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Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,681埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章一个古诺双寡头模型的动力学分析M. F. 埃利特比a,b,a沙特阿拉伯,Abha 9004,哈立德国王大学,理学院,数学系b埃及曼苏拉大学理学院数学系,曼苏拉35516接收日期:2015年6月8日;修订日期:2016年3月17日;接受日期:2016年3月20日2016年5月4日在线发布摘要本文利用两种不同的机制研究了价格函数为下斜凹函数的同质古诺双寡头垄断市场。有两个边际成本不变的公司,使用适应性的、低理性的机制来调整它们的生产水平,使之趋于均衡。特别地,研究了然而,复杂的动力学出现,特别是当反应系数增加时。最后,我们比较了两个模型的结果。2010年数学学科分类:26A18; 37Nxx; 91Axx版权所有2016,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍少数企业之间的经济竞争可以追溯到古诺[1],他引入了企业之间的不完全竞争模型,现在它已经成为经济市场领域的核心概念。古诺建议将数量作为战略变量,以便企业调整生产水平以获得最佳利润。一种不同的方法是*通讯地址:沙特阿拉伯,阿布哈9004,哈立德国王大学,科学学院,数学系。联系电话:+966 557564715。电子邮件地址:mohfathy@mans.edu.eg,mohfathy@yahoo.com埃及数学学会负责同行评审。制作和主办:Elsevier1883年,Bertrand在[2]中提出,公司可以在价格方面进行竞争自从这两篇重要的论文发表以来,大量的研究都集中在寡头垄断模型上。 对这种经济竞争的早期研究表明,可能会出现分叉和混沌等复杂的动力学行为[3-20]。有限理性和Puu有限理性参与者(公司)根据离散时间段并通过使用边际利润的局部估计来更新其生产策略有了这种局部调整机制,参与者不需要完全了解需求和成本函数[15],因为他们只需要知道市场将如何对微小的生产变化做出反应,以便通过对边际利润的局部估计来调整他们的生产水平另一方面,Puu的[21]最近介绍了所谓的S1110-256X(16)30020-7 Copyright 2016,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.03.005关键词古诺模型;有限理性;均衡解;渐近稳定性;分歧;混乱682M. F. 埃莱特..Σ21a− c2n+1..Σ21a−c.ΣΣ21a−c=..−J =1+k a−c−bQ(2n+2)q1112+(6n+5)qq+q,12.Σ1n+(2 n+2)q.(六)+−=+ −=我+⎣⎦=我我我其中qt是i的量12J( q,q)=1112J22=1+k2a− c− b Q2n−1q2+(6n+ 5)q1q21211+k1(a-c)0J( q1,0),0 1(2n+ 1)k2(a−c)2(n+ 1)4(2n+3)=2 2 2 12.−ΣΣ1122J(0,0)=(1,2,3)=(1,2,3)、更现实地说,公司不需要知道利润函数的局部斜率来选择下一个时间步的产量[4,6]。相反,它所需要的只是它的利润和过去两次生产的近年来,一些文献[7,16]表明,复杂的dy-假设αi(qt)kiqt,其中 ki是正常数。 取代Eq. (3)在Eq.(4)得到了如下二维非线性动力系统qt+1=qt+k1qt(a-c-b( Qt)2n(2(n+ 1)qt+qt)),系统的分岔和混沌等动力学特性1 1 11 2(五)如果考虑一个具有梯度规则特征的市场,那么垄断也可以在一个具有简单需求函数特征的市场中实现,而这个简单需求函数不具有交叉点。Askar[22]研究了古诺双寡头博弈的立方德-qt+1= q t+ k2q t(a − c − b(Q t)2n(q t+2(n +1)q t))。该系统具有以下平衡点mand函数,并考虑了有界有理函数和Puu在本文中,我们扩展了E0= (0, 0),E1=1n+2(n+ 1)b,0分,Askar[22]对更一般的需求函数的研究,也考虑了不同的调节机制。本文的结构安排如下:第二部分,阐述了有限理性模型及其分析E2=.0、一C12(n+ 1)b,并详细讨论。在第3节中,Puu最后给出了结论。E3=1n+、22n( 2n+ 3)b1n+ 、22n( 2n+ 3)b2. 模型的有限理性版本在这项工作中,我们考虑一个更一般的形式向下由a> c保证的正性。提案2.1. 定态E0,E1和E2是系统(5)的不稳定平衡点,而定态E3是系统(5)的局部不稳定平衡点。渐近稳定的充要条件是k1+k24(2n+3)和k1k2<倾斜和凹反需求函数(2 n+1)2(a-c)2.(n+2)( 2n+ 1)(a-c)在[16,22]中提出的P( Qt)=a-b(Qt)2n+1,n∈N,(1)其中P是商品价格,Qt=qt+qt是总的我证据上述命题的证明是基于特征值的标准分析,更多细节参见[23]。系统(5)的雅可比矩阵为:J.J.12J21J22以我为誓,1,2,而参数a,b是正的,定常数。我们注意到函数P(Qt)没有交点.此外,对于三次需求函数和垄断市场,[7,16]表明纳什均衡点通过导致混沌的倍周期分岔失去稳定性。我们假设市场上只有两个具有线性成本函数的12我哪里2n 1 2 212J12= −(2n+ 1)k1b Q2n−1( 2n+ 1)q2+q1q2,J21= −(2 n +1)k2b Q2n−1。q1q2+(2n+1)q2≠,Ci(qt,qt)= cqt, i= 1,2,(2)..其中C>0是边际成本不变每个公司都想最大化利润2 22在平衡点E0处,雅可比矩阵变为1(qt, qt)=(a−c−b( Qt)2n+1)qt,<$2(q t,q t)=(a − c − b(Q t)2n+1)q t。0 1+k(a-c)为了做到这一点,他们使用了梯度机制。利润的正(负)变化将导致数量的变化与前一时期的变化方向相同(相反)。所得到的量调节机制可以由以下动力系统其特征值λ11k1(ac)> 1,λ21k2(a c)> 1。因此,平衡点E0是不稳定的.在平衡点E1处,雅可比矩阵为(qt, qt)我我我 我克雷蒂克1−(2n+1)k(a−c) −(2n+ 1)2k1(a−c)qt+1=qt+α(qt)1 2,i=1, 2,(4)2(n+ 1)类似于[16]中使用的。函数αi(qt)表示调节速度,它是一个正函数,其中特征值λ1=1−( 2n+ 1)k1(a−c) 1且λ2=第一家公司的生产变化程度如下:1+(2n+ 1)k2(a−c)>1,这意味着平衡点E1是利润信号。此外,它还捕捉到了一个事实,即相对效率-2(n+1)E,同样的考虑和论证也成立不稳定持续2财富的变化与边际利润成正比在这里,我们交换索引1,2。商品产量、(三)221⎢⎥一个古诺双寡头模型683≈⎡−−−−==-=-≈我J(q1,q 2)=0,我我4(2n+3)图1在数量a = 4时模型的复杂行为。0,b = 0。6,c = 0。5和(a)n=1,(b)n=2,(c)n=3和(d)n=4。为了研究平衡点E3的稳定性,我们注意到在平衡点E3处对J进行求值,我们得到:稳定性分别为0.74、0.44、0.31、0.24。注意,系统失去稳定性时的k值与n值成反比,这意味着当n1(n+2)( 2n+ 1)k1(a-c)2n+3(n+1)( 2n+ 1)k2(a−c)2n+3(n+1)( 2n+ 1)k1(a−c)2n+31(n+2)( 2n+ 1)k2(a-c)2n+3增大反之,参数b对平衡点有影响,但对平衡Q3. Puu这具有的特性方程λ2−βλ+γ=0,其中2(n+2)( 2n+ 1)(a-c)(k1+k2)2n+3γ=1-在具体的经济背景下,公司可能不知道(n+2)(2 n+1)(a-c)(k1 +k2)+(2 n+1)2(a-c)2(k1 k2).这个方程利润函数来估计下一个生产的数量2n+ 3 2n+ 3具有特征值少比一下的条件2 1+γabs(β)。< 因此 的 条件 的 稳定性平衡点E3变为k1+k24(2n+3),步骤[3,6]。实际上,他们所需要的只是他们在最后两个时间步骤中获得的利润和生产数量。下一阶段的战略可以建立使用所谓的普在k1k2<(2 n+1)2(a-c)2.(n+2)( 2n+ 1)(a-c)完全信息方法,即通过以下描述的经验法则为了研究系统(5)在平衡失去稳定性,一些数值模拟是提出了 设置a = 4。0,b = 0。6,c = 0。5,如图所示。 1阿勒特 −t−1qt+1= qt+ αi(qt)ii, i= 1,2.(七)平衡点E3在周期i中失去稳定性iqt−qt−1我我当k的值为零时,增大如图1(a)-(d)所示,对于n1, 2, 3, 4,这种行为是相同的 图中显示了类似的行为。 2,其中我们设置1。0,b 0。3,c 0。1. 对于n1,2,3,4,如图所示。 2(a)-(d),平衡失去其状态时的反应系数值,最近,Ahmed等人[5]表明,当动力学接近平衡时,基于类似于[2]的方法的系统将不会出现数值不稳定性。而且,在双头垄断的情况下,这种系统表现出严重的不稳定性。同样,αi(qt)表示调整的速度,我们将假设αi(qt)=kiqt,其中ki是正常数。β= −⎤684M. F. 埃莱特25512121212我我我12222222112222200=(,),=+−.图2 在量a = 1时模型的复杂行为。0,b = 0。3,c = 0。1和(a)n=1,(b)n=2,(c)n=3和(d)n=4。在这里,为了简化分析,我们假设两个公司证明。上述命题的证明是建立在标准策略足够接近的基础上的,因此我们可以设置qt = qt,更详细的特征值分析参见[23]。qt−1<$q t−1。 ,从Eqs。(3)和(7),对应的dy-由于q t <$q t和q t−1<$q t−1,则化学系统是qt+1=qt+ki qt( a−c−22n+1b系统(9)变成J( q, q)((qt)n+1+(qt−1)n+1)((qt)n+1−(qt−1)n+1)我我我我我1+k[a−c−(32)(36q5)]0×qt−qt−1i),i= 1,2.11⎦(八)0 1+k[a-c-(32)( 36q5)]2Askar[7]研究了n=1时的系统在这里,我们将研究在点e0处,雅可比矩阵变为该系统对于n=2,得到qt+1=qt+k1qt( a−c−25b(( qt)3+(qt−1)3)((qt)2J(0,0)=(1,2,3)=(1,2,3)1+k1(a−c)01 1 11111 1 10 1+k(a-c)qt+1=qt+k2qt( a−c−25b(( qt)3+(qt−1)3)((qt)2其特征值为λ=1+k(a-c)> 1,λ=+q tq t−1+(q t−1)2))。(九)该系统具有以下平衡点1k( a c)> 1。因此,稳态e是不稳定的。为了研究定态e1的稳定性,我们注意到,在其中评估J,我们得到e0级 0e.. a −c1192B. a − c1192B1=一个古诺双寡头模型685J( q,q)=−1个( −)21000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000123.1号提案定态e0是系统(9)的不稳定平衡点,而定态e1是局部渐近的。0 1− 5k2(a−c)其中特征值λ1= 1 − 5 k1(a-c),λ2= 1 − 5 k2(a-c)。cally稳定,如果k1,k25<(a-c)。因此,稳定性条件变为k1,k2<2。5(a-c)、.、686M. F. 埃莱特==-+−(2n 1)(ac)图3模型在n = 2和量(a)a = 4时的复杂行为。0,b = 0。6,c = 0。5,(b)a = 1. 0,b= 0。3,c = 0。1( c)a= 1. 5,b = 0。33,c = 0。1,且(d)a = 0。5,b = 0。3,c = 0。1.系统(9)的动力学行为如图3所示。很容易看出,这些量从稳定性通过一系列倍周期分岔进入混沌。注意,在图3(a)中,其中系统参数值为4。0,b 0。6,c0. 5,如图3(b),平衡点失去其稳定性在相同的值k<2。这意味着有限理性和Puu的不完全信息两种方法这种行为在图中重复3(b)a= 1. 0,b = 0。3,c = 0。1,(c)a = 1. 5,b = 0。33,c= 0。1和(d) a= 0。5,b= 0。3,c= 0。1. Q4. 结论本文介绍了两种不同类型的重复对策,它们分别基于梯度调整机制和Puu的不完全信息方法。使用了一个没有插入点的需求函数。通过使用理性过程,企业不需要解决任何优化问题,而是根据边际利润的估计来调整生产。使用Puu我们得到了每一个的平衡点情况下,得到了相应的利润最大化量的局部稳定性条件.当反应系数增大时,反应动力学变得复杂我们比较了两种方法下两种模型的性质。本文推广了考虑类似过程的其他作者的结果。致谢作者对审稿人的认真阅读和提出的有益意见表示感谢。引用[1] A.古诺,研究sur les原则数学德香格里拉理论的财富,阿歇特,巴黎,1838年。[2] J. Bertrand , Review of theorie mathematique de la richessesociale and recherchessur les principles mathematique de latheorie des richesse,J. Savants 67(1883)499[3] E. Ahmed , M.F. Elettreby , A.S. Hegazi , On Puu's incompleteinformationformulationforthestandardmulti-teamBertrandgame,ChaosSolitonsFractals30(2006)1180-1184.[4] E. 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