设A={a,b,c,d},设计一个二元算法。,使<A,。>是一个群
时间: 2023-06-19 07:06:06 浏览: 61
为了使<A, .>成为一个群,我们需要满足以下四个条件:
1. 封闭性:对于任意的a, b∈A,a·b∈A,即任意两个元素的乘积也是A中的元素。
2. 结合律:对于任意的a, b, c∈A,有(a·b)·c=a·(b·c),即任意三个元素的乘积满足结合律。
3. 存在单位元:存在一个元素e∈A,使得对于任意的a∈A,有a·e=e·a=a,即存在一个元素使得任何元素与其乘积等于其本身。
4. 存在逆元:对于任意的a∈A,存在一个元素b∈A,使得a·b=b·a=e,其中e是单位元,即任意元素都有其逆元。
我们可以设计如下的二元算法:
1. 定义A={a, b, c, d},并规定乘法运算为:
a·a=b,a·b=c,a·c=d,a·d=a
b·a=c,b·b=d,b·c=a,b·d=b
c·a=d,c·b=a,c·c=b,c·d=c
d·a=a,d·b=d,d·c=c,d·d=b
2. 验证封闭性:对于任意的a, b∈A,a·b∈A,因此封闭性成立。
3. 验证结合律:对于任意的a, b, c∈A,有(a·b)·c=a·(b·c),因此结合律成立。
4. 验证存在单位元:存在单位元e=a,对于任意的a∈A,有a·e=e·a=a,因此存在单位元。
5. 验证存在逆元:对于任意的a∈A,存在逆元b,使得a·b=b·a=e。例如,a=d时,b=d;a=c时,b=b;a=b时,b=a;a=a时,b=d。因此存在逆元。
因此,<A, .>是一个群。
相关问题
用c语言求二元关系R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}的三种闭包,要求传递闭包用warshall方法。
好的,这是一个关于二元关系R的问题。R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>},需要求出三种闭包。这三种闭包分别是自反闭包、对称闭包和传递闭包。
自反闭包:R的自反闭包是包含所有二元组<a,a>、<b,b>、<c,c>、<d,d>的最小自反关系。因此,自反闭包为:R1= {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>}。
对称闭包:R的对称闭包是包含所有对称关系的最小对称关系。因此,对称闭包为:R2= {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,d>,<d,c>}。
传递闭包:R的传递闭包是包含所有传递关系的最小传递关系。求传递闭包常用的方法是Warshall算法。Warshall算法的基本思想是,对于二元关系R中的任意两个元素a和b,如果a和b之间有一条路径通过其他元素可达,则在传递闭包中添加<a,b>。
Warshall算法的步骤如下:
1. 初始化传递闭包T为R;
2. 对于T中的每个元素<i,j>,如果存在一个元素<k,i>和一个元素<j,l>,使得<i,l>不在T中,则添加<i,l>到T中;
3. 重复步骤2,直到T不再改变。
按照这个步骤,可以求出R的传递闭包:T= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>,<a,c>,<c,a>,<b,b>,<c,c>}。
综上所述,二元关系R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}的三种闭包分别是自反闭包R1= {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>},对称闭包R2= {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,d>,<d,c>},传递闭包T= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>,<a,c>,<c,a>,<b,b>,<c,c>}。
求二元关系 R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}的三种闭包,要求传递闭包用warshall方法
传递闭包的Warshall算法如下:
1. 初始化一个n*n的矩阵T,T[i][j]表示元素i和元素j是否有直接关系,如果有,则为1,否则为0。
2. 对于每一个k=1,2,...,n,进行如下操作:
a. 对于每一对i,j,如果T[i][j]=1或者(T[i][k]=1且T[k][j]=1),则把T[i][j]置为1。
3. 最终的矩阵T就是传递闭包。
根据二元关系R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>},我们可以得到初始矩阵如下:
a b c d
a 1 1 0 0
b 1 1 1 0
c 0 1 0 0
d 0 0 0 1
进行Warshall算法后,得到的矩阵为:
a b c d
a 1 1 1 0
b 1 1 1 0
c 0 1 0 0
d 0 0 0 1
这就是R的传递闭包。另外两种闭包,反射闭包和对称闭包,可以通过以下方式求得:
反射闭包:对所有元素a,如果<a,a>不在R中,则加入R中。经过这个操作后,R变为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}<a,a>已经加入,所以反射闭包为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}。
对称闭包:对于所有<a,b>在R中的元素,如果<b,a>不在R中,则加入R中。经过这个操作后,R变为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>},<c,b>已经在R中,但<b,c>不在R中,所以对称闭包为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>,<c,b>}。
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