输入一个矩阵,找其中子矩阵元素和最大的子矩阵
时间: 2023-12-01 11:03:07 浏览: 47
思路:
首先,我们可以将矩阵转化为一个二维数组,然后通过枚举子矩阵的左上角和右下角坐标,来计算每个子矩阵的元素和。这样做的时间复杂度是 $O(n^4)$,显然不可取。
接下来,我们可以考虑优化这个算法。我们可以使用动态规划来解决这个问题。
首先,我们定义一个二维数组 $dp$,其中 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的所有子矩阵中元素和最大的子矩阵的元素和。那么,我们可以得到如下的状态转移方程:
$$
dp[i][j] =
\begin{cases}
matrix[i][j] & \text{if } i=0 \text{ or } j=0\\
dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + matrix[i][j] & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中,$matrix$ 表示原始矩阵。
这个状态转移方程的含义是,以 $(i,j)$ 为右下角的所有子矩阵中,最大的子矩阵可能有以下三种情况:
- 以 $(i,j)$ 为右下角的单个元素矩阵;
- 以 $(i,j-1)$ 为右下角的最大子矩阵,再加上第 $i$ 行的元素 $matrix[i][j]$;
- 以 $(i-1,j)$ 为右下角的最大子矩阵,再加上第 $j$ 列的元素 $matrix[i][j]$;
- 以 $(i-1,j-1)$ 为右下角的最大子矩阵,再加上第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素 $matrix[i][j]$。
我们可以使用一个变量 $max\_sum$ 来记录所有子矩阵中元素和最大的子矩阵的元素和。同时,我们还需要记录这个最大子矩阵的四个角的坐标 $(x1,y1,x2,y2)$。
最后,我们遍历 $dp$ 数组,找到其中最大的元素 $dp[i][j]$,就可以得到最大子矩阵的元素和以及四个角的坐标。
代码实现:
下面是 Python 代码的实现: