matlab牛顿法求解极小值

在MATLAB中，使用牛顿法（也称为牛顿-拉夫逊方法）来求解函数的极小值是一种常用的数值优化技术。这种方法通过迭代逼近函数的局部最小点。下面是基本步骤：

1. **选择初始点**：首先，你需要一个函数 `f(x)` 和它的导数 `df(x)` 或雅可比矩阵 `J(x)`，以及一个初始估计值 `x0`。

2. **计算梯度和海森矩阵**：牛顿法需要函数的一阶导数（梯度）来确定搜索方向，而二阶导数（海森矩阵或Hessian矩阵）用于加速收敛。在MATLAB中，可以使用 `gradient(f, x0)` 计算梯度，`hessian(f, x0)` 计算海森矩阵。

3. **构建牛顿方程**：牛顿法的核心是解以下方程，找到新的猜测点 `x1`：

   H(x0) * (x1 - x0) = -g(x0)

其中 `H(x0)` 是在 `x0` 处的海森矩阵，`g(x0)` 是在 `x0` 处的梯度。

4. **迭代更新**：如果海森矩阵是非奇异的（即，它是一个方阵且行列式不为零），则更新 `x0` 为 `x1`，然后重复步骤2-3。如果海森矩阵不可逆或计算成本过高，可能需要使用拟牛顿法（如BFGS或CG）或者线性搜索。

5. **停止条件**：当满足特定的停止条件时（例如，当梯度的范数足够小、达到最大迭代次数，或者函数值的变化不大），算法停止。

function [x_min, f_min] = newton_minimization(f, df, x0, options)
% 定义牛顿法求解最小值
% options 是一个结构体，可能包含迭代次数、精度等参数

% 初始化
x = x0;
iter = 0;

% 开始迭代
while true
    % 更新梯度和海森矩阵
    g = df(x);
    H = hessian(f, x);

    % 解牛顿方程
    dx = -inv(H) * g;

    % 更新点并检查停止条件
    x = x + dx;
    iter = iter + 1;
    
    if ~isfinite(f(x)) || isinf(dx(1)) % 检查是否跳出范围或发散
        break;
    end
    
    if norm(g) < options.tol % 检查梯度接近于0
        break;
    elseif iter >= options.maxiter % 到达最大迭代次数
        break;
    end
end

% 返回最小值和对应的x
x_min = x;
f_min = f(x_min);