多元函数求极值中对其中一个变量求一阶导时为常数，怎么办

### 回答1：
如果多元函数 $f(x,y)$ 对其中一个变量 $x$ 求一阶导数得到常数 $c$，即 $\frac{\partial f}{\partial x}=c$，则可以根据常数 $c$ 求出 $x$ 的表达式，如 $x=g(y)$。将 $x$ 用 $y$ 表示后，将其代入 $f(x,y)$ 中得到一个仅含有 $y$ 的函数 $f(y)$，然后对 $f(y)$ 求导，即 $\frac{d f}{d y}$，找到其临界点即可。

具体来说，如果有 $\frac{\partial f}{\partial x}=c$，则 $f(x,y)$ 在 $x=g(y)$ 处取得极值，其中 $g(y)$ 可以通过以下步骤求出：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=c \Longrightarrow dx = \frac{1}{c}dy \Longrightarrow x = \frac{1}{c}y + k$$

其中 $k$ 是常数。将 $x=\frac{1}{c}y+k$ 代入 $f(x,y)$ 中得到 $f(y)=f(\frac{1}{c}y+k,y)$，然后对 $f(y)$ 求导，即 $\frac{d f}{d y}$，找到其临界点即可。

### 回答2：
当多元函数对其中一个变量求一阶导数时为常数时，我们可以通过以下步骤求极值：

1. 确定该变量的取值范围。
- 我们需要确定该变量的定义域，即使它是一个无限取值的变量，也需要确定其取值范围的上限和下限。

2. 求解该变量的导数为常数的方程。
- 将多元函数对该变量求一阶导数，然后令导数为常数，得到一个方程。
- 解这个方程，可以得到该变量的值。

3. 将该变量的值代入原函数中。
- 将求得的该变量的值代入原多元函数中，得到一个仅含有其他变量的函数。

4. 对仅含有其他变量的函数进行求导。
- 对仅含有其他变量的函数对其他变量分别求一阶导数。

5. 解求导后的方程组。
- 根据实际问题，可以得到一个或多个方程，解这些方程可以得到其他变量的取值。

6. 将所有变量的取值代入原函数中。
- 将求得的所有变量的取值代入原多元函数中，得到函数的取值。

7. 比较函数的取值。
- 将得到的函数的取值与其他可能的函数的取值进行比较，找出最大值或最小值。

需要注意的是，这个方法仅适用于输出连续函数的极值，对于离散函数求解最大值或最小值的问题需要采用其他方法。

### 回答3：
当多元函数对其中一个变量求一阶导时为常数时，可以采取以下步骤求极值：

1. 首先，求出函数对该变量的一阶导数。由题意可知，一阶导数为常数，不再是一个关于变量的函数，而是一个常数。

2. 接下来，将常数视作关于另一个自变量的常函数。例如，设常数为c，将其视作关于另一个自变量x的常函数f(x) = c。

3. 然后，求出f(x)的极值。对于常函数而言，它没有极值点，因为它是一个平行于x轴的水平线。而该常数则为f(x)的导数。

4. 最后，根据求导的结果和已知条件，可以得出原多元函数在该变量方向上的函数形式。这个函数形式可能是一个线性函数，具体形式取决于常数的值。

需要注意的是，在求解多元函数的极值过程中，还需要考虑其他自变量的取值范围和约束条件，以确保所求得的极值是满足条件的。