最大子矩阵和问题dp的状态转移方程
时间: 2023-10-30 16:41:32 浏览: 57
假设矩阵的行数为n,列数为m,则最大子矩阵和问题的状态转移方程如下:
设dp[i][j]表示以第i行为底部,第j列为右侧的最大子矩阵和,则有:
dp[i][j] = dp[i-1][j] + sum[i][j] (i>1)
其中,sum[i][j]表示以第i行为底,第j列为右侧的矩形中的所有元素的和。
这个状态转移方程的含义是,以当前位置为右下角的矩形的最大子矩阵和,可以由上一行的最大子矩阵和加上当前行的元素和得到。
特别地,当i=1时,dp[1][j] = sum[1][j],表示以第1行为底部,第j列为右侧的最大子矩阵和就是当前矩阵中以第1行为底,第j列为右侧的矩形中的元素和。
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最大子矩阵和问题的状态转移方程
最大子矩阵和问题可以使用动态规划来求解。我们可以定义一个动态规划状态 $dp(i,j)$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和。则最终答案为所有 $dp(i,j)$ 中的最大值。
接下来考虑如何进行状态转移。我们可以将矩阵按行来考虑,对每一行进行处理。对于第 $i$ 行,我们可以计算出以该行为底边的所有矩阵中的最大子矩阵和。具体来说,我们可以用一个数组 $sum$ 记录当前行及以上所有行中每列的前缀和,即 $sum_{k,j}=\sum\limits_{l=1}^{k}a_{l,j}$。然后对于第 $i$ 行,我们可以枚举该行的每一个左端点 $k$,然后计算以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和。具体来说,我们可以先将第 $i$ 行的第 $k$ 列到第 $j$ 列的和计算出来,即 $s=\sum_{l=k}^{j}sum_{i,l}$,然后假设以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵的上边界为 $p$,则该矩阵的面积为 $(j-k+1)\times (i-p+1)$,矩阵中元素的和为 $s\times (i-p+1)$。因此,以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和为 $s\times (i-p+1)$,其中 $p$ 满足 $\sum_{l=k}^{j}\sum_{m=p}^{i}a_{m,l}\leq s$,即 $p$ 是最大的满足条件的上边界。我们可以用前缀和来快速计算 $\sum_{l=k}^{j}\sum_{m=p}^{i}a_{m,l}$,因此时间复杂度为 $O(n^3)$。
综上所述,状态转移方程为:
$$
dp(i,j)=\max_{k=1}^{j}\{dp(i-1,k)+(j-k+1)\times s(i,k,j)\}
$$
其中 $s(i,k,j)$ 表示第 $i$ 行的第 $k$ 列到第 $j$ 列的和,即 $s(i,k,j)=\sum\limits_{l=k}^{j}\sum\limits_{m=1}^{i}a_{m,l}$。初始状态为 $dp(1,j)=s(1,1,j)$。最终答案为 $\max\limits_{i,j}\{dp(i,j)\}$。
最大子矩阵的动态转移方程
最大子矩阵问题可以使用动态规划解决,其动态转移方程如下:
设 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的和,则有:
$$
dp[i][j]=\begin{cases}
0, &\text{if } A[i][j]=0\\
dp[i][j-1]+A[i][j], &\text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中 $A$ 为原始矩阵。
然后,我们可以使用类似于最大子序列和的思路,对 $dp$ 数组进行处理,找到其中的最大值即为最大子矩阵的和。具体而言,我们可以对每一行运用最大连续子序列和算法,得到以该行为底的最大子矩阵的和,再取所有行中最大的一个即可。