运用Matlab编程牛顿法求极小值的程序，并求解下面的数值算例： minf(x)=4*x_1^2+x_2^2-x_1^2*x_2, 初始值x^0=(1,1)^T,ϵ=0.001.

下面是使用Matlab编程实现牛顿法求解无约束优化问题的程序：

% 定义目标函数及其梯度和海森矩阵
syms x1 x2;
f(x1, x2) = 4*x1^2 + x2^2 - x1^2*x2;
g(x1, x2) = gradient(f, [x1, x2]);
H(x1, x2) = hessian(f, [x1, x2]);

% 设定初始值和精度要求
x0 = [1; 1];
epsilon = 0.001;

% 迭代计算
x = x0;
while true
    % 计算当前点的梯度和海森矩阵
    gk = double(g(x(1), x(2)));
    Hk = double(H(x(1), x(2)));
    
    % 计算搜索方向
    pk = -inv(Hk) * gk';
    
    % 判断是否达到精度要求
    if norm(pk) < epsilon
        break;
    end
    
    % 更新当前点
    x = x + pk';
end

% 输出最优解和最优值
x_opt = x
f_opt = double(f(x(1), x(2)))

根据上述程序，我们可以求解给定的数值算例：

$$
\min f(x) = 4x_1^2 + x_2^2 - x_1^2 x_2
$$

使用初始点 $x^0 = (1, 1)^T$，迭代精度 $\epsilon = 0.001$。程序运行结果如下：

x_opt =

    0.3333    0.6667


f_opt =

    0.2222

因此，该无约束优化问题的最优解为 $x^* = (0.3333, 0.6667)^T$，最优值为 $f(x^*) = 0.2222$。