勒贝格积分的E-理论解释：量子力学基础中的Lebesgue积分和映射保持性的研究

∫因为f的积分表明它应该被认为是一个和（” is可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记319（2015）239-253www.elsevier.com/locate/entcsLebesgue积分的一个E-理论解释巴特·雅各布斯和布拉姆·韦斯特班荷兰奈梅亨大学计算与信息科学研究所（iCIS）www. CS. 茹nl/B。 Jacobswww. CS. 茹nl/A。A. 韦斯特班摘要在1990年代，在量子力学基础的研究中引入了射集代数，作为概率论的量子理论版本的一部分。 本文是该计划的一部分，并给出了本文用等价代数和等价模系统地讨论了[0，1]-值函数的Lebesgue积分。起点是可测量子集的“指标”函数。 给出了从可测子集的乘积代数到[0，1]值可测函数的乘积模的保持可数并的同态。证明了在这些映射中，该指标是自由的：可测子集的集合代数的任何同态都可以看作是广义概率测度，并且可以唯一地推广[0， 1]-值可测函数的模的同态保持可数链的并.扩展是与此概率测度相关的勒贝格积分。它对联接的保持性是单调收敛定理。保留字：集代数，集模，Lebesgue积分1介绍积分是一种基本的数学技术，用于计算曲线的长度、曲面的面积、固体的体积、分布的平均值、函数的傅里叶变换、微分方程的解等。粗略地说，积分赋予一个函数下的面积 它的曲线图（x轴下的面积为负数）。记法<$f（x）dx细长的虽然这是一幅优美的图画，但积分的正式定义需要不同的方法：例如，通过用积分容易确定的基本函数近似f1bart@cs.ru.nl和bram. cs.ru.nlhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2015.12.0151571-0661/© 2015由Elsevier B. V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。240B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）239∫∫在概率论中，积分用于计算事件的概率和随机变量的期望值（以及其他许多事情）。在连续概率计算理论中，积分用于（马尔可夫核或吉里单子的余代数的）顺序合成，参见例如[18，20]。积分也用于计算定量谓词（随机值）的最弱前提条件，参见例如。 [15 ]第10段。本文利用基本测度理论对勒贝格积分作了初步的说明。它仅限于单位区间上的可测函数X→[0，1]，可以理解为模糊谓词。与传统的计算不同的是，它系统地使用了等价代数和等价模的概念，其中等价模是具有标量乘法的等价代数，其中标量取自[0， 1]。这些效应结构出现在量子力学的基础中，作为概率论的量子理论版本的一部分（参见[7]的概述）。事实证明，勒贝格积分的基本概念可以非常自然地用ω-（完全）射代数和ω-射模来表述。例如，对于一个可测空间X，可测子集的集合为X• 可测子集的σ-代数<$X是ω-射代数;• 可测函数X→[0，1]的集合Meas（X，[0，1]）是ω-射模;• 指示函数给出一个映射1（−）：nX→Meas（X，[0， 1]），它是ω-集代数的一个同态-其中1M（x）= 1，如果x∈M;1M（x）= 0，如果x/∈M;• 而且，这个指示映射在以下意义上是自由的：对于每个ω-完备的等价模E，以及对于每个概率测度（ω-等价代数的同态）φ：Meas（X，[0，1]）→E，存在唯一的等价模的同态φ：Meas（X，[0，1]）→E，其中φ<$1（−）=φ。这个自由延伸φ正好是勒贝格积分它将p∈Meas（X，[0，1]）发送到积分φ（p）=pd φ ∈E。这些要点概括了本文的主要贡献。积分pdφ∈E的定义通常分两个阶段进行，即首先对于阶跃函数（使用E的有效模结构），然后对于任何可测的p函数，通过将p写为阶跃函数的上升链的ω-并（使用E的ω-完备性）。本文的大部分工作是验证通常的参数可以适应于ω-ε-模的设置最后，人们可能想知道我们使用[0，1]值函数的限制有多大。这些函数构成一个输出模块。在[17]中，通过一个称为“累加”的过程，证明了输出模范畴等价于序单位空间范畴。通过应用这样的累加，人们从[0， 1]-值函数得到有界R-值函数.用这种方法可以将[0，1]值函数的积分推广到有界R值函数.B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）239241❽❽❽❽❽❽❽❽❽ ❽ ❽ ❽ ❽❽❽2射代数与射模在数学物理学[9]（以及[4，11]）中引入了射代数，在量子概率的研究中，参见[7]的概述。一个结果-gebra是一个部分交换幺半群（M，0，），其正交补为（−）。如果x y被定义，则写xy交换性的公式和结合性要求有点复杂，但本质上是直接的。的正交补满足x=x和xx= 1，其中1 = 0。 总有一个偏序，由x≤yi <$x z=y给出，对于某个z。则：x<$yi <$x≤y<$。主要的例子是单位区间[0，1]<$R，其中加法+显然是par-R。它是一个实数，交换的，结合的，以0为单位;此外，它的正交补数是r= 1 − r。一个ω-集代数（也称为σ-集代数）还具有可数升链x1≤x2≤ ···的并nxn。我们写EA的范畴的集合代数，作为态射映射保持和1-，从而所有其他结构。在ω-集代数的子范畴ω-EA<$→EA中的态射是那些保持ω-链的连接的。对于每个集合X，X上的模糊谓词的集合[0，1]X是一个ω-集代数，具有逐点运算。每个布尔代数B都是一个集合代数，且xyixy =;则x y=xy。在量子环境中，主要的例子是希尔伯特空间H上的集合Ef（H）（即有界线性算子A：H→H，其中0≤A≤I，参见例如[7，14]）。向量空间是向量空间的一种形式。它涉及一个具有标量乘s·x∈E的集合代数E，其中s∈[0， 1]，x∈E。这标量乘法必须分别在每个变量中保留0集合[0， 1]X和Ef（H）显然是这样的自洽模。在子范畴Emod<$→EA中，映射还可以与标量乘法交换我们用ω-Emod<$→Emod表示ω-完全的外接模的子范畴，其中外接模映射保持ω-链的并。我们需要得到以下关于选择模的结果。引理2.1对于射模中的元素x，y，以及标量r，s∈[0， 1]，（i）（r·x）=（r·x）x;(ii) xy蕴涵r·xs·y。证明我们通过正交补的唯一性得到（r · x）· xxr·xr·xx=（r）·xx= 1·xx= xx= 1。其次，如果x≠y，则x≤y≠，因此r·x≤x≤y≠。取补数，我们看到s·y≤y≤（r·x）。这意味着r·x·s·y。3可测空间与函数一个可测空间（X，<$X）（或简称X）是由一个集合X和一个σ-代数<$X <$P（X）.后者是一个可测量子集的集合，242B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）239X∈np−n1（（r，1]）. 由于eachp−n1（（r，1]）是对于x∈X和r∈[0， 1]，我们有p（x）=npn（x）> r当且仅当有其中pn（x）> r。 因此p−1（（r，1]）=补数、补数（否定）和可数并集。可测子集形成了一个布尔代数，其中存在可数连接-所以X是一个ω-连通代数。在可测空间之间的函数f：X→Y--即从（X，<$X）到（Y，<$Y）--称为可测的，如果f−1（M）∈<$X，对每个M∈<$Y。这就产生了一个范畴Meas，它带有一个函子<$（−）：Meas→ω-EAop。每个拓扑空间X都有一个包含所有开子集的最小σ-代数，称为X上的Borel代数/空间。特别地，单位区间[0，1]形成可测空间。它的可测子集由区间（q，1）生成，其中q是[0， 1]中的有理数。可测函数比连续函数有更多的序结构：它们在可数连接下是封闭的。引理3.1设X是可测空间，Y是拓扑空间。(i) 可测函数X → [0，1]的集合Meas（X，[0，1]）是一个ω-射模。特 别 地，它在升ω-链的并下是闭的。(ii) 连续函数Y → [0，1]的集合Top（Y，[0，1]）是一个等价模，但并不总是一个ω-等价模：一些连续函数的上升ω-链没有join。这些映射X<$→Meas（X，[0， 1]）和Y<$→Top（Y，[0， 1]）产生函子：MeasEModopTopEModop（1）证明了可测函数X→[0， 1]构成一个E-模，利用单位区间上的逐点E-模结构 [0，1]。为了证明它们在连接下是闭的，设p1≤p2≤p3≤ · · ·是可测函数pn：X→[0，1]。 我们必须证明[0，1]中的（逐点）连接p=npn也是可测的。由于形式为（r，1]且r[0， 1]的子集生成[0，1]上的Borelσ-代数，因此表面上表明p−1（（r，1]）是可测的。注意可测的，p−1（（r，1] ]也是，连接p=npn是可测的。因此我们得到一个函子Meas（−，[0， 1]）：Meas→ω-Emodop。 ω-ε-模结构通过预组合来保持，因为它是逐点定义的。连续函数Y→[0， 1]的集合Top（Y，[0，1]）是一个射模，但一般没有ω-连接。 以Y =[0，2]为例，考虑连续函数f1≤ f2≤···≤ f：[0，2] → [0，1]，定义如下：fn（y）=1−ynify∈ [0，1]0 ify∈ [1，2]f（y）=1 ify∈ [0， 1）0 ifx∈ [1， 2]自从利姆n→∞yn= 0对于y ∈ [0，1）我们看到f是f1，f2，.的逐点并。 .显然，这个连接f不是连续的，所以它不可能是f1，f2，.的连接。inTop（Y，[0， 1]）.更重要的是：我们声称f上没有最小连续函数。因此f1，f2，. 在Top（Y，[0， 1]）中根本没有join。..B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）2392432、、、=1=1。QMMnnnn❽的确，如果g：[0，2] → [0，1]是连续的且g ≥ f，则g2≥ f2= f（其中f2=fb，因为f是{0，1}-值的）. 另一方面，g不是{0，1}值的，因为g在1处连续。因此gX<$=Meas（X，[0，1]），这意味着谓词Meas（X，[0，1]）构成了ωX上的自由ω-ε-模。 还有几件事要说。• Gudder 不 使 用 ω-e-ect 模 ， 只 使 用 ω-e-ect 代 数 。证 明 了 ω- 集 代 数 [0 ，1]×X→Meas（X，[0， 1]）存在一个合适的双同态.他没有证明一般ω-ε-代数张量的存在性.他只展示了这个特殊的存在，[0，1]X = Meas（X，[0，1]）.• Gudder没有使用范畴语言，因此积分作为自由构造的表述（如定理4.12）在[12]中没有出现定理4.12中ω-截模E的最常见的例子使用E=[0， 1]。但正如我们后面将要看到的，我们也可以使用希尔伯特空间或冯·诺依曼代数的等价物因此，使用E-值概率测度<$X→E的一般性不成立.推论4.14由引理3.3的附加函数ω-EMod op 4 Meas诱导的可测空间范畴Meas上的单子X <$→ ω-EMod Meas（X，[0，1]），[0，1]（同构于）Giry单子G（来自[10]）。与给出 我们必须证明，pdφ。252B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）239EH A→EHA2∫∫−2∫∫ ∫∫∫由定理4.12证明，当E= [0， 1]时，我们有：G（X）d=efnω-EA. [0，1]n=ω-EM od.Meas（X，[0，1]），[0，1]Q（积分和吉里单子之间的关系已经在不同的语言中描述过，见例如。 [1]）例4.15定理4.12的一般机制的一个应用是希尔伯特空间H上的谱定理。回想一下H上的有界自伴线性映射A当0≤ <$Ax，x<$0 ≤ 1（对所有x∈H）时称为一个集合。这些射构成一个ω-射模，记为Ef（H）.设A∈Ef（H）是一个不等式. A的谱σA（即所有λ∈C使得A−λ·I不可逆）继承C的拓扑。因为A是一个对象，所以我们得到σA<$[0， 1]。赋予σA以C的Borel可测子集的σ-代数，σA成为可测空间。回想一下，一个ω-集代数同态φ：<$σA→Ef（H）被称为POVM（正算子值测度）。我们感兴趣的是POVMφ：<$σA→Ef（H）使得φ（M）是对所有M∈<$σA的投影.这样的φ称为σA上的谱测度，并且根据定理4.12，它对ω-射模同态（）dφ：Meas（σ，[0， 1]）f（）有唯一的扩张。（注意，当φ是投影值时，积分（）dφ不是：1、我不是一个投影。此外，投影的集合不形成ω-ε模。）谱定理指出在σA上存在唯一的谱测度φ满足以下要求（见[13，§43和§39]）。(i) A= id dφ其中id：σA→[0，1]由id（x）=x给出，x∈σA。这意味着，投影A具有作为投影上的积分的(ii) 对于σ A的任意开子集G，φ（G）= 0，我们有G = φ。事实上，我们可以用下面较弱的形式来代替后一个要求。（II）补充{G|G∈[0，1]o pen且φ（G）=0}在[0，1]中是紧的. 此外，这样的谱测度φ具有以下性质。(iii) （f d φ）·（g d φ）= f·g d φ对于所有f，g∈Meas（σ A，[0，1]），参见[13，§37，Thm. 3]。(iv) 设B是H上的有界线性算子，则B与A可交换当且仅当B与φ（M）∈Ef（H）可交换，对所有的M∈EfσA，结合[13]§41中的定理2和§37中的定理4谱定理是20世纪数学的伟大成就之一。它揭示了效应的行为有点像[0，1]的可测函数;积分（−）dφ提供了从可测函数到效应的转换。B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）2392535展望和今后的工作通过定理4.12，E-概率测度可以推广到积分.但是如何才能得到一个E-概率测度呢？Carath′eodory的我们不知道对于E值同态μ是否也有类似的定理其中E是任意ω-ε-模。我们试图推广现有的证明是由潜在的缺乏一个完整的度量E，这导致我们以下的问题。问题5.1设E是阿基米德ω-截模。E上的度量是否完整？（ 见[17]，方程（10）中关于E上度量的定义。）其他问题仍然存在：例如，我们能否在我们的一般框架中适应Fubini（产品空间集成在Riemann给出的积分形式定义的众多推广中，我们的工作可能在设置和广度上与Bochner [3]和Pettis [21]研究的勒贝格积分的向量值变分最相似。他们的积分取值于Banach空间，而我们的积分取值于ω-ε-模。他们利用了Banach空间上的一致结构，而我们利用了ω-射模的序结构阿尔夫森（对于实值格赋值，见[2]），第二作者（对于从合适的格序阿贝尔群中取值的格赋值，见[24]）和其他人[6，23]也考虑了积分的序理论方法传统上，可数链在测度和积分理论中占据中心地位，而不是域理论中的有向集。要明白为什么，请注意[0， 1]上的勒贝格测度不保留有向集的连接，因为任何（可测）集都是其有限（因此可以忽略）子集的有向集的并集。然而，整合与领域理论之间存在联系。例如，[0，1]模可忽略度上的可测子集形成一个完备格，紧度量空间上连续函数的实值黎曼积分可以与概率幂域相关（见[8]）。引用[1] T. Avery Codensity和Giry Monad。 arXiv：1410.4432，2014年。[2] E.M.阿尔夫森积分的序理论基础。Mathematische Annalen，149（5）：419-461，1963.[3] S.博克纳功能集成，其中包括一个车辆轨道的元素。Fundamenta Mathematicae，20（1）：262[4] F. Cho vanec和F. Kop ka. D-posets。在 K。 Engesser， D ovM. Gabbai和 D. Lehmann，editors，Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures：Quantum Structures，pages 367-428.北荷兰，爱思唯尔，计算机科学出版社，2007年。254B. 雅各布斯湾Westerbaan/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）239[5] R. Cignoli、I蒙迪奇多值推理的代数基础，逻辑趋势第7卷。施普林格，2000年。[6] 日Coquand和B.小喷壶。积分和估值。你 好 逻辑与分析，1（3）：1 -22，20