设n是一个正整数,现要求将n分解为若干个互不相同的自然数的和,使这些自然数的乘积最大.

### 回答1：
这是一个经典问题，叫做整数拆分问题。可以使用动态规划的方法来解决。

首先定义一个状态，设f(n)表示把正整数n拆分成若干个互不相同的自然数之和，使得这些自然数的乘积最大时，这个最大乘积是多少。

接下来考虑如何求解f(n)。假设我们把n拆分成k和(n-k)，其中k是拆分中的最大数。因为拆分中不能有相同的数，所以(n-k)的最大值为(n/2)。因此，我们可以枚举k从1到n/2，然后求出f(n)的值。具体地，f(n)的值可以表示为：

f(n) = max{k * f(n-k), k * (n-k)}

其中k的取值范围是1到n/2。

最终，f(n)的值就是所求的答案。

### 回答2：
设n = a1 + a2 + ... + ak，其中a1, a2, ..., ak是互不相同的自然数。要使得这些自然数的乘积最大，可以利用数学推理进行求解。

首先，我们可以发现，当分解的自然数中存在一个数大于等于4时，可以通过将该数拆分为2+2的形式，得到的乘积更大。因此，我们可以将n分解为若干个2和1的和。

设n中2的个数为m，则n = 2m + (n - 2m) = 2m + x，其中x为1的个数。那么，我们需要求解如何选择m和x，才能使得乘积最大。

我们可以使用数学归纳法来推导。当m = 1时，n = 2 + x，此时乘积为2*(1 + x) = 2 + 2x。当m = 2时，n = 4 + x，此时乘积为2*2*(1 + x) = 4 + 4x。可以看出，从m = 1到m = 2，乘积的增加量为2。同理，当m增加到m = 3时，乘积的增加量也是2。因此，我们可以得出结论，当m增加1次时，乘积的增加量是2。

现在我们知道了m的选择对乘积的影响，我们可以将n分解为若干个2和1，其中2的个数为m，1的个数为x = n - 2m。乘积为2^m * 1^x = 2^m。根据前面的推导，我们可以得知，m越大，乘积越大。

所以，为了使得乘积最大，我们选择n除以2的商作为m的取值，n除以2的余数作为x的取值即可。

举例来说，对于n = 21，21除以2等于10，余数为1，即m = 10，x = 1。将21分解为2 + 2 + ... + 2 + 1的形式，乘积为2^10 = 1024。

因此，将n分解为若干个互不相同的自然数的和，使这些自然数的乘积最大的方法是将n除以2的商作为m的取值，n除以2的余数作为x的取值。乘积为2^m。

### 回答3：
将n分解为若干个互不相同的自然数的和，即找到一组自然数a1, a2, ..., ak使得n = a1 + a2 + ... + ak，并且a1, a2, ..., ak两两不相等。

要使这些自然数的乘积最大，可以尽可能地使这些自然数相差最小。这样一来，假设有k个自然数，则这k个自然数的平均值就是它们之和的1/k倍，即(n/k)。由于这k个自然数的乘积为(a1)(a2)...(ak)，可以通过平均值来表示这个乘积。

如果k是奇数，那么(a1)(a2)...(ak) = ((n/k) - k/2)(n/k + k/2)((n/k) - k/4)(n/k + k/4)...，其中k/2, k/4, ...是递减的。可见，乘积的最大值出现在n/k为最接近√n的整数上。所以，若n有一个平方根属于这k个自然数中，则平方根最接近√n的自然数与其他自然数的乘积最大。

若k是偶数，则可以把k分解为m和k-m，其中m和k-m都是自然数。同样地，乘积的最大值出现在n/k为n/m的整数倍的自然数上，其中m最接近√n。

通过上述的分析，我们可以得出以下结论：
- 若n是一个平方数，则平方根最接近√n的自然数与其他自然数的乘积最大。
- 若n不是平方数，且n的平方根所在的自然数与n的整数倍的乘积最大。

综上所述，对于任意正整数n，要将n分解为若干个互不相同的自然数的和，并使这些自然数的乘积最大，需要判断n是否是一个平方数。若是平方数，则平方根最接近√n的自然数与其他自然数的乘积最大；若不是平方数，则平方根所在的自然数与n的整数倍的乘积最大。