这个输出的结果并不是A的逆矩阵，还需要再修改一下

非常抱歉，我的代码有误。在实现 QR 分解求逆矩阵的过程中，我忽略了一个非常重要的事实，即对于 QR 分解得到的矩阵 $Q$ 和 $R$，它们满足 $A = QR$，因此 $A^{-1} = R^{-1}Q^T$。因此，我们可以直接使用这个式子来计算 $A$ 的逆矩阵。

以下是修改后的代码：

import numpy as np
import sympy as sp

def QR(A):
    def householder(a):
        n = len(a)
        v = np.zeros(n)
        v[0] = np.linalg.norm(a)
        if a[0] < 0:
            v[0] = -v[0]
        v = v + a
        v = v / np.linalg.norm(v)
        H = np.eye(n) - 2 * np.outer(v, v)
        return H
    
    def qr_factorization(A):
        m, n = A.shape
        Q = np.eye(m)
        R = A.copy()
        for j in range(min(m, n)):
            a = R[j:, j]
            H = np.eye(m)
            H[j:, j:] = householder(a)
            Q = Q @ H.T
            R = H @ R
        return Q, R
    
    Q, R = qr_factorization(A)
    A_inv = np.linalg.inv(R) @ Q.T
    
    return A_inv

在修改后的代码中，我们首先计算了 $A$ 的 QR 分解得到的矩阵 $Q$ 和 $R$。然后，我们使用 $R^{-1}Q^T$ 来计算 $A$ 的逆矩阵，并将其返回。

请注意，由于计算 $R$ 的逆矩阵是比较耗时的操作，因此在实际使用中，我们可能会使用其他更加高效的方法来计算逆矩阵。