考虑优化问题如下 min H(x) EY |x exp ( − 1 K (Y1H(x)1 + · · · + YK H(x)K ) ) s.t. H(x)1 + · · · H(x)K = 0. 请证明对于最优解 H⋆(x), sign(H⋆(x)) 达到了贝叶斯最优错误率, 即 SAMME 使用 的多分类指数损失函数是 0/1 损失函数的一致的替代损失函数. (提示: 使用拉格朗日乘子法
时间: 2024-04-29 09:19:56 浏览: 69
首先,我们可以将原问题转化为以下形式:
min H(x) Σi=1,K EYi|exp(-H(x)Yi/K)
对于每个样本i,我们定义一个加权向量wi,其中wi,j=exp(-H(x)jYi/K),然后将问题转化为:
min H(x) Σi=1,K EYi|wi * (1/n) Σj=1,n [yi ≠ j] * exp(-H(x)yi/K)
其中,[yi ≠ j]是指当yi ≠ j时为1,否则为0。这个问题已经可以通过SAMME算法进行优化了。
接下来,我们考虑最优解H⋆(x)的性质。由于约束条件H(x)1 + · · · H(x)K = 0,我们可以将H⋆(x)表示为:
H⋆(x) = 1/K Σi=1,K Hi
其中Hi为任意实数。我们可以发现,对于任意的H(x),都有:
Σi=1,K exp(-H(x)Yi/K) ≤ K
因此,我们有:
EYi|exp(-H⋆(x)Yi/K) = EYi|exp(-1/K Σj=1,K Hj(x)Yi) ≤ EYi|K = K
也就是说,最优解H⋆(x)下的期望指数损失不会超过K。而对于任意的H(x),期望指数损失都不会小于K,因此H⋆(x)是最优解。
此外,我们可以证明,对于任意的H(x),H⋆(x)的符号与yi的符号相同。假设存在一个H(x)使得H⋆(x)和yi的符号不同,即H⋆(x)yi < 0。那么,我们可以将Hi增加,同时将其他Hj降低,使得H(x)1 + · · · H(x)K = 0仍然成立,同时使得H(x)的值变得更小。因此,H⋆(x)不是最优解,与我们的假设矛盾。
综上所述,我们可以得出结论:最优解H⋆(x)的符号达到了贝叶斯最优错误率,即SAMME使用的多分类指数损失函数是0/1损失函数的一致的替代损失函数。
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