界。然后，我们得到因此，d是QωK上的度量，且<$QωK;d<$是度量空间。为了证明其完备性，设n∈fn∈1n1是柯西序列kS/fkQωKsup一个D¼supZðð/◦fÞωðzÞÞ2Kðgðz;aÞÞdAðzÞ/ωN<$N<$2N使得d<$fn;fm;QωK<$N。由于B，使得fnj 在D的紧子集上一致收敛于f。由此可见，fn也收敛于f6k/fzk2ωsupZDjf0zj2ljfzj2Kgz;adAz1：<在紧子集上一致，现在让m>N，并且0r 1。<<然后Fatou因此，它遵循（i）举行。相反，通过假设（i）保持和（3），存在一个Z..ωω22D= 0;r= 0常数s>0，使得n/ωfz/ωgzPlszKL>0，f z- fmz K1- jua zj dAz¼Z直线我的 天 -我的天。K1-juzjdAz2其中f;g2Bωl，且kS/fkQω6Ck/fzkBω。我们可以假设jf0<$z<$N。则一致收敛产生（三）满意。f0z-fm0z2二、ljzj为了证明（ii）（）（iii），首先假设Si：Bωl！QωK是. 1- jfzj1-jfmzj。Lipschitz连续，即存在一个正的常数C1/4lim.fn0z-fm0zn1- jf M. ljzjd/f;/g;QωK6Cd/fz;/gz;Bωl;对于所有f;g2Bωl：取/μg± 1/40，这意味着.Σk/fkQKω6Ck/fzkBωlk/fzkBlj/f0 j6limdfn;fm;Blω6s：6对所有z2D，有kfkBωl6kfmkBωls. 因此f2Bωl.从（6）f属于闭球B。在另一边另一方面，也是序列/fnj1一致收敛于ð4Þ断言（iii）通过在（4）中选择fzz来实现。此外，从（3），对于f;g2Bω1，我们推出：/ω因此，结合（4）和（5），我们有紧子集的解析函数，这是g2QωK。我们得到g/g/f，即 g属于S/B。因此，这个集合是封闭的，也是紧凑的。本文给出了作用在Blω和QωK类之间的叠加算子的紧性的主要定理。定理2.2.设/是从D到自身的解析映射k/f z kBωl 克赖斯特彻奇Bωl k/让K：1/2;1/2！ 半个;1个。 那么S/：Bωl！QωK是紧的，如果k/Zjf0zj2Pk/fkQωk/gkQωPs2Zjf0zj2Kgz;AdAz：Limsupr！1-a2Djfzj>r拉吉夫兹·拉吉夫2Kgz;adAz 0：72K K2Dljfzj因此，（三）项主张如下。假设满足（iii），我们有d/f;/g;QωKdQωK证据 我们首先假设（7）成立。设B：1/4Bg;dBωl，g2Bωl，d>0，是一个闭球，设n∈fn∈1n∈B是某个序列.我们证明了它的象在Q ω K中有一个收敛的子列，从而通过定义证明了S/的紧性.1.Z02一个2dD[1]再一次，f n是正常，因此，在本发明中，那里是一2ωjf < $z <$j2子序列它在com上一致收敛，6dBl/fz;/gzsupljfzjKgz;adAz第1页将D的子集压缩为解析函数f。柯西公式.Z02一个解析函数的导数，也是序列k/sup一个2djfzjljfzj2Kgz;AdAz！！对于所有f2Bωl：D512A. Kamal.. 1-jfzj1- jgzj22jzj6Rjzj6R我们陈述并证明了下面的命题。H你好！1jzj6R.1-jf拉日什基1-jgzj.22<$f0nj<$1在D到fnj的紧子集上一致收敛。由此得出，序列也是和/f 0 1j/NJ 第1页NJ 第1页L因此，Sl：Bωl！QωK是Lipschitz连续的，这个com证明了一切。其次，我们给出并证明了双曲空间上的叠加算子S/的紧性 回想一下，叠加算子Sl：Blω！QωK 据说是一致收敛于D的紧子集，/f0。此外，f2B<$Bωl，因为对于任何固定的R;0R 1，则一致收敛<<辅助核算f0z-g0z。ljzsuppjf0z-g0zjljz紧的，如果它将B1中的任何球映射到QK中的预紧集上。jff0njz-g0z. ljzj提案2.1.设/是从D到自身的解析映射斯卡利山超级jf0z-g0zjljzjjfn0-g0 j！d：让K：1/2;1/2！ 半个;1个。 IfS/：Bω！Qω是紧的，则它ωω叠加算子513NJ你好！1njjjzj6R514A. KamalLK将闭球映射到紧集上。叠加算子515因此，d<$f;g;Bωl<$6d。516A. Kamal第1页ZZNJ.ZZ0jfzjdAzZB！B！/fnj z-/f zjfz jK gz;adA z..设e>0。由于满足（7），我们可以固定r;0r 1，使得<rljfzj2Kgz;adAz6e：连续的，也就是说，如果存在一个正的常数C，使得d/f;/g;QωK6Cd/fz;/gz;Bωl;对于所有f;g2Bωl。通过一致收敛，我们可以固定N12N，使得j/0fnj-/0fj6e;对于所有jPN1：8已知条件（7）暗示S i的紧性： Q K，因此可能再次传递到一个子序列并调整符号，我们可以假设，k/fnj-/fkQK6e;对于所有jPN2;N22N：94.今后工作利用文[1，6，26，27]等中引入的不同双曲函数类上的叠加算子来推广本文的结果仍是一个未解决的问题。自2001年以来，b;f2B和jfn0j<$z<$j6jf0 <$z<$j，则可以得出确认sup一个2djfzjPrh/fnjω作者希望感谢审稿人的意见，这些意见改进了原始手稿。6次一个2djfzjPrh/ωfnj z引用6次一个2djfzjPrh/ωfnj zZ一个2di2jf0zj2Kgz;adAzjf0zj2[1] S.林志玲，张文忠，等.[2] S. Y a m a s h i t a ，Gap级数和a-Bloch函数，横滨6dBωa/fnjz;/fzsup因此，在本发明中，jfzj>rljfzj2Kgz;adAz;J. 28（1980）31-36.[3] S. 山下，双曲哈代类，评论。数学Univ. 圣Paul. 30（1）（1981）65-69。[4] S. Yamashita，双曲M. Riesz定理，ActaSci.sup一个2djfzjPrh/fnjωð10Þ（Szeged）43（1-2）（1981）141-146.[5] S.Yamashita，HyperbolicHardyclassesandhyperbolicallyDirichlet-finite functions ， Hokkaido Math. J.10（1981）709-722（特刊）。[6] S.山下，双曲函数，数学。另一方面，通过一致收敛的com-对于紧致圆盘D，我们可以找到一个N32N，使得对于所有jPN3，Scand. 53（2）（1983）238-244.[7] S. 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