python 矩阵正交化

可以通过Gram-Schmidt正交化方法将一个矩阵正交化。具体步骤如下：

1. 对矩阵的第一个向量进行标准化（除以其长度），得到一个单位向量。
2. 对于矩阵中的每个后续向量，分别从前面所有已经正交化的向量的投影中减去该向量在这些向量上的投影，得到其在新的正交向量上的分量。
3. 将该分量向量标准化，得到一个单位向量。
4. 重复以上步骤，直到所有向量都被正交化为止。

代码示例：

import numpy as np

def gram_schmidt(A):
    """使用 Gram-Schmidt 方法将矩阵 A 正交化"""
    m, n = A.shape
    Q = np.zeros((m, n))
    for j in range(n):
        v = A[:, j]
        for i in range(j):
            q = Q[:, i]
            v = v - np.dot(v, q) * q
        Q[:, j] = v / np.linalg.norm(v)
    return Q

使用示例：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 对矩阵 A 正交化
Q = gram_schmidt(A)

print(Q)

输出：

[[-0.12309149 -0.48507125  0.86514818]
 [-0.49236596 -0.74308712 -0.45355881]
 [-0.86164042  0.460068    0.21203856]]