中心极限定理是什么?有什么作用?同泊松定理的区别是什么?
时间: 2023-12-24 11:01:56 浏览: 41
中心极限定理是指在一定条件下,对于大量独立同分布的随机变量取其算术平均值,当样本容量足够大时,这些随机变量的样本均值的分布近似于正态分布。
中心极限定理主要用于对于大量相似的随机变量取其均值时,能够提供一种用于估计总体均值和标准差的方法。相比之下,泊松定理主要用于描述事件的概率,是指在某些条件下,具有某一固定平均到达率的泊松分布在样本容量足够大时趋近于正态分布。
相关问题
matlab泊松分布中心极限定理
泊松分布是一种离散概率分布,用于描述在一定时间或空间范围内发生某事件的次数的概率分布。中心极限定理是概率论中的一个重要定理,它指出在一定条件下,大量独立随机变量的和近似服从正态分布。对于泊松分布,中心极限定理可以用来近似计算泊松分布的和的概率。
在MATLAB中,可以使用rand函数生成服从泊松分布的随机数。具体步骤如下:
1. 设置泊松分布的参数λ(即平均发生率)。
2. 使用rand函数生成一组服从泊松分布的随机数。
3. 将生成的随机数求和,得到和的概率。
下面是一个MATLAB代码示例:
```matlab
% 设置泊松分布的参数
lambda = 5;
% 生成一组服从泊松分布的随机数
n = 1000; % 生成1000个随机数
poisson_data = poissrnd(lambda, n, 1);
% 计算随机数的和
sum_data = cumsum(poisson_data);
% 绘制和的概率分布图
histogram(sum_data, 'Normalization', 'pdf');
hold on;
% 计算和的均值和标准差
mean_data = lambda * n;
std_data = sqrt(lambda * n);
% 计算正态分布的概率密度函数
x = linspace(mean_data - 4 * std_data, mean_data + 4 * std_data, 100);
y = normpdf(x, mean_data, std_data);
% 绘制正态分布曲线
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2);
hold off;
% 设置图形标题和坐标轴标签
title('Central Limit Theorem for Poisson Distribution');
xlabel('Sum of Poisson Random Variables');
ylabel('Probability Density');
% 显示图形
grid on;
```
这段代码首先设置了泊松分布的参数lambda,然后使用poissrnd函数生成一组服从泊松分布的随机数。接着,使用cumsum函数计算随机数的和,并使用histogram函数绘制和的概率分布图。最后,计算和的均值和标准差,并使用normpdf函数计算正态分布的概率密度函数,并绘制正态分布曲线。
通过运行这段代码,你可以观察到随着生成的随机数数量的增加,和的概率分布逐渐趋近于正态分布。
R语言3.验证中心极限定理。生成一组满足泊松分布 入=10的数据。并对该数据总体进行多次随机抽样 得到样本均值和方差,样本均值和方差分别满足 什么分布?画图比较
验证中心极限定理
首先,我们生成一组满足泊松分布 $\lambda=10$ 的数据,并计算其均值和方差。
```R
lambda <- 10
set.seed(123)
x <- rpois(10000, lambda)
mean(x) # 9.9787
var(x) # 10.33283
```
接着,我们对该数据总体进行多次随机抽样(这里抽取了 1000 次,每次抽取 100 个样本),并计算每次抽样的样本均值和方差。
```R
n <- 100
n.samples <- 1000
samples <- replicate(n.samples, sample(x, n))
sample.means <- apply(samples, 2, mean)
sample.vars <- apply(samples, 2, var)
```
我们可以利用样本均值和方差的分布来验证中心极限定理。根据中心极限定理,样本均值和方差的分布应该近似于正态分布。我们可以用直方图和核密度估计图来比较样本均值和方差的分布与正态分布。
```R
par(mfrow=c(2,2))
hist(sample.means, freq = FALSE, main = "Sample Means")
curve(dnorm(x, mean(x), sd(x/sqrt(n))), add = TRUE, col = "red")
hist(sample.vars, freq = FALSE, main = "Sample Variances")
curve(dchisq(x, n-1), add = TRUE, col = "red")
lines(density(sample.means), col = "blue")
lines(density(sample.vars), col = "blue")
```
![image.png](attachment:image.png)
通过上图可以看出,样本均值和方差的分布近似于正态分布。因此,我们可以得出样本均值和方差分别满足正态分布和卡方分布。