G的度数和G的补图的度数之间的关系

设G为一个无向图，V为G的顶点集合，E为G的边集合。则G的补图为一个图G'，其顶点集合与G相同，但两个顶点之间在G'中存在一条边，当且仅当在G中这两个顶点之间不存在边。

对于任意一个顶点v ∈ V，其在G中的度数为d(v)，在G'中的度数为d'(v)。根据定义，G中没有连接v和u的边，当且仅当G'中连接v和u的边存在。因此，v在G中的度数加上v在G'中的度数等于G中所有顶点的度数之和，即：

d(v) + d'(v) = |V| - 1

其中，|V|表示G中顶点的数量。由于G'中每条边都对应G中没有的边，因此G'中的边数与G中的边数之和等于完全图的边数，即：

|E| + |E'| = |V|(|V| - 1)/2

将上面两个式子带入Euler公式：

|V| - |E| + |F| = 2

其中，|F|为G的面数。则有：

|V| - (|V|(|V| - 1)/2 - |E|) + |F| = 2

化简可得：

|E| + |F| = |V|(|V| - 1)/2 - 1

也就是说，G中边数和面数之和等于完全图边数减1。因此，G的度数和G的补图的度数之和等于完全图中每个顶点的度数，即：

d(v) + d'(v) = |V| - 1 = n - 1

其中，n为G中顶点的数量。

相关问题

5阶图G中的度数，则G的补图中顶点的度数

5阶图G中，每个顶点的度数最小为0，最大为4。因为每个顶点最多与其他4个顶点相邻，最少则一个顶点都不相邻。

那么G的补图中，每个顶点的度数等于原图中该顶点未与其他顶点相邻的顶点数。因为原图中每个顶点的度数与其相邻的顶点数相等，所以在补图中每个顶点的度数等于原图中该顶点未与其他顶点相邻的顶点数，也就是等于原图中该顶点与其他顶点相邻的数量。因此，在补图中每个顶点的度数最小为0，最大为n-1，其中n为原图中的顶点数。

如果一个图和它的补图都有欧拉回路，则 n ≡ 0 或 1 mod 4

这是一个数学问题，可以回答。根据欧拉公式，如果一个图（无向图）有欧拉回路，则图中所有顶点的度数都为偶数；如果一个图的补图也有欧拉回路，则图中所有顶点的度数都为奇数。因此，当一个图和它的补图都有欧拉回路时，图中所有顶点的度数都必须既是偶数又是奇数，也就是说只有当图中顶点的个数n为偶数时才有可能存在这样的情况。而 n 为偶数时，图的补图的顶点数为 n，因此其度数也为偶数，满足欧拉回路的条件。因此，结论成立，即 n ≡ 0 或 1 mod 4。