g(x)=f(x)/f'(x)的牛顿迭代法至少二阶局部收敛与x
时间: 2024-04-11 15:14:48 浏览: 12
我们可以使用牛顿迭代法来求解方程 g(x)=0 的根。具体来说,牛顿迭代法的迭代公式为:
x_{n+1} = x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)}
其中,g'(x) 表示 g(x) 的一阶导数。
我们将该迭代公式应用于我们的问题中,即:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)/f'(x_n)}{f'(x_n)/f''(x_n)}
化简后得:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} + \frac{f''(x_n)}{2(f'(x_n))^2}f(x_n)
我们可以发现,上式的第一项是牛顿迭代法的标准形式,而第二项是一个修正项。由于第二项包含二阶导数,因此牛顿迭代法至少二阶局部收敛,即在根附近,每次迭代都会使误差至少平方缩小。
相关问题
证明牛顿迭代法是一阶局部收敛的
牛顿迭代法是一种基于泰勒级数展开的迭代算法,用于求解非线性方程。在给定初始点$x_0$的情况下,该方法通过不断地利用函数$f(x)$在$x_k$处的一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为:
$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$
其中,$f'(x_k)$表示$f(x)$在$x_k$处的一阶导数。
为了证明牛顿迭代法是一阶局部收敛的,我们需要满足以下两个条件:
1. $f(x)$在$x^*$处存在且连续;
2. $f'(x^*) \neq 0$。
在此基础上,我们可以得到以下结论:
当$x_0$足够接近$x^*$时,牛顿迭代法的迭代序列$\{x_k\}$收敛于$x^*$,且收敛速度是一阶的。
证明过程如下:
设$x_k$是迭代序列的第$k$项,$x^*$是$f(x)$的一个根,即$f(x^*)=0$。
根据泰勒级数展开,我们可以将$f(x_k)$在$x^*$处展开为:
$$ f(x_k) = f(x^*) + f'(x^*)(x_k - x^*) + O((x_k - x^*)^2) $$
代入牛顿迭代公式,得到:
$$ x_{k+1} - x^* = x_k - x^* - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = \frac{f(x^*) + f'(x^*)(x_k - x^*) + O((x_k - x^*)^2)}{f'(x^*) + O(x_k - x^*)} $$
由于$f'(x^*) \neq 0$,所以分母不为零。在$x_0$足够接近$x^*$的情况下,我们可以忽略高阶项$O((x_k - x^*)^2)$,从而得到:
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1} - x^*}{(x_k - x^*)} = \frac{f'(x^*)}{f'(x^*)} = 1 $$
这表明牛顿迭代法的收敛速度是一阶的。同时,由于$f(x)$在$x^*$处连续,我们可以得到:
$$ \lim_{k \to \infty} x_k = x^* $$
这表明牛顿迭代法的迭代序列$\{x_k\}$收敛于$x^*$。因此,牛顿迭代法是一阶局部收敛的。
牛顿迭代法和fisher scoring迭代法的区别
牛顿迭代法和Fisher Scoring迭代法都是一种迭代优化算法,用于求解最大似然估计的参数值。它们的区别在于,牛顿迭代法通过二阶导数信息去近似目标函数,而Fisher Scoring迭代法则通过Fisher信息矩阵的逆矩阵去近似。
具体来说,牛顿迭代法的迭代公式如下:
θ^(t+1) = θ^(t) - [H(θ^(t))]^(-1) * ∇l(θ^(t))
其中,θ^(t)表示第t次迭代的参数估计值,H(θ^(t))是目标函数l(θ)的海森矩阵在θ^(t)处的值,∇l(θ^(t))是目标函数在θ^(t)处的梯度。
而Fisher Scoring迭代法则是通过以下迭代公式进行:
θ^(t+1) = θ^(t) + [I(θ^(t))]^(-1) * ∇l(θ^(t))
其中,I(θ^(t))是目标函数l(θ)的Fisher信息矩阵在θ^(t)处的值。
因此,两种迭代法的主要区别在于近似目标函数的方式不同。在实际使用中,牛顿迭代法通常比Fisher Scoring迭代法收敛速度更快,但是也更容易陷入局部最优解。而Fisher Scoring迭代法则更加稳定,能够避免过早陷入局部最优解。