基于张量秩和总变差最小化的视觉数据同时完成和去噪及其原对偶分裂算法

1基于张量秩和总变差最小化的视觉数据同时完成和去噪及其原对偶分裂算法名古屋工业日本名古屋市昭和区五木所，邮编：466-8555{t.yokota，hontani}@ nitech.ac.jp摘要张量完备化因其良好的性能和通用性而受到人们的关注。然而，有噪声的情况下，直接解决的优化问题，包括一个在本文中，我们提出了一个新的张量完成和去噪模型，包括张量全变分和张量核范数最小化与一个范围的值和噪声不等式。此外，我们开发了基于原始-对偶分裂方法的求解算法，与基于张量分解的非凸优化相比，该算法计算效率更高。最后，大量的实验证明了所提出的方法的优势，如彩色图像，电影，和三维体积数据的视觉数据检索。1. 介绍补全是一种使用参考（可用）元素的值和数据的结构假设（先验）来填充不完整数据的缺失元素的技术。当引用元素和缺失元素是独立的，例如，白噪音，不可能完成。然而，大多数真实世界的数据都有一些冗余的属性，可以用于完成，如对称性，重复性和稀疏性。例如，自然图像的频域通常相当稀疏，并且该属性导致JPEG编码器中的有效压缩比[31]。此外，使用多光谱成像或麦克风阵列获得的数据通常可以由几个模式的线性组合表示，这允许有效的数据分析，例如低秩矩阵/张量分解[25，12]。为了获得良好的性能，必须在完成时使用结构假设，而关于数据结构的假设影响完成的结果。近年来，低秩先验在矩阵和张量完成问题[6，23]和信号中获得了重要性。最终分离[21，4]。基于低秩完成的一个很有前景的应用是推荐系统，它根据购买历史自动推荐合适的产品给客户。由于这种类型的数据中没有噪声，因此可以应用标准的无噪声矩阵和张量完成框架[3，7，24，18，8，23，20]。在这种情况下，核范数最小化被认为是标准方法，因为严格秩最小化是NP难的[11]，并且核范数将NP难问题放松为凸优化问题[26]。可视化数据检索是基于低秩完成的另一个应用。然而，在噪声场景中，它通常需要mathematics和张量完成框架[17，5，15]，并且仅使用低秩先验可能不够。在这项研究中，我们解决了具有挑战性的问题，同时矩阵和张量完成和去噪。在[5]中讨论了噪声场景中基于低秩的矩阵完备化，其在噪声不等式约束然而，该算法涉及多次求解凸优化问题以调整超参数。存在以下两个关键问题：（1）仅使用一次凸优化来求解包括噪声不等式约束的优化问题。(2)在嘈杂的场景中开发一个强大的矩阵/张量完成模型。为了解决问题（1），在这项研究中，我们提出了一个原始-对偶分裂（PDS）算法[9]，用于由可逼近函数和约束组成的问题。为此目的，我们推导出的邻近映射的噪声不平等的约束，这是不是平凡的，可以得到使用解析计算。此外，为了提高对噪声的鲁棒性（问题（2）），我们在考虑张量核范数最小化的同时引入张量的全变差（TV）正则化。所提出的灵活模型可以包括低秩精确/不精确矩阵/张量补集，具有/不具有TV正则化。在实践中，有几种类型的视觉数据，如面向低等级，面向低TV，和中间。由于所提出的模型可以调整低秩和低TV先验的权重，37323733∞Σi=1FN| |XF我−||−||X2F可以灵活地检索数据类型本文其余部分的组织结构如下：在第2节中，以前的研究矩阵和张量完成方法进行了审查。在第3节和第4节中，我们提出了一个新的基于低秩和106104102100100 101 102 103 104 105µ161412108610 20 30 40 50 60 70µ16141210862468 10 12 14 16 18δTV，以及使用PDS方法的优化算法。在第5节中，我们使用彩色图像、电影和3D体积图像证明了所提出的方法相对于选定的最先进方法的优势。最后，我们在第6节中陈述了结论。1.1. 符号本文中使用的符号遵循几个规则。向量、矩阵和张量用粗体小写字母表示，a∈RI，用粗体小写字母表示，B∈RI×J，和一个黑体字C∈RJ1×J2×···×JN，respectively-活泼地 一个N阶张量，X∈RI1×I2×···×IN，可以被转换成一个向量和N矩阵为Qrms，图1. µ与δ（左）、µ与信号失真比（SDR）（中）和δ与SDR（右）的关系示例（0， ）。在此基础上，我们认为问题（1）比问题（2）更适合于超参数选择。2.1. 矩阵完井模型首先，我们考虑一个矩阵完备化问题，这是（1）中N= 2的情况。当δ= 0时，问题（1）被称为在[5]中，讨论了代价函数由核范数给出的情况，其中核范数用相同的特征标表示，x∈RNn=1 我和矩阵Z的范数 ∈RI×J定义为：||Z||：=X（n）∈RIn×对于n ∈ {1，2，.，N}。min（I，J）σi（Z）， σi（Z）是第i个最大奇异An（i1，i2，.，iN）-元素表示为xi1，i2，.，iN或[X]i1，i2，.，iN. 运算符A表示阿达玛乘积，Z的值。为了用核范数解决问题（1）提出了一种算法，该算法需要求解uct，定义为[X<$Z]i1，i2，.，IN =xi1，i2，.，i Nzi1，i2，.，i N.µ∗22. 矩阵和张量完备化的前期工作回顾我们考虑一般的矩阵/张量完备化问题如下：Xµ=argmin ||X||2+ 2||P（X−T）||女，（3）多次以确定适当的µ值>0，使得P（XµT）2=δ。由于求解Prob-lem（3）[24]需要奇异值分解的迭代计算，因此该算法在计算上是昂贵的。最小化f（X），s.t. ||2||2≤δ，（1）我们把这种算法称为低秩矩阵完备化噪声（LRMCn）。其中T和X∈RI1×I2×···×IN是输入和输出N阶张量，关于iv，代价函数f（·）：RI1×I2×···×IN→R，用于评价结构的稳定性。有几项关于图像去模糊、去噪和插值应用的研究[27，30，13]，其中成本函数由TV给出矩阵标准电视申申，P（Z）：=Q<$Z，其中QI×I×···×IZ∈RI×J定义为：n∈{0，1}1 2N是一个索引张量，表示缺失的和可用的el-T的元素分别为0和1 支持集，定义为：i ={（i1，i2，.，iN）|qi1，i2，...，IN = 1}。的||电视：=||TV:=Σ。i、j（1zi，j）2+（2zi，j）2，（4）δ的值取决于观测到的ε的噪声水平，其中定义了一个n阶模偏微分算子T中的项，以及缺失率ρ：= 1Q|Ω|.n由nzi1，i2，.，IN ：=zi1，.，（in+1），.，IN −zi1，.，在，...，iN.n=1作为一个不平等的约束是相对困难的广告-服装，其拉格朗日式优化问题是常用的，由最小化f（X）+ µ||P（X-T）||二、（二）其中μ是先验项和误差项之间的权衡参数。问题（1）和（2）由δ和μ联系起来。图1显示了张量补中δ和μ在超参数选择中，如果噪声方差σ2已知，δ可以从[0，σ2]或[5]中考虑的较窄范围中选择;相比之下，μ通常选自δSDRSDRX3734≥讨论了核范数和TV的问题（2在[28]中，其中提出交替地使用奇异值阈值和使用梯度下降的TV来然而，使用标准的基于梯度的优化是不合适的，因为核范数和TV不是可微函数。另一种称为“邻近分裂”的有效优化方法我们讨论使用这种方法在本文中的问题（1）。2.2. 张量完备化模型当N3在（1）中时，由于张量的特殊性质，它不是马氏完备化 为3735||||∈≥∀−∞∞≥∇例如，张量中有两种类型的秩，即，典型多进（CP）秩和Tucker秩[19]。由于CP秩有几个困难的性质，基于低Tucker秩的完备化得到了比较好的研究。在[22，23]中，讨论了精确张量完备化的情况，即δ= 0的问题（1），其中代价函数由张量核范数给出，其中张量核范数fLR（X）定义为：ΣN而不是GTV，我们考虑这种电视在本文中。3. 该模型在本节中，我们提出了一个新的模型，使用张量核范数进行张量补和去噪，电视同时所提出的优化问题由下式给出：最小化αfTV（X）+βfLR（X），XfLR（X）：=n=1λn||X（n）||（5）S.T. vmin ≤X ≤v max2、（9）其中λn≥0（λn）表示单个张量模，且X（n）∈RIn×k/=nIk 是||F≤ δ，||F≤ δ,其中0≤α≤1和β：= 1−α是权重参数。张量X的n阶模态展开矩阵。交替方向乘子法（ADMM）[2]。此外，在[10]中讨论了它的噪声情况，用张量核范数将其表述为问题（2）。我们将这种方法称为低n秩张量完备化（LNRTC）。在TV和核范数项之间，并且（9）中的第一个约束将输出张量的所有值都包含在范围[vmin，vmax]中。第一和第二约束是凸的，并且指示函数由下式给出：.在[14]中，讨论了问题（2）的一种情况，其中代价函数由广义TV（GTV）给出，iD（X）：=.0v最小值≤X ≤v最大值∞否则、（10）其中GTV由广义矩阵的和定义，i（X）：=δ0||P（T-X）||2 ≤δ张量的各个模式展开矩阵的TV，ΣNF∞否则.（十一）fGTV（X）：=n=1wn||X（n）||GTV，（6）利用iD（X）和iδ（X），张量完备化问题（9）可以重写为αfTV（X）+其中wn0（n）表示各个张量模式的权重参数 矩阵Z的GTV RI×J是GTV-范数，其定义为：Σ。ΣβfLR（X）+iD（X）+iδ（X）。 因为这些 四大功能 不可微分的、传统的基于梯度的优化算法，例如，牛顿法是不能用的。在第4节中，我们介绍并应用了一种有效的方法，重新-||Z||GTV：=i、jθ∈Θτθ（τθzi，j）2，（7）称为PDS，以解决建议的优化问题（九）、其中τθ0表示权重参数，τθ是微分算子，方向θ， 例如，∇˜0zi,j=z（i+1），j−zi，j，n=4 5zi，j=z（i+1） ，（j+1）−zi，j，209年9 月 0 日zi ， j=zi ， （ j+1 ） −zi ， j ， 且 135zi ， j=z（i−1），（j+1）−zi，j.在[14]中使用ADMM解决了这个凸优化问题。我们通常认为Θ ={0，90}适用于标准矩阵电视（4）。相反，Θ ={0，45，90，135}被视为GTV。当我们考虑Θ ={0}和τ0 对于GTV中的所有n=1，给出3.1. 拟议模型的特征在本节中，我们解释了所提出的模型和第2节中介绍的先前工作之间的关系。该模型有三个特征。首先，当N=2，α=0，β=1，λ=[1，0]T时，vmin=vmax=，所提出的模型可以其特征为LRMCn[5]。 与LRMCn相比，LRMCn解决了几个凸优化问题来调整μ，所提出的方法可以通过求解ΣNΣf（Z）=w|∇z| =only one convex optimization problem, and provides its ten-GTVΣ Σn=1ni1，i2，.INni1，i2，. INw n |∇ n zi ,i,...,我|.在这种情况下，GTV孢子延伸i 1，i2，.，INn=11 2N第二，当α= 0，β= 1时，=- ∞，以及相对于张量中的N个模式各向异性，导致对角边缘的损坏。N3736∞−∞∞注意，我们可以考虑矩阵TV的更简单、直接和各向同性的张量扩展，其定义为：‚.Nminvmax=，所提出的方法可以表征为LNRTC [10]。与采用ADMM求解一类问题（2）的LNRTC相比，所提出的方法采用PDS算法求解一类问题（1）。f电视Σ（Z）：=i 1，i2，.，IN.Σ，wnn=1（n zi1，i2，.，IN）2.（八）第三，当α= 1，β= 0，vmin=，vmax=，所提出的模型可以表征为GTV的各向同性版本[14]。与GTV相比3737n=1X（个）·21−，0−12nIJ··使用ADMM求解，这需要矩阵求逆U∈RI1×I2×···×I，Y= [y，y，...， yQ] ∈RI×N，通过快速傅立叶变换（FFT）和逆FFT，，则{Z（n） ∈RI1×I2×···×IN}N 问题（9）可以是所提出的方法不需要考虑矩阵，版本.此外，所提出的方法调整δ而不是µ的值。此外，我们的模型不同于[16]中提出的最近的工作，因为它将一些约束固定秩矩阵分解模型应用于单个模式，重写为最小化iδ（X）+iD（U）+α||Y ||2、1+ βΣNn=1λn||Z（n）||（17）在无噪声的情况下对同一张量进行矩阵化。这个问题是非凸的，它不是为降噪模型设计的。S.T. U=X，yn=wnD n x（n），Z（n）= X（n），4. 优化其中x∈RQNn=1 In是X和Dn的向量化形式4.1. 原始对偶分裂算法是第n个模式的线性微分算子，滕索河 ||·||2，1是s。矩阵的l2，1-norm，定义为PDS [9]算法是一个用于分割||Z||二、一ΣIi=1Jj=12 对于矩阵Z∈RI×J. Al-一个优化问题，包括不可微函数到几个子优化过程使用proximal运营商。函数的邻近算子g（）定义为：1可以使用问题（17）中的PDS框架导出出租m1我们将该算法称为注意，l2， 1-范数、核范数、iD和iδ是可逼近函数，其计算由下式给出：prox（Z）：= argmin g（X）+||、（十二）||,(12)gX2Fproxγ||·||二、一（Z）=Z[s，.， s]，（18）其中Z和X是任意变量。当近侧prox γ||·||∗ （Z）=Umax（−γ，0）VT，（19）可以解析地计算g（）的算子，g（）是重的。称为首先，我们介绍了凸优化PDS算法的一般框架。我们考虑以下优化问题：在那里，proxiD（Z）= max（min（Z，vmax），vmin），（20）proxiδ（Z）=QT+（1−Q）Z，（21）s=[s1，...，sI]T∈RI与si=Jmaxγ||2||2对于Z= [z1，z2，...，zI]T∈RI×J，minimizef（x）+Xj=1hj（yj），（U，V，V）是左矩阵、中对角矩阵和右矩阵，尊重我。，Z的奇异值分解，以及S.T.yj=Lj x，（13）Qmax=max0，1δ||F||FQ. 近端操作员其中f（·）和hj（·）是连续的x可逼近函数，x和yj分别是原变量和对偶变量，Lj表示线性算子. 优化问题（13）是凸的，并且可以使用以下PDS算法来求解（18）、（19）和（20）是众所周知的;但（21）不是。因此，我们在4.2.1节中证明了（21）。4.2.1证明（21）为了证明（21），我们考虑以下问题：日本122xk+1=proxxk−γ1LT yk;（14）min||Fs.t.||Fs.t. ||F≤ δ。||F≤ δ.（二十二）γ1fj jX2j=1N：=zNNn=13738N22jjyk+1=yk+γ2（2xk+1−xk）;（j）（15）对于元素qi1，i2，.，IN = 0时，优化问题可以表示为（zi1，i2，.，IN −yk+1=yk+1−γ2prox11岁以下+1;（16）xi1，i2，.，IN）2. 因此，我们得到j jγ2hjγ2 Jx=i1，i2，.，我=zi1，i2，.，IN（qi1，i2，.，iN=0）。（二十三）其中γ1>0和γ2>0分别是原始步长和对偶步长的步长参数当量（21）满足（23）。对于元素qi，i，.，我= 1，优化问题4.2. 该算法被给定为1 2N在本节中，我们将PDS算法应用于亲-1尽量减少||z--||S.T. ||不Q2--||≤ δ，（24）提出的优化问题。引入对偶变量xq2q q2Q3739√TK~u10：=−αγ2Y←--2× ×∈11ΣNΣN（个）2（个）Dγ2算法1一曰： 输入：T，Q，δ，vmin，vmax，α，w，β，λ，γ1，γ2;2：初始化：X0，U0，Y0，Z（n）0（n），k= 0;表1. （γ1，γ2）的值（α，β）（γ1，γ2）3：重复“N”4：v←uk+z（n）k+<$NwnD y;k+1n=101kn=1nn5：x=proxiδx-γ1v;6：h←2xk+1−xk;7：u←uk+γ2h;8：uk+1=u−γ2proxi1;9：Y←Yk+γ[wDh，.，Dh];Yk+1Y近端γ2||·||二、一1˜γ2（1.0，0.0）（0.01，12.50）11：Z（n）←Z（n）k+γH;（n）12：Z（n）k+1=Z（n）−γproxγ21Z（n）;（n）选择光滑平行因子（PARAFAC）张量复（个）13：kk+ 1;14：直到收敛0.140.120.10.080.060.040.0202βλn||·||∗γ2总/二次变异（SPCTV/SPCQV）[32]。与 基 于 低 Tucker 秩 先 验 的 LNRTC 相 比 ，SPCTV/SPCQV 基 于 低 CP 秩 先 验 。 我 们 使 用 了IEEEEXPLORE1发布的SPCTV/SPCQV MATLAB工具箱。由于LNRTC和GTV的软件包可能不会分发，我们在MATLAB中实现了这些算法。请注意，我们使用PDS算法而不是ADMM来实现GTV，以防止FFT，并且由于优化问题的凸性，使用ADMM和PDS获得的解应包含在相同的凸集中。5.1. 优化评价在 这 实验 我们 评价 收敛100101102103104105迭代次数图2.不同γ1值的收敛曲线。其中z q、t q和x q分别是由Z、T和X的所有元素组成的向量，满足qi1，i2，.，IN = 1时。（24）的解是由zq在行为和所提出的方法的计算时间。 我们为M准备了大小为（M[像素]M[像素]3[颜色]）的64、128、256、512、1024、2048; 30%的体素是任意的。对这些图像进行去噪和高斯噪声处理。图2示出了通过将所提出的算法应用于（128× 106）的情况而获得的收敛曲线的示例。以tq为圆心，半径为球面。我们得到.δ，或由zq，√Σ128 × 3）图像，α=β= 0。5对于各种值，（γ1，γ2），认为γ1∈ {0. 0001，0。001，0。010 1，1}γ2= 1/（8γ1）。可以观察到，xq=tq+min||zq−tq||2，δzq−tq||z q− tq||2γ1应在一个合适的范围内，以实现收敛短的时间在实践中，我们决定-= [1− min（1，η）]tq+ min（1，η）zq= max（0， 1−η）tq+[1− max（0，1−η）]zq，（25）γ1合适值依赖于α。对于所有以下实验，我们选择以下值：（γ1，γ2）基于（α，β），通过参考表1，其中η=ηδ||2||25. 实验.当量（21）满足（25）。Qγ1=1γ1=0.1γ1=0.01γ1=0.001γ1=0.0001成本函数ΣΣ;(0.0、1.0）(1.00，0.125）(0.1，0.9）(0.50，0.250）(0.2，0.8）(0.20，0.625）(0.3，0.7）(0.10，1.250）(0.4，0.6）(0.10，1.250）(0.50.5）(0.05，2.500）3740使用手动调谐获得请注意，我们将输入张量T中的值范围归一化为[0，1]，并考虑vmin= 0和vmax= 1进行优化。这种归一化对于γ1、γ2的选定值是重要的在这一节中，我们比较了所提出的方法与几个国家的最先进的方法进行图像再加工实验。对于凸优化，我们选择LNRTC [10]和GTV [14]进行比较。相比之下，对于非凸优化（张量分解），我们认为-正确工作。为了评估，我们恢复输出张量X中的值范围，例如8位图像的[0，255]1http://ieeexplore.ieee.org/document/7502115/媒体3741拟定LNRTCGTV（PDS）SPCQVSPCTV−−联系我们N××× ××N10 5.表3。彩色电影（4D张量）完成和去噪中的PSNR比较104310102101100十比一图3. 各种重新缩放图像的计算时间。图4. 测试彩色图像：'airplane'，'baboon'，'barara'，'facade'（第一排从左到右），'house'，'lena'，'peppers'，'sail-boat'（第二排从左到右）。图3显示了各种重新缩放图像的最新张量完成方法的计算时间比较线和条分别表示十次试验的平均值和标准差。可以观察到，所提出的算法比其他国家的最先 进 的 算 法 ， 除 了 LNRTC 。 特 别 是 ， SPCQV 和SPCTV，这是张量分解为基础的方法，是计算昂贵的 ， 因 为 他 们 解 决 非 凸 优 化 问 题 。 相 比 之 下 ，LNRTC，GTV，和所提出的方法解决凸优化问题，他们的计算时间是相当低的。ADMM算法的LNRTC比PDS算法的GTV和所提出的算法快。5.2. 彩色图像恢复我们使用彩色图像完成和去噪来评估所提出的方法。图4显示了本实验中使用的测试图像。八个图像有一个大小（256 256 3） 通过去除任意体素并添加高斯噪声，所有图像都被破坏，（0，20）。缺失率被认为是ρ10%、30%、50%。对于所提出的方法，我们调整α，λ和δ的值来评估峰值信噪比（PSNR）。其他参数考虑为β=1α，w=[0. 5，0。5，0。0]T，λ=[λ/2，λ/2，1λ]T。图5显示了单个图像中α和λ的各种组合的PSNR值的彩色图示α和λ的最合适的组合取决于图像。三个图像，称为相比之下，其他图像，被称为表4. 3D-MR图像完成和去噪的SDR比较名称ρ建议GTV LNRTC SPCQV SPCTV柑橘0.125.64625.186 23.852 23.743 23.706柑橘0.323.41022.920 20.948 22.251 22.115柑橘0.520.91920.644 18.112 20.459 20.162番茄0.127.98027.865 26.231 24.896 24.890番茄0.327.18726.782 24.516 24.492 24.460番茄0.526.01425.429 22.785 23.825 23.717larizations.表2示出了所提出的和所选择的最先进的方法的彩色图像恢复的性能对于所有方法，我们手动调整所有超参数以获得最佳性能除了“门面”的情况下，所提出的方法优于国家的最先进的方法为较低的如图5所示，所提出的方法在“house”、“lena”和“peppers”的缺失率为50%的情况对于喜欢核范数正则化的“facade”，SPCTV在所有缺失率下都表现出最佳性能。对于5.3. 彩色电影恢复我们使用彩色电影完成和去噪来评估所提出的方法。一个数据集，被称为我们通过去除任意体素并添加高斯噪声来破坏它，（0，10）。 输入影片（4D张量）具有120像素160像素3个颜色通道100帧 我们考虑w =[0。四，零。四，零。0，0。2]T和λ =[0. 2，0。2，0。2，0。[4]T和（α，β，δ）是手动调节的。图6示出了针对具有30%缺失体素的所提出和所选择的最先进方法的电影恢复的结果LNRTC的结果有噪声，GTV的结果包括较小的伪影。就PSNR而言，SPCTV和SPCQV最好;然而，结果是模糊的。相比之下，所提出的方法的结果表3显示了各种缺失比率的PSNR所提出的方法是最好的缺失率为10%，和SPCTV2http://research.microsoft.com/en-us/um/people/jckrumm/wallflower/testimages.htm计算时间[秒]ρ提出GTVLNRTC SPCQV SPCTV0.1 31.04530.947 28.82030.01830.0210.3 28.94228.485 26.92029.64229.6590.5 26.75026.101 25.00628.99529.9963742图5.PSNR彩色图的各种值的超参数α和λ使用8个测试彩色图像与30%的缺失元素。表2.测试彩色图像完成和去噪的PSNR比较名称ρ（α，λ）提出GTVLNRTCSPCQVSPCTV飞机0.1（0.100，0.200）28.75928.61326.37428.16627.915飞机0.3（0.100，0.000）27.57527.30025.22427.31626.932飞机0.5（0.100，0.200）26.17725.96423.65726.44725.896狒狒0.1（0.100，1.000）25.10325.03424.16324.73624.610狒狒0.3（0.100，1.000）24.07024.00122.86523.92723.715狒狒0.5（0.100，1.000）23.01322.95921.59723.02622.612芭芭拉0.1（0.100，0.800）27.95227.81826.20627.64827.342芭芭拉0.3（0.100，0.400）27.18326.95825.06927.03326.570芭芭拉0.5（0.100，0.200）26.19725.90023.57026.31025.499立面0.1（0.001，1.000）28.24225.97527.82928.89728.979立面0.3（0.001，1.000）27.51624.92827.35428.31628.348立面0.5（0.001，1.000）26.55523.67226.30027.43127.469房子0.1（0.500，1.000）30.32929.96226.88529.03728.633房子0.3（1.000，0.000）29.50129.10626.10028.45227.923房子0.5（1.000，0.000）27.97527.78024.51927.59226.929莉娜0.1（0.500，0.000）29.08628.82326.09828.06027.560莉娜0.3（1.000，0.000）28.32027.88525.04827.35226.742莉娜0.5（0.500，0.200）27.17826.75223.55826.57025.701辣椒0.1（1.000，0.000）29.38029.11025.89527.17926.932辣椒0.3（0.500，0.000）28.44228.05124.61626.62526.018辣椒0.5（0.500，0.000）27.08626.75723.09225.72724.933帆船0.1（0.100，0.000）27.38627.16225.37426.48726.316帆船0.3（0.100，0.200）26.13125.87224.09125.81725.4623743××帆船0.5（0.100，0.400）24.58124.31522.52724.84324.224基于PSNR比较，对于30%和50%的缺失率，5.4. 三维体积图像恢复我们使用3D体积磁共振（MR）图像的完成和去噪来评估所提出的方法图7显示了测试MR图像以及损坏和恢复图像的示例。使用微型MR成像系统获得MR图像。原始MR图像包含轻微噪声。然而，我们假设这些图像为地面实况图像，并将这些图像合成为打电话评估。被称为“柑橘”和“番茄”的两个MR图像因为每个使用（1.5/8 mm 1.5/8 mm1.5 mm）体积的积分获得体素值，（x，y，z）轴的分辨率是各向异性的。我们考虑w =[8/17，8/17，1/17]T和λ =[1/3，1/3，1/3]T，并且（α，β，δ）是手动调谐的。表4示出了使用所提出的用于MR图像完成和去噪的最新方法获得的信号失真比（SDR）。可以观察到，所提出的方法优于所有国家的最先进的方法的所有缺失率。6. 结论本文提出了一种新的张量完备化和去噪的模型和算法，3744(a) 原始（b）损坏（c）LNRTC（26.92 dB）（d）GTV（28.49 dB）(e) SPCQV（29.64 dB）（f）SPCTV（29.65 dB）（g）拟议（28.94 dB）图6.彩色电影（4D张量）完成和去噪实验结果：原始数据大小为（120× 160× 3× 100），被30%的缺失体素和高斯噪声（σ=10）破坏。描述了第5帧图像、PSNR和计算时间对于所有方法。(a) （b）损坏(c)通过放大的补丁进行比较：“柑橘”和“番茄”图7. 测试3D-MR图像，尺寸为256 × 256 × 24：（a）原始全观察图像：“柑橘”（左）和“番茄”（右），（b）图像与30%的丢失元素破坏高斯噪声，（c）补丁恢复图像使用建议和选定的国家的最先进的方法.核规范和电视节目最小化。所提出的模型可以被描述为一个概括的几个先前的作品。大量的实验表明，所提出的方法优于各种国家的最先进的tensor完成方法的彩色图像，电影，和3D，体数据检索确认这项工作得到了日本科学促进会KAKENHI资助号15K16067的支持。3745引用[1] D. 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