设正整数n > 4，要求将n分解为若干互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，输出最大的乘积。例如：n = 10，n分解为2+3+5，输出的最大乘积为30。

### 回答1：
题目要求将大于4的自然数n分解为若干个不相同的自然数的和，并使这些自然数的乘积最大，输出最大的乘积。例如，当n=10时，分解为2+3+5，最大乘积为30。

解题思路：根据题目要求，我们可以尝试从最小的自然数开始考虑。当n为5时，只能分解为1+2+2，乘积为4；当n为6时，可分解为1+2+3，乘积为6；当n为7时，可分解为1+2+4，乘积为8；当n为8时，可分解为1+2+5，乘积为10；当n为9时，可分解为1+2+6，乘积为12；当n为10时，可分解为2+3+5，乘积为30，此时乘积最大。

因此，我们可以用循环依次尝试每个自然数，直到找到最大的乘积为止。具体实现可以参考下面的代码：

n = 10 # 输入的自然数
max_product = 0 # 初始化乘积为0

for i in range(2, n-1):
for j in range(i+1, n):
k = n - i - j
if k <= j:
break
product = i * j * k
if product > max_product:
max_product = product
factors = [i, j, k]

print(max_product) # 输出最大乘积
print(factors) # 输出对应的分解因子

### 回答2：
对于这道问题，我们需要分析自然数的性质，以及如何将它们拆分成最大的乘积。

首先，我们需要找到一些规律。我们可以尝试将一些较小的数进行拆分，例如6、7、8、9等。当拆分出的自然数个数相同时，它们的乘积会有什么规律呢？

当拆分6时，我们可以得到1、2、3，它们的乘积为6。

当拆分7时，我们可以得到1、2、4，它们的乘积为8。

当拆分8时，我们可以得到1、2、3、2，它们的乘积为12。

当拆分9时，我们可以得到1、2、3、3，它们的乘积为18。

通过以上的例子，我们可以发现，拆分出的数中，越多的1对乘积贡献越小，越多的大数对乘积贡献越大。因此我们应该尽可能地拆分成2、3、4、5等较大的数。

我们可以将n拆分成若干个数的和，假设这些数分别为a1、a2、a3......an。我们需要使它们的积最大，因此我们可以将它们写成以下的形式：

n = a1 + a2 + a3 +......+an

ln(n) = ln(a1) + ln(a2) + ln(a3) +......+ln(an)

对于ln(x)函数，它的图像是单调递增的，因此我们可以通过对ln(x)函数进行优化，来得到求解最大乘积的答案。

假设原问题的解为M(n)，我们可以得到以下的式子：

M(n) = max{i×M(n-i)} (2≤i≤n/2)

这个式子的含义是：对于n，我们枚举拆分出来的第一个数i，然后将n-i拆成若干个自然数，再计算它们的乘积，最后将它们的乘积乘上i，得到总的乘积，我们需要取所有方案中的最大值。

同时，我们需要注意到一些边界条件，例如当n=2、n=3、n=4时，它们所对应的最大乘积分别为1、2、4，因为它们只能拆分成1、1、1......、1，2、1、1......、1、2、2、1、......、2、2、......、2、2、1。因此在程序实现中，需要判断n的大小，以处理这些边界情况。

### 回答3：
这是一道比较经典的数学问题。要将正整数n分解为若干个互不相同的自然数之和，且使得乘积最大。我们可以根据贪心算法来解决这个问题。

首先，我们使用贪心思想让这些自然数尽可能接近。这意味着我们将n分解为连续的自然数之和。例如，将10分解为1+2+3+4，乘积为24，比分解为2+3+5的30要小。这是因为连续自然数乘积的增长速度比非连续自然数快。

我们来证明一下。

假设我们将n分解为m个自然数之和，分别为a1，a2，...，am。则根据乘积的定义可得：

P = a1 * a2 * ... * am

我们认为这些自然数尽量接近，也就是说它们之间的差异尽量小。因此可以将它们表示为：

a1 = x
a2 = x + 1
a3 = x + 2
...
am = x + m - 1

将以上式子代入到乘积式子中，可得：

P = (x)(x + 1)(x + 2)...(x + m - 1)

将乘积式子展开，得到：

P = x^m + (mC1)x^(m-1) + (mC2)x^(m-2) + ... + (mCm-1)x + mCm

其中，mCk表示从m个自然数中选出k个自然数的组合数。

以上式子右侧的各项都是常数，m是固定的。因此，我们只需要让乘积式子左侧的x^m尽可能大，就能使乘积最大化。

现在来看一下x的取值。由于a1-a2 = 1，a2-a3 = 1，...，am-1-am = 1，因此有：

a1 + am = 2x + m - 1

代入n = a1 + a2 + ... + am，得到：

n = mx + m(m - 1) / 2

将前面的x^m展开式子代入，得到：

P = (n / m)^m * (1 / m^m) * [(m - 1)!]^2 / [2^(m - 2) * (m - 1)^(m - 1)]

观察上式可以发现，当m增大时，(n / m)^m 趋近于常数，因此P的增长主要取决于 [(m - 1)!]^2 / [2^(m - 2) * (m - 1)^(m - 1)]。

这里可以使用斯特林公式，得到：

[(m - 1)!]^2 / (m - 1)^(m - 1) = √(2π(m - 1)) * [(m - 1) / e]^(m - 1)

又因为当m增大时，上式趋近于 √(2πm) * (m / e)^m，因此我们只需要让m尽可能大即可。

因此，我们的策略是，将n分解为2个连续自然数之和。如果n是奇数，则将n分解为(n-1)/2 + (n+1)/2两个数之和，如果n是偶数，则将n分解为n/2 + n/2这两个数之和。

这个策略的正确性是显然的，因为如果n分解为更多的自然数之和，那么必然存在两个自然数之间的差大于1，这样就能找到一种不同的分解方式，使得乘积更大。因此，只需要将n分解为2个连续自然数之和即可。

最后，我们还需要注意，当n <= 4时，题目无解。因为无论如何分解，四个数（甚至更多的数）的积都小于等于n。