偏序度量空间中G-保序映射的不动点定理

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，410埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章偏序度量空间中G-保序映射的几个不动点定理王爽盐城师范学院数学科学学院，江苏盐城，224051接收日期：2015年6月13日;接受日期：2015年2015年9月26日在线发布摘要在偏序度量空间中证明了G-保序映射的不动点定理，推广了最近关于混合单调与保序映射的一些结果。此外，还研究了一维不动点定理与多维不动点MSC： 小学47时10分; 54时25分版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍继文[1]之后，关于偏序度量空间中压缩型映射的不动点的存在性问题[22这些文献证明了一些不动点定理，它们通常用于讨论矩阵方程、周期边值问题和非线性积分方程解的存在唯一性联系电话：+8613921872433。电子邮件地址：wangshuang19841119@yahoo.com，wangshuang19841119@163.com同行评审由埃及数学学会负责最近，Roldán等人。[17]引入了任意变量映射之间的重合点的概念，并扩展了文献中出现的几个特殊概念，所谓的耦合，三重，四重和多维固定/重合点，例如，分别见[3]，[8]，[14]，[15]。文[17]的结果也推广了偏序完备度量空间框架下的一些不动点结果。为了保证重合点的存在性，文[17]的作者利用混合单调映射的性质和压缩条件构造了一些Cauchy序列。这个想法被用在很多论文中（见，例如，[16]，[18]，[19]）。要证明一个以上的序列同时是柯西序列，似乎不那么容易。已知保序映射的不动点问题比混合单调映射的不动点问题简单。王[21]得到了保序映射的一些多维不动点定理，并将某些结果推广到混合单调非减映射的耦合、三重、四重和多维不动点/重合点，S1110- 256 X（15）00057- 7埃及数学学会版权所有制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.07.006制作和主办：Elsevier关键词不动点定理;G-保序映射;重合点;偏序度量空间偏序度量空间中G-保序映射的几个不动点定理411∈∈M∈？∈∈⊆ ⊆}={→⊆}R→→？？？≈？？？？？→？∈→→mm≥0mm≥0，mm≥0，. . . ，gx nm≥0偏序完备度量空间她还给出了一个简单和统一的方法耦合，三倍，四倍和多维不动点定理的混合单色调映射。受上述结果的启发，我们得到了G-保序映射的几个新的不动点定理，并研究了G -保序映射的不动点定理。因为我n. 如果g是X上的恒等映射，则（x1，x2，. . .，xn）Xn称为映射F的一个Y-不动点。定义2.4（[19]）。设（X，d，？）是一个有序度量空间。映射F：Xn→X和g：X→X称为O相容的 如果， 为 所有 序列 {x1}m0，{x2}m0，. . . 、12把一维和多维之间的等价性关起来{xn}X 这样，{gx}联系我们M≥m≥- -是单调并且存在以下限制：对于所有i，2. 预赛limF（x σi（1），x σi（2），. . . ，x σi（n））= lim gx i∈X，设nN，X是一个非空集，Xn是X的n个副本的笛卡尔积.为了简洁起见，g（x），（x1，x2，. . . ，xn），m→∞m m我们有mm→∞m12lim d（gF（x σi（1），x σi（2），. . . ，x σi（n）），（y1，y2，. . . ，yn），（z1，z2，. . . ，zn），（v1，v2，. . . ，v n）和（x0，x0，. . . ，m→∞mm mmxn）将分别由gx、X、Y、Z、V和X0表示F（gx σi（1），gx σi（2），. ，gx σi（n）=00设{A，B}是集合Λn的一个划分={1，2，。. .、n}，嗯嗯thatis，A<$B=Λn且A<$B=A，▲A，B={σ：Λn→Λn：σ（A） A和σ（B）B和▲A， Bσ：<$n<$n：σ（A）B和σ（B）A。 设σ1，σ2，. . . ，σn是从Λn到本身如果（X，）是一个偏序空间，y， v X和i ~n，我们使用[17]中的下一个符号：为了所有我。定义2.5（[17]）。设（X，）是偏序空间，F：XnX和g：XX是两个映射。 称F具有混合g-单调性，如果F是g-单调非减变元，且y？iv优惠y？ v，如果i∈ A，y v，如果i∈ B。（一）g-在B中索引的变元中单调非增，即，对于所有的x1，x2，. . . ，xn，y，z ∈ X且每个i ∈ {1，. . . ，n}，如果偏序集（X，）的元素x，y是可比较的（即xy或yx保持不变）我们写xy.乘积空间Xn被赋予以下自然偏序：对于Y，V∈Xn是吗？你是谁？ivi，i∈Λn.（2）映射ρn：Xn× Xn → [0，+∞），由下式给出：gy？ gz <$F（x1，. . . ，xi −1，y，xi+1，. . . ，x n）？iF（x1，. . . ，xi −1，z，xi+1，... . . ，xn）。定义2.6（[20]）。设（Xn，）是一个偏序集，Xn的T和G自映射.称T是G-保序映射，如果对任意Y1，Y2∈XnG（Y 1）？nG（Y2）≠ T（Y1）？nT（Y2）.定义2.7（[20]）。 一个元素Y ∈ Xn称为重合ρn（X， Y）=maxd（ xi， yi），（3）映射T：Xn→Xn和G：Xn→Xn的点，若T（ Y）=1≤i≤nnG（Y）. 此外，如果T（ Y）=G（ Y）=Y，则称Y在X上定义一个度量。我们记为所有连续且严格递增的函数的集合<$：[0，∞）→[0，∞），W是所有函数<$：[0 ， ∞ ） →[0 ， ∞ ） 的 集 合 ， 使 得 对 于 每 个 r>0 ，limt→r<$（t）>0且<$（t）= 0<$<$t= 0。定义2.1（[11]）。三元组（X，d，）称为序度量空间，如果（X，d）是度量空间，（X，）是半序集.定义2.2（[17]）。令g：XX是一个映射。如果（X，d，）是一个有序度量空间，则称X具有序列g-单调性，如果它满足以下性质：(i) 若（xm）m∈N是非减序列且limm→∞x m= x，那么gx m？ gx对所有的m ∈ N。(ii) 如果（ym）m∈N是非增序列且limm→∞ym=y，然后gy mgy对所有m∈ N。如果g是恒等映射，则称X具有序列单调性（见[17]），称（X，d，）是正则的（见[22]）。定义2.3（[16]）。设F：XnX和g：Xx是两个映射.点（x1，x2，. . .，xn）Xn是F和g的Y重合点，如果F（x σi（1），x σi（2），. . . ，x σi（n））= gx i.不动点定理412S. 王=1+tt+saC∞ →=-==-== − ===+ −==1 不是T和G的公共不动点。备注2.8. 注意，如果在定义2.6和2.7中G I Xn，则T是一个保序映射，Y是T的一个不动点（见[21]）。定义2.9.一个函数族f：[0，] 2R称为C类，如果它是连续的，并且满足以下公理：(1)f（s，t）≤s;(2)f（ s， t）=s意味着s=0或t=0;对于所有s，t∈ [0，∞）。示例2.10. 下列函数f：[0，∞）2→ R是C的元素.对于每个s，t∈[0，∞），（1）f（ s， t）ks，0k< 1，f（ s，t）s s0;<(2) f（ s， t） s t， f（ s， t）s t0;(3) f（ s， t）s−t，f（ s， t）s t0;（4）f（s，t）=1+st，f（s，t）=s→s=0ort=0;（5）f（ s， t）=log1+t，a>1，f（ s， t）=s≠s= 0或t= 0;（6）f（ s， t）（ sl）（1）l， l>1，f（ s， t）st0;（7）f（s，t）=s10ga+ta，+a>1，f（s，t）=s10ga=0ort=0.备注2.11. C-类函数是Banach压缩的自然推广，正如上面的例子（1）所示。偏序度量空间中G-保序映射的几个不动点定理413≤∈≈？∈？≤= → ∞∈==3. 主要结果现在，我们陈述并证明我们的主要结果。定理3.1. 设（X，d，？设T：X→X和G：X→X是两个映射，使得（zm （l ）） l∈N和（ zn （ l ））l∈ N（ zm）m∈N0使得n（l）在n（l）>m（l）≥l，d（zm（l），zn（l））><$，和d（zm（l），zn（l）−1）<$的意义下是极小的.利用三角不等式，我们得到<$d（ zm（ l），z n（ l））≤d（ z m（ l），z m（ l）−1）+d（ z m（ l）−1，z n（ l）−1）T是G-保序映射，T（X）<$G（X）且G是连续的，+d（z nl1，znl）与T.设存在h ∈ C，n ∈ n，n（）−（）∈ W使得对所有y，v ∈ X，G（y）？ G（v），n（d（T（y），T（v）≤ h（n（d（G（y），G（v），n（d（G（y），G（v）.(4)假设，(a) T是连续的或;≤d（ zm（ l），zm（ l）−1）+d（ zm（ l）−1，zm（ l））+d（ zm（ l），zn（ l）−1）+d（ zn（ l）−1，z n（ l））≤2 d（zm（l），zm（l）−1）+<$+ d（zn（l）−1，zn（l））。在上述不等式中设l→ ∞，我们得到lim d（z m（l），z n（l））= lim d（z m（l）−1，z n（l）−1）=<$.（六）(b) G（x m）？G（x），对于所有m∈ N，当 （x m）mN是一个非-l→∞l→∞X中的递减序列，使得xm→∈x; G（xm）G（x）由于n（l）>m（l），我们有zm（l）−1？zn（ l）−1，也就是说， G（y m（l）−1）？当（xm）m∈N是X中的非增序列，使得xm→ x时，对所有的m ∈ N.若存在y0X，使得G（y0）T（y0），则T和G有重合点.证据 由于T（X）<$G（X），因此存在y1∈ X使得G（y1）=T（y0）。递归地得到：对任意m∈N0，存在ym+1∈X，使得G（ym+1）=T（ym）.设z0=G（y0）和zm+1=G（ym+1）=T（ym），对任意m∈N0.由于G（y0）≠ T（y0），我们假设G（y0）？ T（y0），也就是z0？ z1（G（y0）T（y0）的情形也作类似处理）。 假设z m−1z m对于某个m N 0，即G（y m−1）G（ ym）。由于T是G-保序映射，我们得到G（y n（l）−1）。从（4）可以得出，<$（d（ zn（ l）， zm（ l）=<$（d（ T（ yn（ l）−1），T（ ym（ l）−1））≤h（n（ d（ G（ yn（l）−1），G（ yn（l）−1），n（d（ G（ yn（l）−1），G（ ym（ l）−1）= h（n（d（zn（l）−1，zm（l）−1）），n（d（zn（l）−1，zm（l）−1）.利用π和π的性质，我们有π（<$）>0和liml→∞π（rl）>0，其中rl d（ zn（ l）−1，zm（ l）−1）。让我在上述不等式中，使用（6），可以得出：<$（<$）h（<$（<$），lim<$（rl））<$（<$），l→∞z m= T（y m−1）？ T（ym）= z m+1。这是个矛盾因此，序列（z度量空间（X，d）中的柯西由于（X，dm）m∈N0是这实际上意味着序列（zm）m∈N非-）是一个完整的减少。如果zm0+1 =zm0 对于一些M0∈N0，0那么ym0是一个硬币度量空间，则存在z X使得limm→∞zm z，也就是说，T和G的重合点。因此，我们可以假设zm+1/=zm对每个m∈N0.由G（y m−1）？G（y m）和（4），我们有limT（ ymm→∞）limG（ ymm→∞）= z。（七）<$（d（ zm+1，zm））=<$（d（ T（ ym）， T（ ym−1）由于G是连续的，我们有≤h（n（ d（ G（ ym）， G（ ym−1），n（d（ G（ ym）， G（ ym−1）≤n（d（z m，z m−1）），m∈ N.（五）limG（ G（ ymm→∞））= G（z）.（八）从（5）中，由于k严格递增，我们得到：d（z m+1，z m）≤d（z m，z m−1），m ∈N.因此，由δ=d（ z）给出的序列（δ），z）是非-414S. 王+=-→∞=-==-≥利用T和G的O相容性，我们得到了limd（ G（ G（ym1）），T（ G（ym）m→∞limd（G（T（y m）），T（G（y m）0.（九）m→∞m m∈N0mm+1M假设T是连续的。从（7）-（9）可以得出，z在下面增加和限制因此，存在某些δ≥0使得limm→∞δmδ。我们将证明δ0。假设δ>0。利用δ和δ的性质，我们有δ（δ）>是T和G的重合点现在假设条件（b）成立。 由于（z非递减序列和zm） m∈N0是δ m（0）0和lim m→∞ δm−1> 0。使用定义2.9，我们知道当h（s，t）s，然后是s0或t0和h（s，t）<当s>0且t>0时，然后，通过让m进入（5），利用h的性质，我们有（δ）≤h（M→z（m→ ∞），则G（G（y m））？G（z）对任意m∈N0.从（4），我们得到n（d（ T（ G（ ym））， T（ z）≤h（n（ d（ G（ G（ ym））， G（ z），n（ d（ G（ G（ ym））， G（ z）≤d（G（ G（ ym））， G（ z））（10）m→∞r→δ这是个矛盾因此，limm→∞δm= 0。证明了（zm）m∈N0是Cauchy序列.事实上，如果它是假的，那么就存在一个<$>0和对于m∈N0.根据（10），由于k是严格递增的，我们有d（T（G（y m）），T（z））≤d（G（G（y m）），G（z）），m ∈ N0.（十一）偏序度量空间中G-保序映射的几个不动点定理415=∈∈∈？∈= → → ∞→ → ∞=-≥∈⊆？？≥∈≈∈∈→ =→？=-==？令m→∞（11），我们得到limT（G（ym））T（z）.（十二）m→∞根据（8）、（9）和（12），我们得到在这种情况下z也是T和G的重合点Q推论3.2。在定理3.1的假设下，如果y X是T与G的重合点，则G（y）也是T与G的重合点。证据 假设G（y）T（y）。然后我们可以选择ymy对于所有的m 0，就像前面的证明一样。我们刚刚证明则G（ym）z作为m，z是T和G的重合点。在这种情况下，G（y m）G（y）G（y）为m， 所以G（y）也是T和G的重合点。这就完成了证据 Q定理3.3. 除了定理3.1的假设之外，假设对于所有重合点y，v映射T的X和存在u X使得G（u）可与G（y）和G（v）相比较。 则T和G有唯一的重合点z，使得G（ z）= z。证据设u1=u，定义序列（G（um））m∈N为：G（um+1）=T（um），其中m∈ N。我们可以假设G（y）？G（u1）（G（y）G（u1）的情形也作类似处理）。由于T是一个G-保序映射，我们有G（y）=T（y）？T（ u1）=G（ u2）.通过归纳法，我们得到G（y）G（um），对每m个N。从（4），我们有的n（d（ G（um+1），G（ y）=n（d（ T（um）， T（ y）≤h（n（ d（ G（um）， G（ y），n（ d（ G（um），G（ y）≤n（d（ G（um）， G（ y）（13）对于m∈N.然后，由于k是严格递增的，我们有d（ G（um+1），G（ y））≤d（ G（um）， G（ y）），m∈N，为了证明唯一性，设zr是映射T和G的另一个重合点.然后由式（17），我们得到zr=G（zr）=G（ z）=z，如所要求的。Q备注3.4. 注意，如果存在u X使得T（u）与T（y）和T（v）可比较，则定理3.3仍然成立。实际上，使用与定理3.3类似的论证，我们只需检查对于m，G（y）G（um）2.我们作为-证明了T（y）T（u1）（T（y）T（u1）的情形作类似处理）.由于y是T和G的重合点，我们有G（y）= T（y）？ T（u1）= G（u2）. 利用T的G-保序性，我们有G（y）= T（y）？ T（u2）= G（u3）.所以G（y）？ G（um），m ≥ 2，通过归纳，如所要求的。定理3.5. 设（X，d，）是完备的序度量空间，T：Xn Xn，Xn，G（g，g，. . .，g）：X nXn是两个映射，使得T是G-保序映射，T（Xn）G（Xn）是连续的，且与T是O相容的.假设存在h∈C，n∈N，n∈W，使得对所有Y，V∈Xn，G（Y）？nG（V），<$（ρn（T（ Y）， T（ V）≤h（<$（ρn（ G（ Y）， G（ V），<$（ρn（ G（ Y）， G（ V）其中ρn由（3）定义。假设，(a) T是连续的或;(b) X具有序列g-单调性。如果存在Y0Xn，使得G（Y0）T（Y0），则T和G有一个重合点. 进一步，设对映射T和G的所有重合点Y，V Xn，存在UX n，使得G（U）可与G（Y）和G（V）相比较。则T和G有唯一的重合点Z，使得G（Z）= Z。证据由于（X，d，？）是完备的序度量空间，（Xn，ρn，？n）。现在我们将证明定理3.1的条件（b）对于（Xn，ρn，？）n）。假设（Z）是X n中的非减序列，使得Z→ Z（mm∈N0im即序列（β）定义为β=d（ G（ u（y））→∞）。所以，Z m？nZm+1，对所有m ∈ N 0且zm → zi（m →m m∈NM m∞）对所有i∈Λ.因此，（zi）是一个非递减序列不增加。因此，存在β≥0，使得当我nimm∈N0limm→∞βmβ。我们证明了β0.相反，假设β>0。利用β和β的性质，我们有β>0，∈A且（zm）m∈N0 是一个非递增序列，i∈ B。如果i∈A，由于X具有序列g-单调性，limβm→βm（βm）> 0.令m→ ∞在（13）中，我们得到然后我们有gzi我们推断，？gz i对所有m∈ N 0.同样，如果i∈B，则我n（β）≤h（n（β），limn（βm））≤h（n（β）， lim（βm））对所有的m∈ N 0.由于G=（g，g，. . .，g），那么G（Z m）？nG（Z），其中m∈N0.另一种情况是m→∞βm→β同样的。这是个矛盾因此，β=0，即，lim d（G（um），G（y））0.（十四）m→∞同样，我们发现，lim d（G（um），G（v））0.（十五）m→∞通过我们的假设，定理3.1和定理3.3的所有条件对于（Xn，ρn，n）成立。 利用定理3.1，T和G有一个重合点。此外，从定理3.3可以得出，T和G具有唯一的coinci。证据点Z∈Xn使得G（ Z）=Z. Q备注3.6. 定理3.5中的度量ρn可以用Xn上的其他度量代替，例如，用下一个度量：1从（14）和（15），我们得到G（y）= G（v）。（十六）M416S. 王=由推论3.2，我们发现z：=G（y）是映射T和G的重合点。使用（16），其中v=z，我们得到z=G（y）= G（z）。（十七）ρn（Y， V）=n<$d（ y1，v1）+d（ y2，v2）+···+d（yn， vn）<$，（18）结果也是真的。作为定理3.5的证明，定理3.5是定理3.1和3.3的推论。还注意，在定理3.5中取n1，我们可以立即得到定理3.1和3.3。因此，定理3.5等价于定理3.1和3.3。偏序度量空间中G-保序映射的几个不动点定理417= −=∈∈∈≈⊆甲乙丙∈n ⊆？∈=i ii∈=i ii→→MMM12n12n0000我我我12n12n∈ ∈ →→取定理3.5中的h（ s， t）s t和g IX，我们得到如下结果.对于所有我，limF（y σi（1），y σi（2），. . . ，y σi（n））= lim gy i∈X。推论3.7（[21]）。 令（X，？）是一个偏序集，m→∞m mmm→∞M设X上存在度量d，使得（X，d）是完备度量空间。设T：Xn→Xn是保序映射，存在n∈n和n∈W，使得对所有Y，V∈Xn，由于F和g是O相容的，我们有limρ（GT Y T G Y是吗？nV，nm→∞（m），（m））=lim max d（gF（y σi（1），y σi（2），. . . ，y σi（n）），<$（ρn（T（ Y）， T（ V）≤<$（ρn（Y， V））−<$（ρn（Y， V）），其中ρn由（18）定义。假设，(a) T是连续的或;(b) （X，d，？）是有规律的。如果存在Y0Xn，使得Y0T（Y0），则T有一个不动点。此外，假设对于T的所有固定点Y，V X n，存在UX n，使得U与Y可比较，诉而T有一个唯一的固定点。推论3.8。 设（X，d，？）是完备的有序度量空间。令σ=（σ1，. . . ，σn）是Λ n的自映射的n元组，对所有i∈Λn，σi∈▲A，B，若i∈A，m→∞1≤i≤nF（gy σi（1），gy σi（2），. ，gy σi（n）= 0。通过我们的假设，我们证明了T（Xn）G（Xn）和G是连续的.现在，我们将推出T是一个G-保序映射. 事实上，假设G（X）？nG（Y），<$X，Y∈Xn.由（2）和（22），我们有gxt？当t∈A时gyt，当t∈B时gxt gyt。为对于每个i∈A，我们有σi∈▲A，B。所以gx σi（t）？gyσi（t），<$t∈A和gxσi（t）gyσi（t），<$t∈B.因此，通过F的混合g-单调性，我们有F（x σi（1），x σi（2），. . . ，x σi（n））？ F（y σi（1），y σi（2），. . . ，y σi（n）），对所有i∈A.类似地，我们有F（x σi（1），x σi（2），. . .，x σi（n））σi▲r if iB.设F：XnX和g：XX是两个映射，使得F在X上具有混合g-单调性，F（X）g（X），g是连续的，且与F O-相容. 假设F（y σi（1），y σi（2），. . . ，y σi（n）），对所有iB.因此，由（2）和（21），我们推出T是G-保序映射.由于σi是对所有i∈Λn的置换，我们有存在<$∈<$和<$ ∈W使得最大d gy gv最大d gy gvG YG Vn（d（F（x，x，. . . ，x），F（y，y，. . . （y））≤（maxd（ gxi， gyi））−（ maxd（ gxi， gyi））（19）（1≤t≤nσi（t），σi（t））=1≤t≤n（t，t）=ρn（（），（））（二十三）1≤i≤n1≤i≤n对于所有i∈Λn.从（19）和（23），我们有对于gx，igyi for alli <$n.设F是连续的或X具有序列g-单调性。如果存在x 1，x 2，. . . ，xn∈ X使得：（ρn（T（ Y）， T（ V）000F（y σ（1），y σ（2），. . . ，y σ（n）），1≤i≤ngx i？iF（x σi（1），x σi（2），. . . ，x σi（n））（20）对于所有i~n，则F和g至少有一个Y-重合点。此外，假设对于所有Y重合点对，（x 1，x 2，. . . ，xn），（y1，y2，. . . ，yn）∈ Xn的F和g存在F（v σ（1），v σ（2），. . . ，v σ（n）max（d（F（y σ（1），y σ（2），. . . ，y σ（n）），1≤i≤nF（v σi（1），v σi（2），. . . ，v σi（n）≤max[（−）（maxd（ gx， gy））]（u，u，. . . ，u）∈ Xn使得（gu，gu，. . . ，gu）是可比的，1≤i≤n1≤j≤nσi（j）σi（j）同时，对于（gx1，gx2，.，gx n）和（gy1，gy2，.，gy n）。则F和g有唯一的Y重合点（z1，z2，. . . ，zn）∈Xn使得gzi=zi，其中i∈ Λn.证据 考虑映射T：X nX n和G：X nX n定义为T（Y）=（F（y σ（1），y σ（2），. . . ，y σ（n）），. . . 、≤<$（ρn（G（ Y）， G（ V）−<$（ρn（G（ Y）， G（ V）（24）对于i ∈ Λn和G（Y）？nG（V）.由（24）可知，n（ρn（T（ Y）， T（ V）≤h（n（ρn（ G（ Y）， G（ V），n（ρn（G（ Y）， G（ V），（25）对于G（Y）？nG（V），其中h（ s， t）=s-t。1 1 1由式（20）可知，G（X0）？nT（X0）.如果F是连续的，F（y σi（1），y σi（2），. . . ，y σi（n）），. . . 、F（y σn（1），y σn（2），. . . ，y σn（n）418S. 王MMMMMM（21）和G（Y）=（gy1，gy2，. ，gy n）（22）对于Y∈Xn.注意T和G关于（Xn，ρn，？n）。事实上，假设{Ym}m≥0 <$Xn，使得{G（Ym）}m≥0是单调的，并且存在以下极限limT（Ym）=limG（Ym）∈Xn.则T是连续的。利用定理3.5，我们证明了T和G有重合点，Z∈Xn是唯一重合点，使得G（ Z）=Z.也就是说，F和g具有Y重合点，并且（z1，z2，. . . ，zn）∈ Xn是F与g的唯一Y重合点，使得gzi =zi，其中i∈Λn. Q备注3.9. 作为应用，我们给出了推论3.8的一个简单证明，它类似于[19]中的定理14和定理20。这些技术在[23m→∞m→∞确认从（21）和（22）中，我们看到，对于序列{y1}m≥0，{y2}m≥0，. . .，{y n}m≥0<$X 使得{gy1}m≥0，{gy2}m≥0，. 、{gyn}m≥0是 单调 和 的 以下 限制 存在：王双是江苏省自然科学基金项目（13KJB110028）的资助者。偏序度量空间中G-保序映射的几个不动点定理419引用[1] A.C.M. Ran，M.C.B.张文，张文，等.半序集上的不动点定理及其在矩阵方程中的应用 . 中国数学会学报，2004， 132（5）：1435-1443.[2] 涅托河Rodríguez-López，压缩映射定理在偏序集和应用于普通微分方程，订单22（3）（2005）223-239。[3] T.G. Bhaskar，V. Lakshmikantham，偏序度量空间中的不动点定理及其应用，Nonlin. Anal. 65（7）（2006）1379-1393。[4] R.P. Agarwal，文学硕士El-Gebeily，D. Anal. 87（2008）1[5] V. Berinde，半序度量空间中混合单调映射的广义耦合不动点定理，Nonlin。Anal. 74（2011）7347-7355。[6] V. Berinde，半序度量空间中φ-压缩混合单调映射的耦合不动点定理，Nonlin。Anal. 75（6）（2012 a）3218[7] 黄文，混合点单调非线性算子的耦合重合点定理，北京大学出版社，2000。64（6）（2012 b）1770-1777。[8] 诉Berinde，M.Borcut，偏序度量空间中压缩型映射的三重不动点定理Anal. 74（2011）4889[9] H. 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