优化并查集求桥数量的算法思路以及C++代码以及时间复杂度分析

算法思路：
在并查集求桥数量的基础上，我们可以进一步优化算法以减少时间复杂度。

1. 对于无向图G，任选一个顶点u作为起点，对其进行深度优先搜索。
2. 对于每个遍历到的节点v，标记它已经被访问过。
3. 对于v的每个未被访问的邻居节点w，如果w还没有被标记过，则将v和w之间的边加入并查集中。
4. 在加入边之前，记录当前并查集中连通块的数量cnt1。
5. 在加入边之后，记录并查集中连通块的数量cnt2。
6. 如果cnt1 < cnt2，则v和w之间的边是桥，统计数量即可。同时，将w加入v的邻居列表中，以便后续遍历。

C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 10005;

vector<int> G[MAXN];
vector<int> nxt[MAXN];
int fa[MAXN];
int cnt = 0;

int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx != fy) fa[fx] = fy;
}

void dfs(int u, int fa) {
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == fa) continue;
        if (fa[v]) continue;
        nxt[u].push_back(v);
        merge(u, v);
        int cnt1 = cnt;
        dfs(v, u);
        int cnt2 = cnt;
        if (cnt1 < cnt2) cnt++;
    }
    for (int i = 0; i < nxt[u].size(); i++) {
        int v = nxt[u][i];
        merge(u, v);
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

时间复杂度分析：
对于有n个顶点和m条边的无向图，使用优化后的并查集求桥数量的时间复杂度为O(n+mlogn)。其中，因为并查集的时间复杂度为O(logn)，所以遍历每个节点的邻居节点的时间复杂度为O(mlogn)。而最坏情况下，所有边都在不同的连通块中，因此需要进行mlogn次合并操作，所以总的时间复杂度为O(mlogn)。同时，由于使用了邻居列表和路径压缩，该算法的时间复杂度相对于普通的并查集求桥数量有所降低。