斜广义幂级数的zip环和弱zip环（埃及数学学会）

P¼P¼i222半]2Journal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，157埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于斜广义幂级数的zip环和弱zip环R.M.塞勒姆1Department of Mathematics，Faculty of Science，Al-Azhar University，Nasr City 11884，Cairo，Egypt2011年8月22日收到; 2012年2012年12月6日在线发布本文证明了在一定条件下，斜广义幂级数R[[S，w]]是右zip（弱zip）环当且仅当R是右zip（弱zip）环。2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍则R[x]是一个zip环。开创性的论文[12]引入了Armendariz环的概念：环R称为Armenda-在本文中，R表示一个结合环，Riz如果只要多项式fn1/4a xi和gmj¼0bj xj奶子回想一下Faith[3]中的结论：R是右zip环，如果子集XcR的右零化子rR（X）为零，则对X的有限子集X0，rR（X0）=0，等价地对R的左理想L，如果rR（L）=0，则存在有限生成的左理想L1cL使得rR（L1）=0.虽然拉链环的概念是由Zeldowitz[17]提出的，但当时并没有这样称呼然而，他表明，任何环满足下降链条件的权利零化子是一个右拉链环，但反过来是不正确的。zip环的扩张已经被许多作者研究过在[1] 比奇和布莱尔证明了，如果R是一个交换的拉链环，1现住址：北京市朝阳区科学技术大学基础科学系，加拿大国际学院，新开罗，埃及。电子邮件地址：refaat_salem@cic-cairo.com，rsalem_02@hotmail。网同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：ElsevierR x 满 足 fg=0 ， 则 对 于 每 个 0 6i6n ， a i b j = 0 ，06j6m。Hong等[7，定理1]证明了若R是Armendariz环，则R是右zip环当且仅当R[x]是右zip环。Rege 和 Chhawchharia 在 [12] 中 激 励 其 他 研 究 人 员 将Armendariz条件适用于不同的扩展。Cortes在[2]中定义并推 广 了 斜 多 项 式 环 （ R[x ， r] ） 、 斜 Laurant 多 项 式 环（R[x，x-1，r]）、斜幂级数环（R[[x，r]]）和斜Laurant幂级数环（R[[x，x-1，r]]）的条件。这些扩张与满足相应Armendariz 条 件 的 基 环 共 享 右 zip 性 质 。 钟 逵 [18] 将Armendariz环的概念推广到广义幂级数环K=[[RS，6]]，其中（S，6）是交换的严格序幺半群：当f，g [[RS，6]]使得fg=0时，则对所有s，f（s）g（t）=0补充（f）和t supp（g）.在Marks et al.[10]统一了Armendariz环的所有版本，并将其称为（S，w）-Armendariz环如下。 对环R，（S，6）是严序幺半群，w：Sfi（End R，+）是幺半群同态，当f，g在斜环上时，fg = 01110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.10.003关键词严格序幺半群; Artin窄子集;广义幂级数环;拉链环;弱拉链环;镍环158R.M. 塞勒姆222222 22222X2 22222 2[2]2222联系我们u;v因此，g2rKf和它广义幂级数环R [[S，w]]，则f（s）ws（g（t））= 0，对所有的ssupp（f）和tsupp（g）.受 此 启 发 ， 欧 阳 在 [8] 中 引 入 了 右 弱 zip环 的 概 念（即， 环，如果R的子集X的右弱零化子为NrR（X）cnil（ R） ， 则 存 在 有 限 子 集 X0cX， 使 得 NrR （ X0 ）c nil（R）），其中nil（R）是R的所有幂零元的集合，NrR（X）={a罗沙nil（R）foreachxX}。笔者在[8] 研究了基环R与Ore扩张R[x，r，d]之间右（左）弱zip性质的转移，其中r是自同态，d是r-导子.一个环R称为r-相容的，如果对每个x，y2R，xy= 0（）xry=0.在这种情况下，很明显r是一个单态。环R称为NI，如果nil（R）形成理想，即，如果所有幂零元素的集合形成理想。Ribenboim广泛地研究了广义幂级数环（见[13，14] ） 。 在 [11] 中 ， Mazurek 和 Ziembowski 推 广 了Ribenboim构造，并引入了广义幂级数环的一个扭曲形式如下。设（S，+，6）是一个严格序幺半群，R是一个环，w：SfiEnd（R）是一个幺半群同态，且设w s=w（s）表示s S在w下的象，对任意s S.考虑所有映射f：SfR的集合K，使得supp（f） ={sS∈f（s）n0}是S的Artin和窄子集，即，supp（f）的每一个严格递减的元素序列是有限的，supp（f）的每一个成对顺序不可比元素的子集是有限的，具有称为卷积的逐点加法和乘积运算，定义为：设R是一个环，（S，6）是一个严格序幺半群，w：SfiEnd（R）是一个幺半群同态. R称为S-相容的，如果ws对每个s2S都相容.事实上，ws是一个单态对于每个s2S（见[4]）。引 理 2.1. 设 R 是 一 个 环 ， S 是 一 个 严 序 幺 半 群 ， 令K=R[[S，w]].如果R是S相容的，UCR，然后rKUrR U;w]]lK证据1. 设f2r K（U）.则0=c u f对于每个u2U。 因此，对于每个s2 supp（f），0=（c u f）（s）= uw0（f（s））=uf（s）。因此，f（s）rR（u）对于每个s supp（f）。因此，f r R（U）[[S，w]]，并且由此得出r K（U）c r R（U）[[S，w]]。反之，设f2rR（U）[[S，w]].则0=Uf（s）对于每个s2supp（f）。因此，对于每个u2U，0=uf（s）= uw0（f（s））=（c u f）（s）。 因此，fr K（u）和它如下的rR（U）[[S，w]] c r K（U）.因此，rK（U）=rR（U）[[S，w]]。 H使用引理2.1，我们有映射f：r R（2 R）fr K（2 K），定义为：对于每个I r R（2 R），f（I）= I [[ S，w ]];以及映射w：l R（2 R）fl k（2 K），定义为：对于每个J l R（2 R），w（J）= J [[S，w]]，在R上没有任何条件，其中rR （ 2R ） ={rR （ U ） <$UcR} （ lR （ 2R ） ={lR （ U ）<$UcR}）。 显然/（w）是单射的。 在下面的引理中，我们证明了f（w）是一个双射映射当且仅当R是一个（S，w）-Armendariz环。联系我们u;vfuwugv对于每个f;g2K引理2.2. 设R是环，S是严格序环，其中Xs（f，g）={（u，v）S·Su+v=s，f（u），andg（v）n0}是有限的。因此，K=R[[S，w]]成为一个称为斜广义幂级数的环，其系数在R中，指数在S中，而K=R[[S，w]]。如果R是S兼容的，则以下是等价的：(1) R是（S，w）-Armendariz环.(2) f：r（2R） fir（2K）定义 为f（I）=I[[S，w]]有关K=R[[S，w]]结构的更多详细信息，请参见[11]。RRKK设p（f）表示supp（f）的所有极小元的集合如果（S，6）是全序的，则p（f）只包含一个元素，这个元素仍然记为p（f）。设T=C（f）为f的内容，即，C（f） ={f（s）≠ssup（f）}。 自从R.我们可以确定，f的含量，cf对于任何非空子集XcR，令X[[S，w]]={fKf（s） X{0}foreachssupp（f）}。本文的目的是继续研究基环R与广义幂级数环[[RS ， 6]]（见[5，15]）之间某些代数性质的转移，并将Cortes[2]，Oynang[8]和Salem[16]的结果推广到zip环和弱zip环上的斜广义幂级数.2. zip环Hirano[6]、Cortes[2]和Ouyang[8]研究了be-（w：l K（2）fill K（2）定义为w（J）=J[[S，w]]）是一个双射映射。证据2. （1）第 2项设YcK和T=[f2YC（f）=[f2Y{f（s）<$s2supp（f）}根据引理2.1，到显示的r K（f）=r R C（f）[[S，w]]对于每个f Y.因此，设g r K（f），则fg=0。若R是（S，w）-Armendariz环且S-相容，则0=f（u）w u（g（v））=f（u）g（v）为每个u2supp（f）和v2supp（g）。因 此 ， 对 于 固 定 的 u 2 supp （ f ） 和 每 个 v 2 supp（g），0 = f（u）g（v），并且可以得出gr Rf（u）[[S，w]]。因此，g r R C（f）[[S，w]]，因此r K（f）c rR C（f）[[S，w]]。反之，设g2r R C（f）[[S，w]]，则对于每个u 2 supp（f）和v 2 supp（g），f（u）g（v）= 0。 由于R是S相容的，则对于每个u2supp（f）和v2supp（g），0 = f（u）wPu（g（v））. 那么，R的右零化子与R[x]和R[x，r，d]的右零化子之间的关系。在[10] 中，Marks等人用单侧零化子给出了（S，w）-Armendariz环的一个特征定理，为了使本文的注记完整，我们给出了[10，定理3.4]的一个版本。关于斜广义幂级数的zip环和弱zip环159则r R C（f）[[S，w]] c r K（f）。因此，我们认为，r K（Y）=\f2Yr K f =\f2Yr R C（f）[[S，w]]= r R（T）[[S，w]].（2） 1160R.M. 塞勒姆2200u002u00K-I型导弹0K设f，g2K使得fg=0，则利用引理2.1g2rK（f）= T[[S， w]]对 R的某 个右 理想T.因此 ， 对于每 个v2supp（g），g（v）2T。所以0=fc g （v ）。因此，对于每个usupp（f），0=（fc g（v））（u）= f（u）w u（g（v）。因此R是（S，w）-Armendariz环. H现在，我们准备证明本节的主要结果定理2.3. 设R是（S，w）Armendariz环，S是严格序幺半群，K=R[[S，w]].若R是S相容的，则R是右（左）拉链环当且仅当K是右（左）拉链环。证据 3. 假设K是右zip， 且XcR满足 r R （X）= 0。 设Y={cx<$x2X}，则根据引理2.1，rK（Y）=0。 因为K是右zip，r Kc x1;. . ;c xn= 1/20，对于某个x1，. . ，xn2X.现在引理2.1表明，r R（x1，. . ，xn）=0。因此，R是没错。相反，假设R是右zip，YcK满足rK（Y）=0。设T=C（Y）为Y的容度，则由[10，定理3.4]证明rR（T）=0. 由于R是右zip，因此r R（t1，. . ，tn）= 0，对于某个t1，. . ，t n2 T. 对于任何i 2 {1，. . ，n}存在fi2Y ， 其 中 ti2 fi （ s ） .设 置 Y0={f1 ， . . ， f n} 。 自{t1，. . ，tn} c C（Y0），rR（C（Y0））= 0，从而rK=0。所以K是对的。H3. 弱zip环上的斜广义幂级数下面的结果介绍了S-相容环的一些性质.引 理 3.1. 设 R 是 一 个 环 ， S 是 一 个 严 序 幺 半 群 ， 令K=R[[S，w]].如果R是S相容的，那么我们有：(i) 如果ab = 0，则ws（a）b = 0且awt（ws（b））=awt+s(b)=0对于每个s，t2 S。ii）如果对于某个s 2 S，w s（a）b = 0，则ab = 0。证明4证据5. 因为R是S相容的，那么对于每个s2S aw s（b）=0。因此，根据引理3.1 aw2 s（b）=0，可以得出0=aw s（b）+aw2 s（b）+···+aw ks-1（b）。H引 理 3.3. 设 R 是 一 个 环 ， S 是 一 个 严 序 幺 半 群 ， 令K=R[[S，w]].若R是S相容的，且aws（b）是幂零的，则ab是幂零的。证据6. 因为，aws（b）是幂零的，那么存在一个整数K等的（aws（b））k=aws（b）aws（b）···aws（b）=0（k次）。因为R是S兼容的，那么0<$awsbawsb··awsbab<$awsbawsb··awsbabaws继续这个过程，我们可以推导出0=（ab）k，并证明了引理。H引理3.4. 设R是NI环，S是严序幺半群，K =R[[S，w]].如果R是S相容的，则ab 2nil（R）蕴涵aw s（b）2 nil（R）。证 据 7. 因 为 ab是 幂 零 的 ， 所 以 存 在 一 个 整 数 k使 得（ab）k=0。我们多次使用R的S兼容性。因此0<$abk<$abab· ··ababk-times<$awsbab· · ·ababawsaws继续这个过程，可以很容易地证明0=（aws b）k，并证明引理。H3.5号提案设R是NI环，S是严格全序幺半群.如果R是S相容的，f K=R[[S，w]]是幂零的，则f（u）对每个u2supp（f）.证据8. 设f 2 K是幂零元，则存在k 2 N使得f k= 0，即supp（fk）=f。由于S是一个全序幺半群，令p（f）=u0.(i) 假设ab=0，那么对于每个s2S，0=ws（ab）=ws（a）ws（b）。由于R是S兼容的，那么因此，0 <$f kku<$fuwfuwfu···wfuw s（a）b = aw s（b）= 0. 同样，由于R是S-相容的，则对于每个t 2 S，0 = aw t（w s（b））=aw t+ s（b）。(ii) 假设ws（a）b=0。由于R是S相容的，实际上它是一个单态映射，那么0=ws（a）b=w-s（a）ws（b）=ws（ab）。因此，ab=0。HK第1页;. ;tk2Xku0-fu0;u0;. . . ;u0gft1wt1ft2· · ·wt1···tk-1ftk。由于p（f）= u0，则对于某个i2 {1，. ，k}，ti>u0。因此，我们认为，ku0=u0+···+u0t1+···+ti+···+tk=u0+·· ·+0是矛盾的。因此，对于每个i 2 {1，. ，k}。因此，0<$fkk u0<$$> fu0<$wufu0<$· · ·wk-1<$ufu0 <$。让fws <$wsw2s···wks-1表示00的映射自同态的和，其中k是正整数。我们可以推断出以下几点。引理3.2. 设R是一个环，S是一个严序幺半群，令K =R[[S，w]]. 如果R是S相容的，则ab= 0 意味 的 0 ¼af b由于R是S-相容的，那么通过自由地使用引理3.3，0=（f（u0））k，f（u0）是R的幂零元.现在考虑一下，ff0f00，其中，suppf-f00g和suppf00gsupposedtogiveup.wsawks-1fu0u00关于斜广义幂级数的zip环和弱zip环161-2220000G0000 000KK00000000u002u00K-I型导弹000KKKM福穆MnGnnGGG福谷LKk0因此，0<$fk<$f0 <$f0<$k<$f0<$f 0 <$f0 <$f0 <$f0< $ · ·<$f0<$f0<$In 事实 0-f和 它 如下 的fk Ifu2suppf0g，然后通过*<$fkDf0k，其中sup pf0ksup pf0···sup pf0u ≤-supf0<$。则由i）可知f0≤f0K01/4fk0k0u1/4fuk0. 继续这一进程f/f如果0，llklk0i ill对于每个lk;fk<$f-f0k是K的幂零元，其中f0l：S！R的定义为f0lumcfumeumumfum对每个u，m2supp（f），m6l和fl都是幂零的元件的K.让pflpf-f0lpf-cfuleuluh;ul卡suppf且C所有序数的集合ka。<我们证明，对于每个k2c，因此，对于l，m2c，lm，那么ulum，我们有{uk}使得k2C<$=<$C<$><$S <$，这是一个矛盾。存在f0k2K，使得*满足。事实上，让k2C和作为，我们已经找到了元素f0l2K的每l v2 ， 并 由 此 得 出v1>v2>···>vn。<现在，从上面关于vi和ui的排序可以得出：2009年12月21日星期一上午10时30分因此gv1wv1fu1gfw-gv2wv2fu2-· · ·-gvnwvnfun2nilR对iP2，则u1+vivi+ui，然后通过归纳假设，我们有g（vi）f（u1）和f（u1）g（vi）是幂零元，然后从左边乘以f（u1），则<的每个x2X.因此，对于每个u2supp（f），并使用命题3.5，（cx f）（u）=xw0f（u）=xf（u）2nil（R）.因此，我们认为，为每个 x2X，f2NrR（X）[[S，w]]，我们可以推出NrK（X）cNrR（X）K.因此，NrK（X）=NrR（X）[[S，w]]hfu1gv1wv1fu1gv2wv2fu2w-fugvwfu引理 3.8 用品 美国 与 的 以下 地图/：NrR（2R）FinNrK（2K），由下式给出：/（I）=I[[S，w]]且w：Nrl（2R）finNlK（2K），由w（J）=J[[S，w]]给出。很明显，f和w都是内射映射。在下一个定理中，我们将证明这些映射是双射的。定理3.9. 设R是NI环，S是严格全序幺半群，K=R[[S，w]].如果R是S相容的，则/：NrR2R！NrK2K定义为/II ½½S;w]]由于R是NI，则nil（R）是理想，并且通过归纳fu1gv1wv1fu是幂零元，因为R是S-相容的，所以f（u1）g（v1）f（u1）是幂零的。 因此，f（u1）g（v1）和g（v1）f（u1）是幂零的。因此，乘** 由f（u2）·· ·f（un）从左分别产生f（ui）g（vi）和g（vi）f（ui）是幂零为每个ui2supp（f）和vi2supp（g）。因此，委员会认为，f2NrR（C（g））[[S，w]]为每个g V，并且它遵循f NrR（C（V））[[S，w]]。 因此，我们认为，NrK（V）cNrR（C（V））[[S，w]]和f是满射映射. H定理3.10. 设R是右Noether NI环，S是严格全序幺半群，K = R[[S，w]]. 如果R是RKS-相容，则R是右（左）弱zip环当且仅当第112章 ！NlK2定义为wJJ½S;w]]是双射的证据12. 证明f（w）是满射映射就足够了。设VcK和f2NrK（V）.则gf2nil（K）对于每个g2V。使用命题3.5（gf）（w）2nil（R）对于每个w2supp（gf）csupp（g）+supp（f）。由于S是全序幺半群，设p（g）=v0，p（f）=u0.然后如果K是右（左）弱zip环。证据13. 设K是右弱zip环，Xc R使得NrR（X）cni l（R）.设Y={cx2Kx2X}且0 nf2Nr K（Y）.则cxf2nil（K）对于每个cx2Y 和x2X。使用命题3.5（c x f）（u）= xw0（f（u0））=xf（u）2 nil（R）对于每个u2supp（f）.因此，f（u）2NrR（X）cnil（R）对于每个u2supp（f）。然后使用命题3.6f2nil（K）。因此，NrK（Y）cnil（K）。由于K是右弱zip环，则存在gfvi;uigviwvifui有 限 子 集 Y0cY 使 得 NrK Y0cnil （ K ） ， 其 中Y0<$fcxiji<$1;。 . . ;ng和X0={xi∈i=1，. . ，n}。 设f2NrK（Y0），则cxif2nilK，对于每个cxi2Y0，并使用引理3.5，由于p（g）=v0且p（f）=u0，则对于某个i，vi>v0且u i> u0。因此，v0+ u0> v i+ u0= v0+ u0，由此得出，对于每1. ;un2Xnf;. ;fn-1关于斜广义幂级数的zip环和弱zip环163个i，v0= v i，u0= u i。因此，得出对于每个u2supp（f），和xi2X0cX那 么 ，T<$4 [f2NrKYfff uju2supp fgnilR且R是右弱zip环.164R.M. 塞勒姆不0R1相反，假设R是右弱zip环，YcK使得NrK（Y）cnil（K）。设T=C（Y）是Y的容度，有一个2NrR（T），则f（u）对每个u2supp（f）都有一个2nil R由于R是NI环，则f（u）wu（a）=（fca）（u）2nil（R）对于每个u2supp（f）。然后使用命题3.6fca2nil（K）。因此ca2NrK（Y）cnil（K）。因此，使用引理3.5a2nil（R）。因此，NrR（T）cnil（R）。由于R是右弱zip环，存在 有限子集 T0c T使得Nr R（T0）c nil（R）. 因此，对于每个t2 T0，存在ft2Y使得t2{ft（u）<$u2supp（ft）}。 设Y0是Y的一个极小子集，它包含每个ft，使得t2T0，且Y0是有限子集. 设T1 1/4[f2Yftuju2[3] C.信仰，零化子理想，相关素数和Kasch- McCoy交换环，Commun。《代数》19（7）（1991）1867-1892。[4] E. 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