2、（第3章课后练习 14 P78) 对于指数分布族p（212)=2-1e-#/2,入＞0，求总体的Fisher信息量及参数入的无 信息先验

首先，指数分布族的一般形式为：

p(x; θ) = h(x) exp{ η(θ) T(x) - A(θ) }

其中，h(x)是正常化常数， η(θ)是自然参数，T(x)是充分统计量，A(θ)是对数配分函数。

对于指数分布族中的p(λ) = 2^{-1} e^{-λ/2}，我们有：

h(λ) = 1, η(λ) = -1/2, T(x) = x, A(λ) = λ/2

因此，Fisher信息量的计算表达式为：

I(λ) = -E[∂²log p(X;λ)/∂λ²]

由于p(X;λ) = 2^{-1} e^{-Xλ/2}，因此有：

log p(X;λ) = -log 2 - Xλ/2

对λ求一次导数，得到：

∂log p(X;λ)/∂λ = -X/2

再对λ求一次导数，得到：

∂²log p(X;λ)/∂λ² = -1/2

因此，Fisher信息量为：

I(λ) = E[(X/2)^2] = Var(X/2) = λ/4

接下来，我们需要求出参数λ的无信息先验分布。由于指数分布族的共轭先验分布是Gamma分布，因此我们可以选择Gamma分布作为λ的先验分布。

设λ的先验分布为Gamma(α, β)，其概率密度函数为：

p(λ) = β^α / Γ(α) λ^(α-1) e^{-βλ}

其中，Γ(α)表示Gamma函数。

为了使先验分布是无信息的，我们需要让先验分布的方差无穷大，即：

Var(λ) = α/β^2 → ∞

因此，我们需要令α → ∞，β → 0，且α/β^2 → ∞。

取α = 1，β = 0，即可得到参数λ的无信息先验分布为：

p(λ) = δ(λ)

其中，δ(λ)表示Dirac Delta函数。