鸡蛋掉落问题状态转移方程
时间: 2023-12-26 15:58:53 浏览: 35
鸡蛋掉落问题是一个经典的动态规划问题,其状态转移方程为:
dp[i][j] = 1 + max(dp[i-1][k-1], dp[i][j-k])
其中,dp[i][j]表示i个鸡蛋,j层楼的最坏情况下最少需要扔多少次鸡蛋才能确定鸡蛋的硬度;k表示在第k层楼扔鸡蛋,分为两种情况:鸡蛋碎了,即从第k层往下一层开始继续测试,所以是dp[i-1][k-1];鸡蛋没碎,即从第k层往上一层开始继续测试,所以是dp[i][j-k]。最后取两者的最大值再加上本次扔鸡蛋的次数1,即为最优解。
需要注意的是,这个状态转移方程需要通过循环来实现,而且需要考虑边界情况,即当i=0或j=0时,dp[i][j]=0。
相关问题
堆箱子问题的状态转移方程
堆箱子问题可以使用动态规划求解,设 $f(i)$ 表示第 $i$ 层箱子的最小高度,则状态转移方程为:
$$f(i) = \min_{j<i}\{f(j)\} + h_i$$
其中 $h_i$ 表示第 $i$ 层箱子的高度,$j<i$ 表示第 $i$ 层箱子必须放在第 $j$ 层箱子的上面。因此,状态转移方程的含义是,第 $i$ 层箱子的最小高度等于前面所有能放下第 $i$ 层箱子的层数中高度最小的那一层,再加上第 $i$ 层箱子的高度。
初始状态为 $f(1) = h_1$,最终答案为 $\min_{i=1}^n\{f(i)\}$。
背包问题一般的状态转移方程
背包问题的一般状态转移方程可以表示为:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
其中,dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j时的最大价值,w[i]表示第i个物品的重量,v[i]表示第i个物品的价值。
状态转移方程的含义是,对于第i个物品,我们有两种选择:放入背包或不放入背包。如果放入背包,那么背包的容量会减少w[i],同时价值会增加v[i];如果不放入背包,那么背包的容量和价值保持不变。我们选择其中价值较大的情况作为dp[i][j]的值。
最终的结果就是dp[n][W],其中n表示物品的数量,W表示背包的容量。