量子力学与经典力学的凸运算理论比较

理论计算机科学电子笔记270（1）（2011）3-15www.elsevier.com/locate/entcs信息处理在凸运算理论霍华德·巴纳姆1CCS-3：信息科学、量子研究所和洛斯阿拉莫斯国家实验室关闭MT，USAAlexander Wilce1美国宾夕法尼亚州塞林斯格罗夫萨斯奎汉纳大学数学科学系摘要为了理解量子系统的超经典信息处理能力的来源和程度，人们希望将经典力学和量子力学都描述为更广泛的可能理论空间中的点。 由Abramsky和Coecke开创的一种方法是抽象支持各种信息理论约束和可能性的经典和量子力学的基本分类特征，例如，后者不可能克隆，而两者都可能传送。另一种方法，由作者和各种合作者追求，是从一个非常保守的，在某种意义上非常具体的，经典概率论的推广开始，仍然足以涵盖量子理论，并询问哪些“量子”信息现象可以在这个更宽松的设置中重现。在本文中，我们回顾了迄今为止在这第二个程序的进展，并提出了一些建议，如何将它与阿布拉姆斯基和Coecke所提出的关键词：有序线性空间，凸集，运算理论，范畴，丰富范畴，量子理论，量子力学，信息处理，比特承诺，隐形传态1引言随着量子信息理论的出现，人们对运算理论的凸（或有序线性空间）框架的兴趣重新抬头，因为研究人员试图理解信息处理的本质，1感谢Samson Abramsky、John Armstrong、Rick Blute和Bob Coecke对范畴、线性逻辑和信息处理2电子邮件：barnum@lanl.gov3电子邮件：wilce@susqu.edu1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.01.0024H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）越来越抽象的术语，既为了阐明量子理论与经典理论的信息处理能力之间的差异的来源，也因为量子信息已经引起了对量子理论基础方面的新兴趣在这方面，一个有代表性的（但绝不是详尽的）工作样本可能包括哈代[14，15]，与此同时，量子物理学公式化的一个迷人而富有启发性的范畴方法已经围绕紧闭范畴和匕首紧闭范畴的概念而形成，这些范畴表现出量子理论的关键特征，但也允许许多其他模型。这方面的主要工作是由Abramsky和Coecke [2]，Selinger [19，20]和Baez [3]完成的在[2]中，Abramsky和Coecke确定了许多与量子信息处理相关的最引人注目的现象-特别是各种形式的隐形传态-更普遍地出现在任何紧致闭范畴中，包括例如集合和关系范畴。这里的一个重要观察是，在这样一个范畴中定义一个对偶对象的单位和共同单位可以在--被解释为一种传送协议 另一方面，在更多的具体但结构上更松散的凸框架（其中本质上任意紧凸集充当抽象状态空间），我们的合著者（Jonathan Barrett和Matthew Leifer）和我们已经证明（[3]-[5]）许多相同的现象-在这个框架中，隐形传态协议的存在是一个非平凡的约束，使之更接近量子理论;但即便如此，人们仍然可以构建许多既不是经典的也不是量子的隐形传态模型这里有一个重要的观察结果，协议只是条件反射的一个特例本文回顾了我们自己和几位合作者，特别是Jon Barrett、Matt Leifer、OscarDahlsten、Leifer和Ben Toner在有序线性空间框架中的信息处理方面的工作，然后讨论了这项工作如何与用过程范畴描述信息处理的广泛项目相联系。回顾的工作表明，某些信息处理特性有时被认为是“独特的量子”，实际上是框架中所有非经典理论所共有的这包括不扰动就不能获得的状态信息的存在，以及量子不可克隆和不可广播定理的推广。比特承诺的不可能性被认为是一个潜在的基本信息处理原理（例如由Bras-sard[11]和Fuchs [13]提出的），它被经典力学和量子力学所共有，与其他原理结合起来，可能是量子力学的特征。Becaard和Fuchs提出的其他原则是安全密钥分发的可能性，这与无克隆、无广播和信息共享密切相关。H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）5扰动权衡，正如我们将看到的，它排除了经典理论，以及系统之间不可能存在瞬时信号（这是建立在我们的有序线性空间框架中使用的复合系统概念中的）。 我们还将在我们的框架中提出一些关于比特承诺的结果，所有缺乏纠缠的非经典理论都允许指数安全的比特承诺，以及关于某些纠缠态的理论如何击败我们用于非纠缠情况的比特承诺协议的一些结果。密切相关的状态可以允许隐形传态，这是另一个信息处理任务，其可能性有助于区分我们框架中的非经典理论。我们总结了我们最近的一些工作与巴雷特和莱弗多部复合系统和隐形传态的有序线性空间框架。特别是，我们报告的必要条件和充分条件的复合材料的三个系统，以支持一个决定性的隐形传态协议，和有趣的充分条件确定性隐形传态。然后，我们向我们的结果的范畴理论公式化迈出了一些第一步。我们所考虑的抽象状态空间自然地形成一个范畴;然而，这远不是紧闭的。首先，一个抽象状态空间的对偶通常不是另一个状态空间，而是一种完全不同的动物。我们的范畴一般也不是monoidal的：更典型的是，它们支持大量耦合系统的可能机制，由最大（和最大纠缠）张量积λmax和最小（unentang- gled）积λmin限定。另一方面，有各种各样的结构，通过它们，我们可以把我们的状态空间范畴嵌入到一个更大的过程范畴中，这个过程范畴具有更好的行为--特别是monoidal和自对偶结构。在相反的方向上，我们可以关注在某种意义上（在下文中精确描述）与其从抽象状态空间（的范畴）构建过程的范畴，不如从相反的方向开始，通过公理化地处理过程的范畴。这样一个分类的一个自然的起点是考虑在有序线性空间或抽象状态空间上丰富的本文最后简述了这一思想。我们设想这样的分类公式作为第一步，以比较各种信息处理协议的必要和/或充分条件或理论的信息属性，在凸框架中获得，与属性，本文的这一部分得益于与Abramsky、Armstrong、Coecke和其他人的讨论，可以被视为描述与其中至少一些人合作的早期进展。6H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）Σ2抽象状态空间抽象状态空间是指一对（A，uA），其中A是一个有限维有序实向量空间，具有正锥A+，其中uA：A→R是一个特殊的线性泛函，称为序单位，在A+\ {0}上严格为正。一个状态被归一化为iuA（α）= 1。 我们将A+中的正规化状态的凸集记为ΩA。通过举例说明，如果A是集合X上的实值函数空间RX，在X上逐点有序，其中uA（f）=x∈Xf（x）， 则ΩA = Δ（X），X上概率权的单形。 如果A是空间L（H）在（有限维）复Hilbert空间H上的厄米特算子的集合，具有通常的算子序，并且如果uA（a）= Tr（a），则ΩA是H上的密度算子的集合。在任何抽象状态空间A上，存在一个标准范数（基范数）使得对于α∈A+，<$α<$=uA（α）。对于RX，这只是X上的范数;对于L（H），它是迹范数。事件（例如，与抽象状态空间A相关联的测量结果）由结果表示，即， 正线性泛函a∈A<$，其中0 ≤a≤在对偶排序中的uA。请注意，0和uA，根据定义，是最小和最大的影响。如果α是A中的归一化因此，A上的离散可观测值是列表（a1，.，an）满足a1 + a2+···+a n= u A.我们用一个正映射τ：A→B表示一个具有初始状态空间A和最终状态空间B的物理过程，使得对于所有α∈A+，uB（τ（α））≤uA（α）-等价地，τ是范数压缩的. 我们可以把<$τ（α）<$= u B（τ（α））看作τ所代表的过程在初始状态α中发生的概率;这个事件由A上的效应u B <$τ来表示。重要的是要注意，在刚刚概述的框架中，状态空间A和它的对偶空间A具有（一般）非常不同的结构：A是锥基空间，即，一个有序空间，对于A+有一个优选基ΩA，而A+是一个序单位空间，即，在其正锥中具有优选元素的有序空间实际上，空间A和A∞一般甚至不同构为有序空间。当A与A的一个线性序同构（即一个正逆的正线性映射）存在时，我们称A是弱自对偶的。其中这个同构诱导A上的内积，使得A+={b∈A| <$b，a<$≥ 0 <$a ∈ A+}，我们说A是自对偶的. 有限维量子态空间和经典态空间在这个意义上是自对偶的Vinberg和Koecher [8，9]的一个著名定理告诉我们，如果A是一个不可约的有限维自对偶状态空间，并且如果A+的一个自同构群传递地作用在A+的内部，则归一化状态空间ΩA与n维希尔伯特空间上的密度算子集、球或八元数上的3×3迹1正矩阵集同构3组合系统为了我们的目的，将两个状态空间的张量积A<$B与A<$×B<$上的双线性形式的空间B（A<$，B<$）相识别是方便的，H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）7状态α∈A，β∈B的纯张量α，g∈B。我们称一个形式ω∈A<$B为正i <$ω（a，b）≥0，对所有（a，b）∈A<$+×B+<$. 如果ω是p值，ω（uA，uB）=1，则nω（a，b）可以解释为a∈A<$，b∈B<$的联合概率.相反，可以证明（参见[4]和[10]），与无信令要求一致的联合概率的任何分配必须是双线性的。因此，符合这一要求的A和B的合成的最一般模型是空间A<$B，由所有正形式的锥排序，序单位为uA<$uB：ω<$→ω（uA，uB）。这给了我们一个抽象的状态空间，我们称之为A和B的最大张量积，记为AmaxB。在另一个极端，我们可能希望只允许乘积态α<$β，以及它们的混合物，算作二分（归一化）态。 这就给出了最小张量积， 如果A和B是经典的在ΩA中不属于ΩA中的一个态是纠缠态。更一般地，我们定义A和B的复合为任何状态空间AB由A<$xB <$x上的双线性型组成，由包含每个乘积状态α<$β的正型锥AB+排序，其中α∈ΩA和β∈ΩB 更一般地，n个状态空间A1，...， An是A<$1×···×A<$n上的n -线性形式的状态空间A，按包含所有乘积态的正形式锥y y排序.4信息干扰交易与巴雷特和莱弗一起，我们已经证明（如[9]中所述），在非经典理论中，唯一可以在不干扰状态的情况下获得的关于状态的信息是固有的经典信息，即关于状态位于状态锥的一组不可约直和项中的哪一个的信息。称一个正映射T：A→A在状态ω上是无扰动的，如果T（ω）=cω ω，对于某个原则上可以依赖于状态的正常数cω。 说这样的地图是不干扰的如果它对所有纯态都是无扰动的[4]然而，在这个意义上，一个非扰动的范数非增映射恰恰是这样一种映射，它可以出现在与某个测量结果相关联的操作中，在测量结果上求平均，保持状态不变。向量空间V中的锥C是锥D和E的直和，如果D和E跨越V的不相交（除了0）子空间，并且C的每个元素是D和E中向量的正组合。一个锥是不可约的，如果它不是一个非平凡的锥直和每个有限维锥都可以唯一地表示为不可约锥Ci的直和C=iCi。关于哪些被求和项的信息4当然，如果我们以获得的信息为条件，这个定义允许混合状态被以下扰动：一个无干扰的地图，可以被看作是一个不可避免的8H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）Σ一个状态处于什么状态，应该被认为是关于该状态的“固有经典”信息。定理4.1不可约C i的和C = i C i的锥上的无扰动映射恰是映射M = ic iid i，其中id i是和项Vi上的恒等算子，在别处是零算子，c i是任意非负常数。因此，对于一个非扰动映射，cω只能依赖于一个状态所在的不可约分量。 也就是说，非扰动映射发生的事实不能给我们关于不可约分量内的状态的信息：换句话说，正如所声称的那样，只有固有的经典信息包含在非扰动映射发生的事实中。不受干扰就无法获得的信息的存在通常被认为是量子密钥分配可能性的基本原理，因此，它在框架中的非经典理论中是通用的这一事实使我们（与巴雷特和莱弗一起）推测，给定一个经过认证的公共信道，安全的密钥分配在所有非经典模型中都是可能的4.1无克隆和无广播定理量子密钥分发的安全性也常常被归因于量子不可克隆或不可广播定理当然，不可克隆至少是安全性所必需的。一个映射T：A→A<$A克隆一个态ω，如果T（ω）=ω<$ω。如果存在克隆每个ω∈S的单个动态允许映射T，则可以（确定性地）克隆归一化状态的集合S。不可克隆可以与信息扰动原理密切相关，通过量子背景中引入的一个论点，但它推广到我们的设置，因为如果在圆锥的同一不可约分量中的两个不相同的状态可以被克隆，我们可以，例如，通过对克隆进行信息完整的测量，获得关于我们所拥有的状态的信息，而不会干扰它，这与我们的信息扰动定理相矛盾。在量子力学中，只有状态集合S的正交集合使得对于所有对ρ，σ∈S，ρσ= 0-可以被克隆[6]。作为这种情况的一个特例，在有限样本空间的经典概率论中，不能克隆适当混合的状态（分布）。由于这一点，并且因为很自然地认为交换而不是相互正交的密度矩阵集是一个映射T：A→AA广播一个状态ω，如果T（ω）的两个边缘都等于ω;因此这个概念允许广播状态中的相关，甚至纠缠。这与我们上面使用术语“克隆”的克隆概念的混合状态扩展形成对比，后者产生产品状态。当然，广播的概念也以不同的方式扩展了克隆纯态的概念，因为它简化为在纯态上的克隆。 一组状态S是可广播的 如果有一个保范动态映射T广播S中的所有状态，H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）9Σ（即：相同的地图广播所有的州）。无广播定理[6]断言，正是相互交换的量子态集合可以使用完全正映射进行广播。最近，我们与巴雷特和莱弗一起展示了[4]。定理4.2在我们的框架中的任意凸运算理论中， 态的S<$Ω是可广播的，当且仅当它包含在一个单形Δ <$Ω中，该单形的顶点可由一个测量区分。 对于每个正映射， B：V→V<$V，它广播的状态集合正是这样一个单纯形。这结合了[4]的定理2和定理3。它可以被解释为说，可广播的状态集是经典的状态集，但是所涉及的经典性与可以在没有干扰的情况下获得的信息的固有该定理的证明使用了一个广义的不可克隆定理，也在[4]中得到了证明，证明了一组状态是可克隆的，当且仅当其中的状态都可以通过一次测量同时彼此区分因此，定理4.2的证明简化为证明一个可广播的状态集合包含在（并且B广播的状态正好是）一个可克隆的状态集合的凸包（必然是一个单纯形）中。不可克隆结果的证明实质上是表明，如果可以克隆一组状态，则可以通过重复克隆以创建许多独立副本，对每个副本执行信息完整的测量，并使用测量结果的统计来识别状态来区分它们。相反，如果可以区分状态，则可以使用映射克隆它们，该映射以区分状态ω为条件，准备ωω。更准确地说：对于任何ω，都有一个范数非增正映射Prepω，它准备ω，即输出ω，不管进入什么归一化状态。 克隆映射是iPrepωi<$ωi <$Ti，其中{Ti}是一组映射，使得 效应u∈Ti是区别ρi∈S的度量;这样的度量必须存在，因为我们假设ρi是一次可区分的，并且我们假设作为我们一般框架的一部分，每个效应至少有一个相关联的映射Ti。我们立即看到，这个克隆了ωi的映射也将传播ωi的凸包中的任何状态，这给了我们广义不传播定理的简单方向。5非纠缠理论中极值分解的非唯一性和比特量子理论有混合态，其表示为纯态的凸组合不是唯一的。所有的非经典理论也是如此：混合态分解为纯态的唯一性是单形的一个简单的虽然我们不知道任何量子信息处理任务的可能性直接追溯到混合态到纯态的非唯一可分解性，但这确实被提出作为量子比特承诺方案的可能基础（作为10H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）我XKJ我 我J JXX1X2Xni=1j=1在[10]中显示了他们提出的方案，在[18，17]中显示了更详细的方案）这些方案由于纠缠而不起作用文[7]证明了比特承诺协议的普遍存在性 在非经典理论中，假设所用的张量积不允许纠缠。考虑一个由有限维抽象状态空间建模的“基本”系统的有限集合生成的理论，该 系统至少 包含一 个非经 典系统， 并且在 最小或 可分离的 张量积 下闭合，我们用普通的张量积符号表示。协议。 设一个系统有一个非单纯的、凸的、紧的状态空间Ω的维数d，嵌入作为在维数d+ 1的向量空间V中的未归一化状态的锥的基底。该协议使用状态μ，其具有两个不同的分解成暴露状态的有限个不相交集合{μ0}，{μ1}，即，I jN0N1（1）ω=ωp0μ0=ωp1μ1，如果存在概率为1的测量结果ab，则暴露状态μb我我当且仅当状态是μb时;该协议对所有非经典系统都存在，因为如我们所示，任何n维d的非单纯凸集总是有一个状态ω，该状态ω具有两个分解（如上所述），分解为不相交的状态集，其总数为N0+N1为d+ 1（不相交性和基数上的界用于指数安全性的证明）。在诚实协议中，Alice首先决定要提交的比特b∈ {0， 1}。然后，她从p b中抽取n个样本，获得字符串x =（x1，x2，...， x n）。承诺，她发送状态μ b= μ b<$μ b<$. 10μ b鲍勃。 为了揭示这一点，她发送了b和x是鲍勃。Bob测量他所拥有的状态的每个子系统。在第k个子系统上，他执行一个测量，（这将取决于b）包含μb分辨效应并且如果结果不是区分结果则拒绝。如果他对每一个系统都获得了适当的区别结果，他就接受了。该协议是完美的（如果爱丽丝是诚实的，鲍勃从来没有指责她作弊，并始终获得正确的位），完美的隐藏（如果爱丽丝是诚实的，鲍勃不能获得任何信息的位，直到爱丽丝揭示它），并有一个指数低的概率爱丽丝6条件反射和隐形传态协议如果AB是状态空间A和B的合成，则对于任何归一化状态ω∈AB+和任何等价物a∈A，我们可以定义边缘状态ω A（−）= ω（−，u B）和条件状态ωB|a（b）= ω（a，b）/ω A（a）（通常的条件是，如果ω A（a）= 0，条件状态也是0）。我们还将部分求值状态ωB（a）：=ω（a，−）称为非归一化条件状态。更一般地，如果A是状态空间A1，...，A n，具有序单元u1，...， ，则对于所有子集J∈{1，.， n}，并且所有a：=（ai）∈Ji/∈JAi，我们can定义未归一化的条件状态-即，部分评估的状态- ω a，a|J|- 线性形式on<$j∈JA<$j. 我们将第J个子系统定义为有序的H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）11^^^ ^您的位置：^（α <$ω）=<$ω^<$f（α）<$ω^（f（α））。^ ^您的位置：^ ^您的位置：F^ ^您的位由这些条件状态生成的锥所跨越的空间，具有序单位uJ：=<$j∈Juj。我们称之为正则复合体，它在这种多体条件态的情况下是封闭所有由单一的、结合的、双线性乘积构造的状态空间都是正则的，但也可以使用“混合”构造来构造正则复合。例如，不难证明Amin（BmaxC）是A、B和C的正则合成。非正则复合的一个例子是（AminB）max（CminD），其中A、B、C和D是弱自对偶但非经典的状态空间的四个副本。一个状态ω∈AB产生一个正算子ω：A→B，由ω（a）（b）=ω（a，b）给出我们可以把ω（a）看作是一个 作为一个部分逆，任何正算子<$：A<$→B，且<$（u A）∈ Ω B-，即<$（u B）：= u B <$$>= u A -对应于最大张量积A<$max B中的一个状态。 对偶地，任何e∈（AB）产生算子f：A→B，由下式给出： f（α）（β）=f（α<$β）;且任何正算子φ：A→B<$且φ（α）≤uB，对所有α∈ Ω A-，即<$φ <$≤ 1 -，对应于（A <$min B）<$中的一个集合。我们有以下结果（通过检查它对初等张量成立很容易验证引理6.1设ABC是一个正则合数。 若f是（AB）中的一个射，ω是BC中的一个态，则对任意α ∈ A，（二）BF如果ABC处于状态α<$ω，其中α未知，则有条件地确保测量结果f在A→B上，C的状态在归一化之前是α的已知函数。我们称之为远程评估。这很像一个传送协议。事实上，假设C是A的一个拷贝，而η：A→C是一个特定的同构，允许我们将前者的状态与后者的状态相定义6.2用上面的符号表示，（f，ω）是一个（单结果，后选择）隐形传态协议i，存在一个正的，范数压缩的校正映射τ：C→C，使得对所有α∈A，τ（α<$ω）C= η（α）。5根据引理6.1，α<$ω的未归一化条件状态正好是ω（f（α））。如果我们令μ：=ωf，则归一化条件状态可以写成sμ（α）/u（μ（α））. 因此，（f，ω）是一个隐形传态协议，i∈ ΩA，存在一个范数压缩映射τ，使得（τ<$μ）（α）=<$μ（α）<$η.定理6.3用符号表示，（f，ω）是一个远距离变换，它与一个同构（A，uA）成正比。（C，u C）;在这种情况下，校正τ：（C，u C）（C，u C）也是同构。尽管如此，我们还是简单地将C等同于A，从而抑制了η。注意，如果（f，ω）是A、B和A（的副本）的正则复合ABA上的隐形传态协议，那么，由于f存在于（AB）<$≤（A<$minB）<$且ω存在于BA≤B<$maxC中，因此也可以将（f，ω）视为A<$min（B<$maxA）上的隐形传态协议。[5]也可以允许修正失败概率非零的协议。详情见[5]。12H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）^ ^您的位置：^^^定理6.4 Amin（B maxA）支持一个决定性的隐形传态协议i A1与一个压缩（一个正幂等映射）P：A2→A1的值域序同构。推论6.5如果A可以通过它自身的一个副本传送，那么A是弱自对偶的。为了确定性地通过B传送未知状态α∈A，我们需要的不仅仅是一个纠缠的观测量f，而是整个观测量的值。在这里，我们专门讨论ABC=Amin（BmaxC）的情况：定义6.6 A到B的确定性隐形传态协议包括：可观测E =（f1，...，f n）在A<$B上和B <$A中的状态ω，使得对于所有i = 1，.，n，则算子f i <$ω是物理可逆的。下面的结果提供了一个充分的条件（满足，例如，通过任何状态空间A，ΩA是正多面体），这样的协议存在。定理6.7设A= B.设G是作用于A的纯态的有限群，且ω是一个态，使得ω是G-等变同构。对所有g ∈ G，设f g∈（A对应于算子1fg=ω−1g。|G|则E ={f g|g∈G}是一个可观测量，（E，ω）是一个确定性的隐形传态协议.7抽象状态空间如果一个抽象的状态空间和它的对偶为了使其系统化，应该考虑状态空间的类别。令Asp表示其对象是有限维抽象状态空间（A，uA），其态射是范数压缩正线性映射的范畴。 这个范畴有一个优选对象I = R，按照通常的顺序，u I= 1，ΩI={1}。对于Asp中的任何A，存在从A到I的优选态射，即uA。（事实上，映射τ<$→u A<$<$τ定义了一个自然变换Asp（−，A）→ Asp（−，I）。）我们可以对受迫空间建模，即，对偶状态空间，由Hom集Asp（A，I）表示。然而，如上所述，Asp不存在自然的内部对偶;由于存在两个正则张量积，Asp也不是自然的monoidal范畴。它们以线性逻辑学家所熟悉的方式相互作用，即对于任何状态空间A、B和C，存在一个正则嵌入Amin（B maxC）≤（A minB）maxC。因此，我们可以把（Asp，Rummin，Rummax）看作线性分配范畴[6]（尽管没有否定）。 关于二元性，有各种各样的解释， 可以提供有用的自对偶性应用于Asp，这些结果可能导致H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）13›→2可以看作是过程空间的范畴。举一个最简单的例子，考虑范畴C2=C×C，即，其对象是Asp中状态空间的有序对（A，B）的范畴，其中C2（（A，B），（C，D））=C（C，A）×C（B，D），以明显的方式定义组成。[6]其思想是，对（A，B）表示从A到B的可能过程的空间，并且对f：C→A，g：B→D将过程τ：A→B带到过程g<$τ<$f。事实上，函子（A，B）C（A，B）赋予C正是这种解释。（A）（I）（因此，C2允许我们在平等的基础上考虑状态空间和输出空间此外，C2具有自然的自对偶性，由（A，B）n=（B，A）给出，并且对于（f，g）∈C2（（A，B），（C，D）），（f，g）<$=（g，f）∈ C2（（C，D）<$，（A，B）<$）= C2（（D，C），（B，A））.当C在极大张量积和极小张量积下都是闭的时（特别是当C=Asp时），范畴C2具有自然的对称monoidal结构，由7（A，B）（C，D）=（A minB，C maxD）.注意，我们有了期望的恒等式（（A，B）（C，D））=（A maxB，C minD）.与其扩大范畴Asp，还可以在其中寻找具有理想结构的子范畴。设C是Asp的一个子范畴。如果A和B是C中的状态空间，让我们同意，如在定义6.2中，A到B的隐形传态协议由（i）正则复合ABA∈C;和（ii）一对f∈C（AB，I），ω∈BA=C（I，BA）组成，使得对于某些校正τ∈C（A，A），τ（（f<$−）（− <$ω））= id A.如果τ可以取为恒等态射idA，我们可以说这个协议是无校正的。 这看起来很眼熟 回想一下，在一个对称幺半群范畴（C，n）中对象A的对偶是一个对象B，连同态射ηA：I→B<$A（单位）和dαA：A<$B→I（单位），suchthat（这里将I<$B和B<$I与B标识，并抑制典范结合态射（A<$B）<$CA<$（B<$C））（idB<$αA）<$（ηA<$idB）=idB。如果C是状态空间的一个么半群范畴（也就是说，Asp的一个子范畴，它具有一个对称的结合积A，B<$→AB），那么η∈C（I，A<$B）仅仅是A<$B中的一个局部的次正规化状态，而αA∈C（A<$B，I）是A<$B中的一个局部，我们看到这相当于C中的一个无修正隐形传态协议的定义。前面的讨论提出了一种方法，使抽象状态空间的结构上松散但（可以说）本体上严格的世界与[6]这基本上是[16]中描述的Cd类。7一类过程的另一种可能性是应用Int [16]（或到Asp.我们不想在这里讨论这个问题14H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）艾布拉姆斯基和科克的结构更高但在本体论上更抽象的范畴语义学：从抽象状态空间的一个特定范畴开始，通过扩大或缩小，从这个范畴出发，构建一个至少具有可感知的二元性和monoidal结构的理论。同样值得考虑的是一种不同的、更 或承诺当然，这与阿布拉姆斯基和科克及其合作者的方法非常接近;但我们想表明，在一开始就添加一个额外的结构成分--即凸性--可能会有成效这自然是这一概念是由在有序线性空间上丰富的一类过程的概念所捕获的。在操作框架中，状态集、测量结果集、系统的动力学集或将一种类型的系统转变为另一种类型的动力学集都是紧凑的凸集，通过对“未规范化”状态、结果或动力学的凸锥施加自然换句话说，状态、结果和动态应该属于凸锥。在以过程为中心的方法中，我们将用来自一个区别对象的态射来表示系统A的状态在这个框架中，上述操作性动机的凸性要求将通过要求描述运算理论的范畴中的所有hom-set被指向，生成闭凸锥来实现;更正式地说，通过要求描述运算理论的范畴在某个有序线性空间范畴上被丰富这表明了以下几点定义7.1过程的凸运算范畴是在有限维有序实向量空间范畴上丰富的范畴C，有一个单位对象I，使得每个对象A都有一个可区别的态射uA∈ C（A，I）。在今后的工作中，将更详细地阐明这一定义。 我们打算它，以及我们和合作者正在着手的凸运算理论的相关范畴公式，以使围绕匕首紧闭范畴的信息处理的范畴公式能够与凸运算形式主义进行比较。在凸形式主义中，我们一直关注的是获得特定类型的信息处理的可能性的必要和/或充分条件，例如我们在本文中所回顾的那些。在某些情况下，似乎这些条件可能比现有的范畴结构中我们希望猫的项目H. Barnum，A.Wilce/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）15对凸方法进行凸化（并对分类方法进行凸化！）可以揭示更多的明确制定的必要和充分条件的各种信息处理协议（其中很多，特别是充分的条件，是已知的），在一定程度上使我们能够抽象的一些更具体的内容凸形式主义，同时保留一些其结构松散。引用[1] S.艾布拉姆斯基进程代数中的若干路径回溯。在CONCUR '96会议录Montanari and V. Sassone，eds.，Springer-Verlag，第1-17页，1996年。[2] S. Abramsky和B.科克量子协议的分类语义。Proceedings of the 19th Annual IEEE Symposium onLogic in Computer Science（LICS[3] J. 贝兹量子困境：范畴论的观点。Quant-ph/0404040，2004。[4] H. Barnum，J. Barrett，M. Leifer和A.威尔西通用概率模型中的克隆和广播。arXiv.org e-printquant-ph/0611295，2006年。[5] H. Barnum， J. Barrett，M. Leifer和A. Wilce，Teleportation in General Probabilistic Theories。在CliEscherord Lectures的论文集，杜兰大学，2008年3月12日至15日。出席会议应用数学研 讨 会（AMS）;也arXiv：0805.3553，2008。[6] H.巴纳姆角，澳-地M.卡夫斯角A. Fuchs，和B.舒马赫非交换混合状态不能广播。物理修订信函，76：2818[7] H.巴纳姆岛Dahlsten，M. Leifer和B.墨粉。没有纠缠的非经典性使比特承诺成为可能。接受IEEE信息理论研讨会，波尔图，2008年5月，2007年。[8] J. 巴雷特信息处理在广义概率论arXiv.orgwww.example.comquant-ph/0508211。出现在物理评论A，2005年。[9] J. Barrett，N.林登，S。Massar，S. Pironio，S. 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