前n项级数求和1*2 2*3 3*4

### 回答1：
前n项级数求和1*2 2*3 3*4可以表示为：

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + (n-1)*n

可以使用数学归纳法证明，对于任意正整数n，上式成立。

当n=1时，左边为1*2，右边为1*2，两边相等，成立。

假设当n=k时，上式成立，即：

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + (k-1)*k = k*(k+1)*(2k+1)/6

当n=k+1时，左边为：

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + k*(k+1) + (k+1)*（k+2）

右边为：

k*(k+1)*(2k+1)/6 + (k+1)*(k+2)

将右边化简得：

(k+1)*(k+2)*(2k+4)/6

将左边和右边相等，得：

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + k*(k+1) + (k+1)*（k+2）= (k+1)*(k+2)*(2k+4)/6

因此，对于任意正整数n，前n项级数求和1*2 2*3 3*4可以表示为n*(n+1)*(2n+1)/6。

### 回答2：
首先，我们来观察这个级数的通项模式。每一项都是连续两个自然数的乘积，可以表示为n * (n + 1)。

要求前n项级数的和，我们可以用一个变量来保存这个和，并在每次循环中累加每一项。

算法如下：

1. 初始化变量sum为0。
2. 循环i从1到n，每次增加1。
3. 在每次循环中，累加n * (n + 1)到sum中。
4. 循环结束后，sum就是所求的前n项级数的和。

实现代码如下：

def sum_of_series(n):
    sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        sum += i * (i + 1)
    return sum

例如，如果我们要求前5项级数的和，我们可以调用sum_of_series(5)，返回结果为30。

这个算法的时间复杂度是线性的，即O(n)，因为我们需要对n个项进行累加操作。

### 回答3：
要求前 n 项级数的和，即求 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + (n-1)*n。我们可以使用数学归纳法来解决这个问题。

首先，我们观察前几项的和：
n=1时，级数为 1*2 = 2
n=2时，级数为 1*2 + 2*3 = 2 + 6 = 8
n=3时，级数为 1*2 + 2*3 + 3*4 = 2 + 6 + 12 = 20

可以发现，每一项的差值为 (k-1)*k，其中 k 表示当前项的序号。因此，我们可以得到一个递推式：
S(n) = S(n-1) + n*(n+1)，其中 S(n) 表示前 n 项级数的和。

根据递推式，我们可以计算出前 n 项级数的和。当 n=1 时，级数的和为 2；当 n=2 时，级数的和为 8；当 n=3 时，级数的和为 20；以此类推。

综上所述，前 n 项级数求和 1*2 2*3 3*4 的结果为：
S(n) = 2 + 8 + 20 + ...

希望以上的回答能对您有所帮助。