节点度分布二阶矩证明<k^2>=<k>+(<k>)^2
时间: 2023-12-14 20:03:23 浏览: 32
为了证明这个式子,我们可以先根据定义展开左边的二阶矩:
<k^2> = Σk^2 P(k)
其中,P(k)表示节点度为k的概率分布。接着,我们可以将P(k)用平均度数<k>和度数分布的形式表示出来:
P(k) = n(k) / N,其中n(k)表示度数为k的节点数,N表示节点总数。
将式子带入<k^2>中,得到:
<k^2> = Σk^2 n(k) / N
接下来,我们可以将n(k)用度数分布的形式表示出来:
n(k) = kP(k) = k(n(k) / N)
将式子带入<k^2>中,得到:
<k^2> = Σk^2 kP(k) / N
将k提到Σ的外面,并且将Σ中的k^2替换成kk',得到:
<k^2> = Σkk' P(k,k') / N
其中,P(k,k')表示节点度为k和k'的节点对在网络中的比例。
因为<k> = Σk kP(k) / N,所以可以将<k>提出来,并将P(k,k')中的一项表示为P(k',k):
<k^2> = <k> Σk' P(k') + Σkk' P(k,k') / N
其中,第一项Σk' P(k')即为平均度数<k>。接下来,我们需要证明第二项Σkk' P(k,k') / N可以表示为(<k>)^2。
我们可以将Σkk' P(k,k') / N写成如下形式:
Σkk' P(k,k') / N = Σk(k-1) P(k,k') / N + Σk P(k)
其中,第一项Σk(k-1) P(k,k') / N表示度数为k和k'的节点对中,k为度数较大的节点的比例。第二项Σk P(k)表示节点度为k的节点在网络中的比例。
我们将第一项中的k-1替换成k',并将P(k,k')中的一项表示为P(k',k),得到:
Σkk' P(k,k') / N = Σkk' P(k',k) / N + Σk P(k)
因为网络是无向的,所以P(k,k') = P(k',k),所以Σkk' P(k',k) = 2Σkk' P(k,k')。将这个式子代入上式中,得到:
Σkk' P(k,k') / N = Σkk' P(k,k') / N + Σk P(k)
移项得到:
Σkk' P(k,k') / N - Σk P(k) = 0
因此,我们证明了Σkk' P(k,k') / N可以表示为(<k>)^2,也就是:
<k^2> = <k>^2 + <k>
这就是节点度分布的二阶矩的式子。
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